Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Шякил 

asılı olmayan sabit kəmiyyətdir. Deməli, klassik 

mexanikaya görə sonsuz dərin birölçülü potensial 

çuxurun daxilində  hərəkət edən hissəciyin bütün 

nöqtələrdə olması ehtimalı eynidir (87.2 şəklində 

düz xətt). 

İndi isə

( )

dx

x

dW

2

ψ

=

 

 

        (

n

k

υ

87.20) 

kəmiyyəti hissəciyin dx intervalında yerləşməsi ehtimalını təyin edir (Ё72). Onda (87.12)-

yə əsasən kvant mexanikasına görə ehtimal sıxlığı 

( )

x

l

n

l

x

dx

n

π

ψ

2

sin

2

=

=

                   (87.21) 

kimi təyin olunur. Deməli, kvant mexanikasına görə sonsuz dərin birölçülü potensial 

dW

k

υ

2

çuxurun daxilində  hərəkət edən hissəciyin müşahidə olunması ehtimalı sabit kəmiyyət 

olmayıb  x koordinatından asılıdır. 87.2 şəklindəki qrafikdən görünür ki, 

dx

dW

k

υ

 ehtimal 

sıxlığı maksimum və minimum qiymətlərə malikdir və özü də maksimu

n sayı  n 

kvant ədədinə bərabərdir. n kvant ədədinin böyük qiymətlərində maksimumların sayı artır 

ki, bu da x-dən asılı olaraq güclü osilyasiya əyrisinə uyğun gəlir. Bu isə o deməkdir ki, 

n

→∞ olduqda kvant mexanikasına görə hesablanmış ehtimal sıxlığı 

mları

)

(

dW

k

υ

 klassik 

dx

mexanika təsəvvürlərinə əsasən tapılmış ehtimal sıxlığına 

)

(

dx

dW

kl

 uyğun gəlir. Doğrudan 

da 

x

l

n

π

etm

Beləliklə

2

sin

 funksiyasını istənilən sonlu interval üzrə inteqrallama zamanı 1/2 ilə əvəz 

ək olar. 

, sonsuz dərin birölçülü potensial çuxurda hissəciyin hərəkəti kimi sadə 

kva

ymətlər alır 

(kv

  ən kiçik E=E

1

 enerjili halda (əsas halda) hissəcik kinetik enerjisi sıfra 

bər

hərəkətinin baş verdiyi fəza oblastının ölçüləri kiçik 

old

ntmexaniki məsələnin həlli aşağıdakı nəticələri çıxarmağa imkan verir: 

1.  Potensial çuxurda hərəkət edən hissəciyin enerjisi diskret qi

antlanır); 

2. Hətta

abər olan tam sükunətdə olmur; 

3. Hissəciyin kütləsi və onun 

uqca enerjinin diskretliyi (kvantlanması) özünü daha yaxşı büruzə verir; 

 

553

4. Kvant ədədinin böyük qiymətlərində kvantmexaniki ifadələr klassik fizika 

düs

n birölçülü 

pot

mürəkkəb olan hala, yəni hissəciyin sonsuz dərin üçölçülü potensial 

çux

≥

≤

≥

≤

≥

≤

∞

<

<

<

<

<

<

=

.

,

0

;

,

0

;

,

0

;

0

;

0

;

,

,

3

2

1

3

2

1

l

z

z

l

y

y

l

x

x

l

z

l

y

l

x

z

y

x

u

     (87.22) 

Bu halda Şredinger tənliyi (87.3)-ə oxşar olaraq 

turlarına keçir ki, bu da ümumi uyğunluq prinsipinin (Ё58) xüsusi halıdır. 

Növbəti paraqraflarda görəcəyik ki, bu nəticələr yalnız sonsuz dəri

ensial çuxurda hissəciyin hərəkətinə aid olmayıb, tamamilə ümumi xarakter daşıyır. 

Bundan başqa, halların kvantlanması üçün sistemin keçilməz olan divarlarla 

hüdudlanması heç də  məcburi deyildir (məsələn, harmonik osilyator, rotator, 

hidrogenəbənzər atom və s.). Həm də elə  təsəvvür yaranmamalıdır ki, diskret enerji 

səviyyələrinin mövcudluğu kvantmexaniki sistemlərin vacib əlamətidir. Bəzi hallarda 

/məsələn, sərbəst hissəcik (Ё85)/ kvantmexaniki sistemlər də  kəsilməz enerji spektrinə 

malik olur. 

İndi isə daha 

urda hərəkəti üçün Şredinger tənliyinin həllinə baxaq. Belə potensial çuxur riyazi 

olaraq aşağıdakı kimi təyin olunur: 

⎧

0

;

0

(

)

⎩

⎨

(

)

(

)

(

)

[

]

E

z

y

x

u

m

z

y

x

z

y

x

z

y

x

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎛

∂

∂

∂

1

2

2

2

⎜⎜

⎝

∂

+

∂

+

∂

,

,

2

,

,

,

,

2

2

2

2

h

ψ

ψ

      (87.23) 

kimi yazılır. (87.22)-yə görə potensial çuxurdan kənarda u(x,y,z)=

∞ olduğundan, (87.23) 

ψ

(0,y,z)=

ψ

(l

1

,y,z)=0, 

 

              (87.24) 

şərtləri ödənməlidir. (87.24) ifadəl

ərin potensial çuxurun daxilində 

tənliyinə  əsasən 

ψ

(x,y,z)=0 alınır. Dalğa funksiyası  kəsilməz olduğu üçün sonsuz dərin 

üçölçülü potensial çuxurun divarları üzərindəki nöqtələrdə  də dalğa funksiyası  sıfra 

bərabər olmalıdır, yəni 

ψ

(x,0,z)=

ψ

(x,l

2

,z)=0, 

ψ

(x,y,0)=

ψ

(x,y,l

3

)=0 

əri üçölçülü sonsuz d

(u=0) hissəcik üçün 

0

2

2

2

2

2

2

2

=

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

ψ

ψ

ψ

ψ

k

z

y

x

 

 

       (87.25) 

Şredinger tənliyini həll edərkən istifadə olunacaq sərhəd şərtləridir. Burada k–(87.6) kimi 

,y,z)=

ψ

1

(x)

ψ

2

(y)

ψ

3

(z) 

              (87.26) 

(87.26)-nı (87.25)-də yazaraq alın

ə bö

87.6) 

təyin olunur. (87.25) tənliyini dəyişənlərin ayrılması üsuluna əsasən həll edəcəyik. Bunun 

üçün həmin tənliyin həlli olan 

ψ

(x,y,z) funksiyasını bir-birindən asılı olmayan üç dənə 

funksiyanın hasili şəklində göstərək: 

ψ

(x

an tənliyi 

ψ

1

ψ

2

ψ

3

 hasilin

lsək və  k üçün (

ifadəsini nəzərə alsaq 

E

z

m

y

m

x

m

=

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

−

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

h

h

h

         (87.27) 

yaza bilərik. Sol tərəfdəki hədlər bir-birindən asılı olmadığına görə (87.27) bərabərliyinin 

ödənməsi üçün həmin hədlərin hər biri müəyyən sabitə bərabər olmalıdır: 

 

554 

1

2

1

2

1

2

1

2

E

x

m

=

∂

∂

−

ψ

ψ

h

, 

2

2

2

2

2

2

1

2

E

y

m

=

∂

∂

−

ψ

ψ

h

, 

 

              (87.28) 

3

2

3

2

3

2

1

2

E

z

m

=

∂

∂

−

ψ

ψ

h

. 

Aydındır ki, (87.27) və (87.28) ifadələrində 

E=E

1

+E

2

+E

3

 

 

` 

      (87.29) 

Deməli, (87.25) tənliyi bir-birind

y  üç d ə (8

ərinə 

də bu tənliklərin hər biri sonsuz dərin birölçülü potensial çuxurda 

şərti ödənməlidir. 

ən asılı olma an

ən

7.28) tənlikl

parçalanır və özü 

hərəkət edən hissəcik üçün (87.5) Şredinger tənliyinə oxşardır. Ona görə  də  həmin 

tənliklərin (87.24) sərhəd  şərtlərinə tabe olan və ortonormallıq  şərtini ödəyən həlləri 

(87.12) və (87.14) ifadələri ilə təyin olunur: 

( )

2

2

2

1

1

 ,

sin

2

1

n

E

x

l

n

l

x

n

h

π

π

ψ

=

=

 

1

2

1

1

2

1

ml

n

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 ,

sin

2

2

2

n

ml

E

y

l

n

l

y

n

n

h

π

π

ψ

=

=

 

              (87.30) 

( )

2

3

2

3

2

2

3

3

3

2

 ,

sin

2

3

3

n

ml

E

z

l

n

l

z

n

n

h

π

π

ψ

=

=

. 

Beləliklə, sonsuz dərin üçölçülü potensial çuxurun daxilin  hərəkət edən hissəciyin 

tam dalğa funksiyası və enerjisi (87.26), (87.29) və (87.30) düsturlarına əsasən aşağıdakı 

kim

də

i təyin olunur: 

(

)

( ) ( ) ( )

 

 

,

,

3

2

1

3

2

1

z

y

x

z

y

x

n

n

n

n

n

n

ψ

ψ

ψ

ψ

=

=

,

sin

sin

sin

8

3

3

2

2

1

1

3

2

1

l

z

n

l

y

n

l

x

n

l

l

l

π

π

π

=

                (87.31) 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

+

=

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

3

2

1

3

2

1

l

n

l

n

l

n

m

E

E

E

E

n

n

n

n

n

n

h

π

.            (87.32) 

Burada n

1

, n

2

, n

3

 kvant ədədləri sıfırdan fərqli müsbət tam qiymətlə

(87.31) və (87.32) ifadələrindən görünür ki, sonsuz dərin birölçülü potensial çuxurda 

üsturu ilə  təyin 

r alır. 

hərəkət edən hissəciyin enerji səviyyələrindən fərqli olaraq (87.32) d

olunan enerji səviyyələri cırlaşmışdır. Belə ki, ümumiliyi pozmadan (87.31) və (87.32)-də 

sadəlik naminə l

1

=l

2

=l

3

 götürsək, hissəciyin enerjisi 

 

555

(

2

2

2

2

n

n

E

+

=

h

ππ

)

2

3

2

1

2

2

3

2

1

n

ml

n

n

n

+

 

 

        (87.33) 

düsturu ilə  təyin olunar. Buradan isə görünür ki, enerjinin eyni bir qi

1

2

ə  n

3

 

 

 

        (87.33) 

düsturu ilə  təyin olunar. Buradan isə görünür ki, enerjinin ey

r qi

1

2

ə  n

3

 

yməti  n ,  n   v

ni bi

yməti  n ,  n   v

kvant  ədədlərinin müxtəlif kombinasiyalarına uyğun gəlir. Deməli, enerjinin eyni bir 

E

n1n2n3

 qiymətinə bir-birindən  n

1

,  n

2

,  n

3

 kvant ədədlərinin müxtəlif kombinasiyaları ilə 

fərqlənən bir neçə (87.31) dalğa funksiyası uyğun gəlir. 

Misal olaraq 

kvant  ədədlərinin müxtəlif kombinasiyalarına uyğun gəlir. Deməli, enerjinin eyni bir 

E

n1n2n3

 qiymətinə bir-birindən  n

1

,  n

2

,  n

3

 kvant ədədlərinin müxtəlif kombinasiyaları ilə 

fərqlənən bir neçə (87.31) dalğa funksiyası uyğun gəlir. 

Misal olaraq 

6

2

2

2

2

⋅

=

ml

E

h

π

 

 

 

         (87.34) 

enerji səviyyəsinə baxaq. (87.33) və (87.34) ifadələrinin m

isə

, 

aldığı üçün b

) 

n

1

=2,  n

2

=1,  n

3

=1; 

Beləliklə, (87.34) enerji sə

yəsi

3

ə

nan üç dənə müxtəlif 

ψ

211

, 

ψ

121

 

üqay

sindən görünür ki

6

2

3

2

2

2

1

=

+

+

n

n

n

 olmalıdır. n

1

, n

2

 və n

3

 kvant ədədlərinin hər biri sıfırdan böyük qiymətlər 

u bərabərliyi həmin kvant ədədlərinin aşağıdakı kimi üç müxtəlif 

kombinasiyası ödəyə bilər: 

1

2) 

n

1

=1,  n

2

=2,  n

3

=1; 

3) 

n

1

=1,  n

2

=1,  n

3

=2. 

viy

nə (87. 1) ilə t yin olu

və 

ψ

112

 məxsusi funksiya uyğun gəlir, yəni bu səviyyənin cırlaşma tərtibi 3-ə bərabərdir. 

Sonsuz dərin üçölçülü potensial çuxurda hərəkət edən hissəciyin enerjisinin mümkün 

olan qiymətlərini və bu qiymətlərə uyğun olan hallarını  əyani  şəkildə göstərmək üçün 

aşağıdakı kimi həndəsi qurmadan istifadə etmək 

əlverişlidir. Hər bir elementar özəyi tilləri 1/l

1

, 

1/l

2

, 1/l

3

 olan düzbucaqlı paralelopiped formasında 

olan fəza qəfəsinə baxaq (şəkil 87.3). Belə 

elementar özəyin həcmi 

3

2

1

1

 olar. Hissəciyin hər 

bir halı n

l

l

l

dlər y

1

, n

2

, n

3

 tam ədə

ığımı ilə xarakterizə 

olunduğundan bu fəza qəfəsinin  n

1

/l

1

,  n

2

/l

2

,  n

3

/l

3

 

koordinatlarına malik olan düyünü bu hala uyğun 

gələcəkdir. Həmin hala uyğun gələn enerjini isə, 

koordinat başlanğıcı ilə bu halı təsvir edən düyün 

nöqtəsini birləşdirən  A

r

 vektoru vasitəsilə ifadə 

etmək olar. Belə ki, bu  A

r

 vektorunun kvadratı 

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

l

n

l

n

l

n

A

+

+

=

 kimi təyin olunduğundan (87.3 ) düsturuna əsasən 

2

2

2

2

2

3

2

1

A

m

E

n

n

n

⋅

=

h

π

 yaza bilə

və bu qəfəsin 

jisin

rik. Əgər l

1

=l

2

=l

3

 olsa, baxılan fəza qəfəsi kub şəkilli olacaqdır 

müxtəlif düyün nöqtələrinə  həmişə müxtəlif hallar (

ψ

n1n2n3

 dalğa 

funksiyaları) uyğun gələcəkdir ki, bu halların da bəziləri eyni bir E

n1n2n3

 ener

ə malik 

ola bilər. Məsələn, (84.37) kimi təyin olunan enerjiyə üç dənə müxtəlif hal (düyün 

nöqtəsi) uyğun gəlir. Əlavə olaraq daha iki misala baxaq. Fərz edək ki, n

1

=1, n

2

=1, n

3

=1. 

1/l

2

1/l

3

1/l

1

x

y

z

1/l

2

1/l

3

1/l

1

x

y

z

Шякил 

 

556 

Bu halda 

3

2

3

2

2

2

1

=

+

+

n

n

n

 olur. Kvadratlarının cəmi 3-ə bərabər olan başqa üç dənə tam 

ədəd olm

 halına enerjinin yalnız bir dənə 

adığından, 

ψ

111

3

2

2

2

2

h

π

gəlir. İndi əgər n =1,

=2, n =3 qiymətlərini götürsək, 

2

n

 alınır ki, buna 

⋅

=

ml

E

 qiyməti uyğun 

1

 n

2

3

1

=

+

+

n

n

uyğun enerji (87.33)-ə görə 

14

2

3

2

2

14

2

2

2

2

h

π

müxtəlif hal uyğun gəlir: 

ψ

⋅

=

ml

E

 olur. Lakin enerjinin bu qiymətinə 6 dənə 

123

, 

ψ

132

, 

ψ

321

, 

231

213

123

ə

Ё88. Bir tərəfi sonlu hündürlüyə malik olan birölçülü 

Bəzi hallarda Ё87-də baxdığımız sonsuz  ərin potensial çuxurdan başqa 88.1 şəklində 

təsv

∞

≤

≤

<

<

=

x

l

u

l

x

x

u

,

0

0

0

   

                 (88.1) 

x<0 oblastında  u(x)=

∞ olduğundan, hissəcik bu 

ında hissəcik üçün Şredinger tənliyini 

aşa

ψ

, 

ψ

. Deməli,  E  enerji səviyyəsinin 

cırlaşma tərtibi altıya bərab rdir. 

 

 

potensial çuxurda hissəciyin hərəkəti 

 

d

ir olunmuş bir tərəfi sonsuz, digər tərəfi isə sonlu hündürlüyə malik olan potensial 

çuxurda hissəciyin hərəkətini tədqiq etmək lazım 

gəlir. Burada fərz olunur ki, birölçülü potensial 

çuxurun  x=0 tərəfi sonsuz, x=l  tərəfi isə sonlu 

hündürlüyə malikdir. Hissəciyin potensial enerjisi 

aşağıdakı kimi təyin olunur: 

⎧

≤

∞

x 0

,

U(x)

U

o

l

0

I

II

U(x)

U

o

l

0

I

II