Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё82. Ermit polinomları Bir sıra sistemlər, xüsusi halda harmonik osilyator üçün Şredinger tənliyini həll edərkən Ermit polinomlarının ödədiyi ikitərtibli diferensial tənlik meydana çıxır. Ona görə də həmin tənliyin necə həll olunduğunu və Ermit polinomlarının xassələrini bilmək vacibdir. Aşağıdakı kimi birtərtibli diferensial tənliyə baxaq: 0 2
+ xy dx dy
(82.1)
518
Bu tənliyi həll edərək 2
e c y − ⋅ =
(82.2) olduğunu tapırıq. Burada c – ixtiyari sabitdir. (82.1) tənliyini n+1 dəfə diferensiallayaq və bu zaman (79.25) və (79.31)-i nəzərə alaq: (
0 1 2 2 1 1 2 2 = + + + + + + + n n n n n n dx y d n dx y d x dx y d . (82.3) Burada ( )
2 x n n n n e dx d c dx y d z − = =
(82.4) işarə etsək ( )
1 2 2 2 2 = + + + z n dx dz x dx z d
(82.5) tənliyi alınar. (82.4)-dən görünür ki, z(x) funksiyası u(x) polinomu ilə -nın hasili kimi göstərilə bilər: 2
− ( ) ( ) 2 x e x u x z − ⋅ =
(82.6) (82.6)-ya əsasən [ ] 2 2
2
x e xu dx du e u dx d dx dz − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ = , (82.7) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 x e u u x dx du x dx u d dx z d − ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − =
(82.8) yaza bilərik. (82.6)-(82.8) ifadələrini (82.5)-də yazaraq, u(x) funksiyası üçün aşağıdakı ikitərtibli diferensial tənliyi alırıq: 0 2 2 2 2 = + − nu dx du x dx u d .
(82.9) (82.9) ifadəsi Ermit tənliyi adlanır. (82.6) və (82.4) ifadələrinə əsasən bu tənliyin ümumi həlli ( )
( ) 2 2 2 x n n x x e dx d ce e z x u − = ⋅ =
(82.10) olar. Burada c=(-1)
götürsək, (82.9) Ermit tənliyinin xüsusi həlli alınır və bu da n- dərəcəli Ermit polinomu adlanır. Ermit polinomlarını adətən H
(x) kimi işarə edirlər: ( ) ( ) ( )
2 2 1 x n n x n n e dx d e x H − − = .
(82.11) (82.10) və (82.11) ifadələrinin müqayisəsindən görünür ki, H n (x) Ermit polinomları
519
0 2 2 2 2 = + −
n n nH dx dH x dx H d
(82.12) diferensial tənliyinin həllidir. 0 ≤n≤5 qiymətləri üçün Ermit polinomlarının (82.11) düsturuna əsasən tapılmış ifadələri aşağıdakı kimidir: H 0 (x)=1 H 1 (x)=2x H 2 (x)=4x 2 -2
H 3 (x)=8x 3 -12x (82.13)
4 (x)=16x 4 -48x 2 +12
H 5 (x)=32x 5 -160x 3 +120x. Ümumi şəkildə ( ) ( )
( )( )
( )( )( )( ) ⋅⋅ ⋅ − − − − + − − = − − ! 2 2
3 2
1 ! 1 2
1 2 4 2 n n n n x n n n n x n n x x H (82.14) və ya ( )
( ) ( ) ( )
( ) ∑ = − − − =
i i n i n i n i x n x H 0 2 ! ! 2 2 1 !
(82.15) yazmaq olar. Göründüyü kimi, (82.15)-də i indeksi yalnız cüt qiymətlər ala bilər: i=0,2,4,…. Qeyd edək ki, (82.13) ifadələri (82.14) və (82.15) vasitəsilə də alınır. Göstərmək olar ki, H
(x) Ermit polinomları üçün aşağıdakı rekurent düstur ödənir: 2xH
=2nH n-1 +H n+1 . (82.16) (82.16)-nı isbat etmək üçün (82.11)-ə əsasən H n (x)-in x-ə görə birinci və ikinci tərtib törəmələrini tapaq: ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) . 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + − + + + − − − = − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = n n x n n x n x n n x n x n n x n n H xH e dx d e e dx d xe e dx d e dx d dx dH (82.17) Burada (-1)
-(-1)
n+1 olduğu nəzərə alınmışdır. (82.17)-ni nəzərə almaqla ( )
) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + − + = = − − − + = = − + = − =
n n n n n n n n n n n n n H xH H x H xH H xH x H dx dH dx dH x H H xH dx d dx H d (82.18) yaza bilərik. (82.17) və (82.18)-i (82.12)-də yazaraq H n , H n+1 və H n+2 funksiyalarını əlaqələndirən rekurent düstur tapırıq:
=2xH n+1 -2(n+1)H n .
(82.19)
520 Burada n-i n-1 ilə əvəz etsək (82.16) alınar. Qeyd edək ki, H n (x) funksiyaları (- ∞,+∞) intervalında inteqrallanmır və ortonormal sistem təşkil etmir. Lakin göstərmək olar ki, ( ) 2
x n e x H − ⋅ funksiyaları (- ∞,+∞)
intervalında ortonormallıq şərtini ödəyirlər. Əvvəlcə bu funksiyaların həmin intervalda ortoqonal olduğunu, yəni ( ) ( )
≠ = ∫ +∞ ∞ − −
, 0 2 (82.20) şərtinin ödəndiyini isbat edək, m<n olduğunu fərz edək və H
(x) üçün (82.11)-i nəzərə alaq. Onda ( ) ( )
( ) ( )
( ) ∫ ∫ +∞ ∞ − − +∞ ∞ − − − = dx e dx d x H dx e x H x H x n n m n x n m
1 2 2 (82.21) olar. Burada hissə-hissə inteqrallama aparsaq ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dx dx e d dx dH dx e d x H dx e x H x H n x n m n n x n m n x n m 1 1 1 1 2 2 2 1 1 − − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − − ∞ + ∞ − − ⋅ − − − ⋅ − = ∫ ∫ (82.22) alarıq.
funksiyası və onun bütün törəmələri x= ±∞ qiymətlərində sıfra bərabər olduğundan (82.22)-də birinci hədd sıfra bərabər olur. Bundan başqa, (82.17) və (82.16)- ya əsasən 2
− 1 2 − = m m mH dx dH
(82.23) olduğunu da nəzərə alsaq (82.22) ifadəsi ( ) ( ) ( )
( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − − − − − + ∞ ∞ − − − =
dx e d H m dx e x H x H n x n m n x n m 1 1 1 1 2 2 2 1 (82.24) şəklinə düşər. Bu əməliyyatı m dəfə təkrar etsək ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 ! 2 1 ! 2 1 1 1 0 2 2 2 = ⋅ − = = ⋅ − = ∞ ∞ − − − − − − + ∞ ∞ − − − − + ∞ ∞ − − ∫ ∫
n x m n m m n m n x m n m m n x n m dx e d m dx dx e d x H m dx e x H x H (82.25) alarıq. Burada H 0 (x)=1 olduğu nəzərə alınmışdır. Eyni qayda ilə n edərək (82.25) ifadəsini almaq olar ki, bu da (82.20) ilə eynidir. Əgər (82.21)-(82.25) çevirmələri zamanı n=m olduğunu fərz etsək, son nəticədə (82.25) əvəzinə
521 ( ) ( )
( ) π ! 2 ! 2 ! 2 1 2 2 2 0 2 2 2
dx e n dx e x H n dx e x H n x n x n n x n = = = ⋅ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − (82.26) alarıq. Burada π =
∞ ∞ − − dx e x 2
(82.27) məlum ifadəsindən istifadə etdik. Deməli, (82.26) ifadəsinə əsasən məlum olur ki, ( ) 2
! 2 1 x n n e x H n − π funksiyaları (- ∞,∞) intervalında normallıq şərtini ödəyirlər. Bu funksiyaların (82.20) ortoqonallıq və (82.26) normallıq şərtini birləşdirərək, onlar üçün (- ∞,∞) intervalında aşağıdakı ortonormallıq şərtini yaza bilərik: ( ) ( )
mn x n m n dx e x H x H n δ π = ∫ ∞ ∞ − − 2
! 2 1 . (82.28) İndi isə göstərək ki, ( ) 2
x n e x H − polinomları (82.9) və ya (82.12) tənliyinin (- ∞,∞) oblastında Q sinfinə mənsub olan yeganə həllidir. (82.9) tənliyində x= ±∞ nöqtələrindən başqa məxsusi nöqtə olmadığından onun həllini istənilən nöqtədə sıraya ayırmaq olar. Ona görə də (82.9) tənliyinin həllini x 0 =0 nöqtəsi (yəni koordinat başlanğıcı) ətrafında sıraya ayıraq: ∑ = ⋅⋅ ⋅ + + + = k k k x a x a x a a u 2 2 1 0
(82.29) Buradan
⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + = −1 2 3 2 1 3 2 n n x na x a x a a dx du (82.30) ( )
⋅ + − + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −2 3 2 2 2 1 2 3 1 2
n x a n n x a a dx u d (82.31) yaza bilərik. (82.29)-(82.31) ifadələrini (82.9)-da yazaq: 2 ⋅1⋅a 2 +3 ⋅2⋅a 3 x+…+n(n-1)a n x n-2 +…-2a 1
2
2 -3a 3 x 3 - -…-2na n x n +2na 0 +2na 1 x+2na 2
2 +2na n x n +…=0
Buradan x k əmsallarını sıfra bərabər edək: 2na 0 +2 ⋅1⋅a 2 =0 (2n-2)a 1 +3 ⋅2⋅a 3 =0 (2n-4)a 2 +4 ⋅3⋅a 4 =0 --------------------- (2n-2k)a k +(k+2)(k+1)a k+2 =0
Beləliklə, (82.29) sırasının a k əmsalları üçün aşağıdakı ümumi rekurent düsturu yaza
522
bilərik: (k+2)(k+1)a k+2 +(2n-2k)a k =0
(82.31) Bu rekurent düsturdan görünür ki, yalnız a 0 və a 1 əmsallarını bilərək (82.29) sırasını bütövlükdə qurmaq olar. Belə ki, a 0 əmsalının qiyməti məlum olsa, (82.31) düsturuna əsasən x-in cüt üstlərinə, a 1 əmsalının qiyməti məlum olduqda isə x-in tək üstlərinə uyğun olan bütün əmsalları tapmaq mümkündür. Deməli, (82.9) tənliyinin həlli olan (82.29) sırasını (82.31) rekurent düsturuna əsasən aşağıdakı kimi yazmaq olar: ( )
)( ) . ... 30 3 1 3 1 ...
6 2 1 5 3 1 4 2 2 0 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − + − − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + − = x n n x n x a x n n nx a u
(82.32) (82.31)-dən görünür ki, k a a k k k 2 lim 2 = + ∞ →
(82.33) olduğundan (82.29) sırası həmişə yığılır. (82.33) düsturundan məlum olur ki, k-nın çox böyük qiymətlərində (82.29) sırası özünü üçün olan sıra kimi aparır. Doğrudan da, məlumdur ki, 2 x e ∑ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = +
k k k k x x b k x k x x x e ...
! 1 2 ! 2 ... ! 2 ! 1 1 2 4 2 2 . (82.34) Burada k-nın cüt qiymətləri üçün ( ) !
1 k b k = , tək qiymətləri üçün b k =0 olur. Əgər x k və
x k+2 -nin əmsallarını, uyğun olaraq, b k və b k+2 ilə işarə etsək, (82.34) sırasının əmsalları üçün aşağıdakı rekurent düsturu yaza bilərik: 1 2 1 ! 1 2 ! 2 2 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = +
k k b b k k .
(82.35) Buradan görünür ki, k>>1 olduqda, yəni k b b k k k 2 lim 2 = + ∞ →
(82.36) alınır. (82.36) və (82.33) ifadələri isə göstərir ki, doğrudan da k-nın böyük qiymətlərində (82.29) sırası özünü (82.34) sırası kimi aparır. Başqa sözlə, x= ±∞ qiymətlərinə yaxın olan qiymətlərdə (82.29) sırası funksiyasına oxşar olur. Lakin nə , nə də ki,
funksiyası (- ∞,∞) intervalında inteqrallanmadığı üçün, (82.9) tənliyinin ümumi həlli olan 2
e 2 2 x e 2
e
523 u(x) və ya ( )
2 2
e x u − ⋅ funksiyaları da həmin intervalda inteqrallanmır, yəni Q sinfinə mənsub olmur. Q sinfinə mənsub olan funksiyaların sonlu olması şərti tələb edir ki, (82.29) sırası k indeksinin müəyyən qiymətində qırılmalıdır, yəni a
≠0 əmsalından sonra gələn bütün a
, a k+4 , … əmsalları sıfra bərabər olmalıdır. (82.31)-dən isə görünür ki, bu, yalnız 2n=2k
(82.37) şərti ödəndikdə mümkündür. Deməli, (82.9) tənliyinin Q sinfinə mənsub olan həllinin alınması üçün bu tənlikdəki sərbəst həddə u(x) funksiyasının əmsalı müsbət cüt ədəd (məhz 2n) olmalıdır. Yalnız bu zaman (82.32)-dəki sıralardan biri polinoma çevrilir ki, bu da (82.9)-un xüsusi həlli olan H n (x) Ermit polinomunun müəyyən sabitə hasilinə bərabər olur. Onda, yuxarıda gördüyümüz kimi, ( )
2 2
! 2 1 x n n e x H n − π funksiyası (- ∞,∞)
intervalında kvadratik inteqrallanır və deməli, Q sinfinə mənsub olan funksiya olur.
524 |
