Gruppa tushunchasi

3-teorema. gruppaning xar bir qism gruppasi uchun

(2)

tenglik o`rinli, bunda xech qaysi ikkita sistema umumiy elementlarga ega emas.

Isboti. qism gruppani ning hamma elementlariga o`ng tomondan ko`paytirib chiqamiz va xosil bo`lgan sistemalarning har xillarinigina (umumiy elementlarga ega bo`lmaganlarini) olib qolamiz:

(3)

Istalgan element (3) sistemalarning birida albatta mavjud, chunki (3) larni hosil qilishda biz I ga ham ko`paytirdik. Demak , (2) tenglik bajariladi, bu yerda sistema, ni, masalan, ga ko`paytirishdan kelib chiqadi.

(2) ifoda gruppaning qism gruppa bo`yicha qo`shni sistemalarga yoyilmasi deyiladi. Yoyilmadagi elmentlar har xil bo`ilib , ular chegirmalarning to`liq sistemasini tashkil etadi deyiladi. Shuningdek chap yoyiylma ham mavjud bo`lib , u

ko`rinishga ega.

(2) yoyilma chekli yoki cheksiz bo`ladi. chekli gruppaning istalgan qism gruppasi bo`yicha yoyilmasi cheklidir. cheksiz gruppaning bazi qism gruppalar bo`yicha yoyilmasi chekli , bazilari bo`yicha esa cheksiz bo`lishi mumkin.

4-teorema. (2) yoyilmadagi barcha qo`shni sistemalar teng quvvatli to`plamlardir.

Isboti. (2) da sistemani va qolganlaridan istalgan birini , masalan, sistemani olib, va sistemalarning teng quvvatli ekenini ko`rsatamiz. Buning uchunistalgan elementni elementga akslantiramiz: hg. Bu akslanish bir qiymatli ekanligi ravshan . Shu bilan birga u o`zaro bir qiymatlihamdir, chunki hg va g da bo`lsa , u xolda albatta bo`ladi. Xaqiqatdan , dan ga ko`paytirilganda , darxol kelib chiqadi.

qism gruppa chekli bo`lsa , (2) yoyilmadagi barcha qo`shni sistemalar chekli bo`lib, ular bir xil sondagi elementlardan tuzilgan bo`ladi.

Misollar. 1.

gruppani qism gruppa bo`yicha qo`shni sistemalarga yoyamiz. Bu ish quyidagicha bajariladi. Birinchi sistema sifatida ni olamiz ; ikkinchi sistemani hosil qilish uchun ni ning ga qarashli bo`lmagan istalgan elementiga , masalan, ga ko`paytiramiz:

= .

ni yana ning va ga tegishli bo`lmagan elementiga masalan, ga ko`paytiramiz:

.

Bu uchala sistema ning hamma elementlarini o`z ichiga olganligi uchun yoyish protsessi tamom bo`lib , ushbu yoyilmani xosil qilamiz:

.

Bu yoyilmaning sistemalari ikkitadan elementga ega.