Funksional va darajali qatorlar

Darajali qatorlar. Endi (1) funksional qatorning xususiy holini qaraymiz.

•  

• 3-ta’rif: ushbu ko’rinishidagi funksional qator

darajali qator deb ataladi. Bu qatorda (n=0,1,2,3,… ) o’zgarmas sonlar bo’lib, ular darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.

Teorema: (Abel teoremasi): a) Agar (6) darajali qator biror nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, unda bu qator x o’zgaruvchining shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarda absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi;

b) Agar (6) darajali qator biror nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsa, unda bu qator x o’zgaruvchining tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarda uzoqlashuvchi bo’ladi.

Isbot: a) Teorema shartiga asosan

•  

Sonli qator yaqinlashuvchi shu sababli, qator yaqinlashuvchanlikning zaruriy shartiga ko’ra, bo’ladi. bu holda shunday M>0 soni mavjudki, (6) qatorning barcha hadlari uchun (*) tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Sonli qator yaqinlashuvchi shu sababli, qator yaqinlashuvchanlikning zaruriy shartiga ko’ra, bo’ladi. bu holda shunday M>0 soni mavjudki, (6) qatorning barcha hadlari uchun (*) tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Qaralayotgan (6) darajali qatorni quydagi ko’rinishda yozamiz:

Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan quydagi

•  

Musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Yuqoridagi (*) tengsizlikka asosan bu qator uchun

majoranta qator bo’ladi. Agar shart bajarilsa unda (9) qator hadlari maxraji bo’lgan geometrik progressiyani tashkil etadi va shu sababli yaqinlashuvchi bo’ladi. Bu yerdan, shartda, (8) qator yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Unda taqqoslash alomatiga ko’ra, (7) yoki (6) darajali qator sohada absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.

• 2-teorema: Har qandanday (6) darajali qator (-R;R), , ko’rinishdagi koordinata boshiga nisbatan simmetrik biror oraliqda yaqinlashuvchi bo’ladi.