Karimov feruz raimovich integrallarni taqribiy hisoblashda optimal kvadratur formulalar

Interpolyatsion kubatur formulalar.
Integral ostidagi funksiyani 2 o`lchovli interpolyatsion ko`phad bilan almashtiramiz
Agar ko`phadlarni quyidagicha

aniqlab olsak, u holda
( 2.25)
ko`phad nuqtada qiymatni qabul qiladi. Integral ostidagi funksiyani (2.25) bilan almashtiramiz:
,
Bu yerda
bo`lib, uni murakkab bo`lmagan sohalar uchun hisoblash qiyin emas.
Faraz qilaylik, soha to`g`ri to`rtburchak bo`lsin: . Integrallash to`ri sifatida

to`g`ri chiziqlarning kesishishlaridan hosil bo`lgan nuqtalar to`plamini olamiz, u holda quyidagi interpolyatsion formulaga ega bo`lamiz:
.
Buni to`g;ri to`rtburchak bo`ylab integrallasak,

hosil bo`ladi, bu yerda

yoki
o`rinishda yozish mumkin, va lar esa Nyuton-Kotes formulasining koeffitsiyentlaridir[22].

2-bob bo`yicha qisqacha xulosa
Dissertasiyani ikkinchi bobida interpolyatsion kubatur formulalar kurib chiqilgan, ularni xatoliklari tahlil qilinib, effektivligi ko`rib chiqilgan va interpolyatsion kubatur formular uchun algoritm va dastur tuzilib misollarda qo`llanilgan.
III.BOB. EFFEKTIV KVADRATUR FORMULALAR
3.1 Davriy funksiyalarni integrallash.
Bu paragrafda davrli funksiyalarni taqribiy integrallash masalasini ko`ramiz. Bu yerda tabiiyki, kvadratur formulaning aniqlik darajasi algebraik ko`phadga emas, balki trigonometrik ko`phadga nisbatan qaraladi.
Agar ushbu kvadratur formula
(3.1)
ixtiyoriy tartibli trigonometrik ko`phadlar uchun aniq bo`lib, birorta - tartibli trigonometrik ko`phad uchun aniq bo`lmasa, u holda bu formulaning trigonometrik aniqlik darajasi (tartibi) ga teng deyiladi.
Teorema. tugunli kvadratur formulalar to`plamida tugunlari oraliqda tekis joylashgan va koeffisentlari o`zaro teng bo`lgan kvadratur formula eng yuqori trigonometrik aniqlik tartibiga ega bo`lib, bu tartib ga teng.
Isbot. Avvalo (1.1) ko`rinishdagi ixtiyoriy kvadratur formulaning aniqlik darajasi dan ortmasligini ko`rsatamiz.
Kvadratur formulaning tugun nuqtalaridan foydalanib,

funksiyani tuzaylik. Xar bir ko`paytuvchi birinchi tartibli trigonometrik ko`phad bo`lgani uchun, - tartibli ko`phaddir. Bu ko`phad uchun (1.1) formula aniq emas, chunki

va

Demak, tugunli kvadratur formulaning trigonometrik aniqlik tartibi dan ortmaydi. Endi ixtiyoriy uchun ushbu
, (3.2)
kvadratur formula barcha

funksiyalar uchun aniq ekanini ko`rsatamiz. Buning uchun uning barcha

funksiyalar uchun aniq ekanini ko`rsatish kifoyadir. Agar bo`lsa, bo`lib, (1.1) formula aniq ekani ravshandir. Endi bo`lsin. U holda
.
Shu bilan birga kvadratur yigindi ham nolga teng:

Shunday qilib, formulaning trigonometrik aniqlik tartibi ga teng ekan.
Ixtiyoriy uchun
, (3.3)
kvadratur formulaning - tartibli ixtiyoriy

trigonometrik ko`phad uchun aniq tenglikka aylanishini ko`rsatish qiyin emas.
Misol sifatida ushbu

to`liq elliptik integralning dagi qiymatini to`rt xona aniqlikda hisoblaylik. Integral ostidagi funksiya juft va davrli bo`lganligi sababli ni

ko`rinishda yozish mumkin. Bu integralni hisoblash uchun deb olamiz. Endi deb olib, tugunlarni nuqtaga nisbatan simmetrik ravishda joylashtiramiz:

U holda

ning jadvaldagi qiymati 1,6858. Demak, xato 0,0042 ga teng.