Логика булевых функций

4.3. Нечеткие предикаты


Определение 4.10. Нечетким предикатом (x₁, x₂, ... , x_n) называется нечеткая формула, переменные которой определены на некотором множестве М, x₁, x₂, ... , x_n M, а сама она принимает значения из интервала [0, 1].
Нечеткий предикат от n переменных называется n-местным нечетким предикатом. Нечеткое высказывание , задаваемое степенью истинности ( ) Î [0, 1] является одноместным нечетким предикатом..
Пример 4.9.
Пусть М = {0, 1, 2, 3}. Зададим нечеткий предикат следующим образом: (x, y) = xy/9. Его значения определяются следующим образом: (0, y) = (x, 0) = 0; (1, 1) = 1/9; (1, 2) = (2, 1) = 2/9; (2, 2) = 4/9; (1, 3) = (3, 1) = 1/3; (2, 3) = (3, 2) = 2/3; (3, 3) = 1;
Определение 4.11. Нечеткими кванторами и называются логические символы, которые придают включающим их выражениям следующий смысл:
(x₁, x₂, ... , x_n) = (x₁, x₂, ... , x_n) = (x₁, x₂, ... , x_n).
(x₁, x₂, ... , x_n) = (x₁, x₂, ... , x_n) = (x₁, x₂, ... , x_n).
Пример 4.10.
Найдем значения степени истинности формул (x, 1) и (x, 1) для примера 4.9:
(x, 1) = min{ (0, 1); (1, 1); (2, 1); (3, 1)} = min{0; 1/9; 2/9; 1/3} = 0.
(x, 1) = max { (0, 1); (1, 1); (2, 1); (3, 1)} = max {0; 1/9; 2/9; 1/3} = 1/3.
По аналогии с четкими предикатами вводятся также остальные понятия для нечетких предикатов.

ТЕМА 5. АЛГОРИТМЫ

5.1. Определение алгоритма

Алгоритм можно определить как некоторую процедуру, однозначно приводящую к результату. Это интуитивное определение, которое, однако, позволяет безошибочно определить, является ли рассматриваемый процесс алгоритмом или нет. Примеры алгоритмов:

1. Сортировка массива чисел в порядке возрастания.
2. Вычисление таблицы значений булевой функции, заданной формулой.
3. Вычисление чисел Фибоначчи по рекуррентному соотношению.
4. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса.
Основные требования к алгоритмам
1. Алгоритм применяется к исходным данным и дает результаты. Кроме того, в процессе работы алгоритма могут появляться промежуточные данные. Итак, каждый алгоритм имеет дело с данными: исходными, промежуточными и выходными. Данными могут быть числа, векторы, матрицы, массивы, формулы, рисунки (в графических системах).
2. Данные для своего размещения требуют памяти. Память состоит из ячеек, так что каждая ячейка может содержать один символ алфавита данных. Таким образом, объем данных и требуемая память согласованы.
3. Алгоритм состоит из отдельных элементарных шагов или действий. Причем множество различных шагов, из которых составлен алгоритм, конечно. Типичный пример множества элементарных действий – система команд ЭВМ.
4. Последовательность шагов алгоритма детерминирована, т.е. после каждого шага либо указывается, какой шаг делать дальше, либо дается команда остановки, после чего работа алгоритма считается законченной.
5. Алгоритм должен удовлетворять требованию результативности, т. е. остановки после конечного числа шагов. В таком случае говорят, что алгоритм сходится.
Любая практическая задача требует предварительного задания исходных данных. Как правило, можно задать некоторое характерное число n. Например, для задачи сортировки массива чисел по возрастанию n – число чисел в массиве, для задачи решения системы линейных уравнений n – число уравнений. Характерное число задачи определяет размерность задачи как величину массива исходных данных.
С ростом характерного числа размерность задачи возрастает. Введем понятие скорости роста для функций, зависящих от целочисленного параметра n.