Ma’ruza va amaliy mashg’ulot chiziqli normalangan fazolar

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   fazolarda norma qanday kiritiladi?
   
2. 
   fazoning xos qism fazosi bo‘yicha faktor fazoning elementlarini tavsiflang. (2,3) nuqtani saqlovchi qo‘shni sinfning normasini toping. to‘g‘ri chiziq faktor fazoning elementi bo‘ladimi?
   
3. 
   fazoda (8.1) tenglik bilan aniqlangan funksionalning norma shartlarini qanoatlantirishini ko‘rsating.
   
4. 
   fazo fazoning qism fazosi bo‘ladimi?
   
5. 
   fazoda (8.2) tenglik bilan aniqlangan funksionalning norma shartlarini qanoatlantirishini ko‘rsating.
   
6. 
   fazo fazoning qism fazosi bo‘ladimi?
   
7. 
   , va normalangan fazolarning qaysilari to‘la?
   
8. 
   3-§ ning 3.8 misolida keltirilgan ketma-ketlikni fazoda fundamentallikka tekshiring. U yaqinlashuvchi bo‘ladimi? 3.8 misoldan foydalaning.
   
9. 
   chiziqli normalangan fazoda har qanday fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchimi?
   
10. 
    chiziqli normalangan fazo to‘la normalangan fazo bo‘ladimi?
    

9-§. Evklid fazolari

Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir.

9.1-ta’rif. Bizga haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar dekart ko‘paytmada aniqlangan funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko‘paytma deyiladi:
1)
2)
3) ;
4) ,
9.2-ta’rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va elementlarning skalyar ko‘paytmasi orqali belgilanadi.
Evklid fazosida elementning normasi
(9.1)
formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi
(9.2)
tengsizlikdan kelib chiqadi.
Endi (9.2) tengsizlikni, ya’ni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz:
.
Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya’ni

Bundan
, ya’ni .
Endi (9.1) norma uchun uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz:

Bundan tengsizlik kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar ko‘paytma amallari uzluksizdir, ya’ni agar (norma bo‘yicha yaqinlashish ma’nosida), (sonli ketma-ketlik sifatida) bo‘lsa, u holda
.
Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha:




Evklid fazolarida nafaqat vektorning normasini (ya’ni uzunligini), balki vektorlar orasidagi burchak tushunchasini ham kiritish mumkin. Noldan farqli va vektorlar orasidagi burchakning kosinusi
(9.3)
formula bilan aniqlanadi. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra (9.3) ning o‘ng tomoni moduli bo‘yicha birdan oshmaydi va demak (9.3) formula haqiqatan ham, nolmas va vektorlar orasidagi burchakni bir qiymatli aniqlaydi.
Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal deyiladi.