Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Натурал сандарға мысалдар
Төменде математикалық индукция әдісінің қолданылуы анық көрсетілген.
Шешу мысалдары:
Кез келген h үшін теңдік дұрыс болатынын дәлелдеңдер:
1 2 +2 2 +3 2 +…+сағ 2 =сағ(сағ+1)(2сағ+1)/6.
1. h=1 болсын, онда:
R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1
Осыдан h=1 үшін тұжырымның дұрыс екені шығады.
2. h=d деп есептесек, келесі теңдеу шығады:
R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1
3. h=d+1 деп есептесек, былай шығады:
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.
Сонымен h=d+1 теңдігінің дұрыстығы дәлелденді, сондықтан шешімнің мысалында математикалық индукция арқылы көрсетілген кез келген натурал сан үшін тұжырым ақиқат.
Тапсырма
Шарт: h-тің кез келген мәні үшін 7 h -1 өрнегі 6-ға қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеу қажет.
Шешім:
1. Бұл жағдайда h=1 делік:
R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (яғни 6-ға қалдықсыз бөлінген)
Сондықтан h=1 үшін тұжырым ақиқат;
2. h=d және 7 d -1 6-ға қалдықсыз бөлінетін болсын;
3. h=d+1 үшін тұжырымның дұрыстығының дәлелі мына формула:
R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6
Бұл жағдайда бірінші абзацтың қабылдауы бойынша бірінші мүшесі 6-ға бөлінеді, ал екінші мүшесі 6-ға тең. 7 h -1 кез келген натурал h үшін қалдықсыз 6-ға бөлінеді деген тұжырым дұрыс.

Үкімдердің қателігі
Көбінесе логикалық конструкциялардың дұрыс еместігіне байланысты дәлелдемелерде дұрыс емес пайымдаулар қолданылады. Негізінде бұл дәлелдеудің құрылымы мен логикасы бұзылған кезде болады. Дұрыс емес пайымдаудың мысалы келесі сурет болып табылады.
Тапсырма
Шарт: кез келген тас үйіндісі үйінді емес екенін дәлелдеуді талап етеді.
Шешім:
1. h=1 делік, бұл жағдайда үйіндіде 1 тас бар және мәлімдеме ақиқат (негіз);
2. Тастар үйіндісі үйінді емес екені h=d үшін дұрыс болсын (болжам);
3. h=d+1 болсын, одан тағы бір тас қосылғанда жиын үйінді болмайды. Қорытынды болжамның барлық табиғи h үшін жарамды екенін көрсетеді.
Қате қанша тастың үйінді құрайтыны туралы анықтаманың жоқтығында. Мұндай олқылық математикалық индукция әдісінде асығыс жалпылау деп аталады. Мысал мұны анық көрсетеді.