Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Көптеген математикалық қасиеттерді және әртүрлі мәлімдемелерді дәлелдеу үшін Пеано аксиомасының 4-не негізделген дәлелдеу әдісі қолданылады. Мұның негізі келесі теорема болып табылады.

Теорема. Егер мәлімдеме БІРАҚ(n)табиғи айнымалымен nүшін шынайы n= 1 және оның шындығынан n=k, келесі сан үшін де дұрыс екені шығады n=k,содан кейін мәлімдеме БІРАҚ(n) n.
Дәлелдеу. арқылы белгілеңіз Моператоры берілген натурал сандар жиыны БІРАҚ(n)шын. Сонда теореманың шартынан мынаны аламыз: 1) 1 М; 2) к МкМ. Демек, 4-аксиоманың негізінде біз бұл туралы қорытынды жасаймыз M =Н, яғни. мәлімдеме БІРАҚ(n)кез келген табиғиға қатысты n.
Осы теоремаға негізделген дәлелдеу әдісі деп аталады математикалық индукция әдісі,ал аксиома индукция аксиомасы болып табылады. Бұл дәлел екі бөліктен тұрады:

1) мәлімдемені дәлелдеңіз БІРАҚ(n)үшін шынайы n= A(1);

2) мәлімдеме деп есептейміз БІРАҚ(n)үшін шынайы n=k, және, осы болжамнан бастап, мәлімдеме екенін дәлелдеңіз A(n)үшін шынайы n=k+ 1, яғни. мәлімдеменің рас екенін A(k) A(k + 1).

Егер БІРАҚ( 1) БІРАҚ(k) A(k + 1) шынайы мәлімдеме болса, онда олар мәлімдеме деп қорытынды жасайды A(n)кез келген натурал сан үшін дұрыс n.

Математикалық индукция арқылы дәлелдеу тек үшін мәлімдеменің ақиқаттығын растаудан басталуы мүмкін n= 1, сонымен қатар кез келген натурал саннан м. Бұл жағдайда мәлімдеме БІРАҚ(n)барлық натурал сандар үшін дәлелденетін болады nm.

Есеп.Кез келген натурал сан үшін 1 + 3 + 5 ... + (2.) теңдігі болатынын дәлелдеп көрейік n- 1) = n.

Шешім.Теңдік 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = nбірінші ретті тақ натурал сандардың қосындысын табуға болатын формула. Мысалы, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (қосындыда 4 мүшесі бар), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (қосындыда 6 мүше бар); егер бұл қосындыда көрсетілген түрдегі 20 мүшесі болса, онда ол 20 = 400, т.б. Бұл теңдіктің ақиқаттығын дәлелдеп, формула арқылы көрсетілген түрдегі мүшелердің кез келген санының қосындысын таба аламыз.

1) Осы теңдіктің ақиқаттығын тексеріңіз n= 1. Қашан n= 1 теңдіктің сол жағы 1-ге тең бір мүшесінен тұрады, оң жағы 1= 1-ге тең. 1 = 1 болғандықтан, онда үшін n= 1 бұл теңдік дұрыс.

2) Осы теңдік үшін дұрыс деп есептейік n=k, яғни. бұл 1 + 3 + 5 + … + (2 к- 1) = к.Осы болжамға сүйене отырып, біз оның дұрыс екенін дәлелдейміз n=k+ 1, яғни. 1 + 3 + 5 + ... + (2 к- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Соңғы теңдіктің сол жағын қарастырайық.

Болжам бойынша, біріншінің қосындысы ктерминдер болып табылады ксондықтан 1 + 3 + 5 + ... + (2 к- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2к- 1) + (2к+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Өрнек k+ 2k + 1 өрнекке бірдей тең ( k + 1).

Сондықтан бұл теңдіктің ақиқаты үшін n=k+ 1 дәлелденген.

Осылайша, бұл теңдік үшін дұрыс n= 1 және оның шындығынан n=kүшін ақиқатты ұстанады n=k+ 1.

Бұл бұл теңдіктің кез келген натурал сан үшін дұрыс екенін дәлелдейді.

Математикалық индукция әдісін қолдана отырып, тек теңдіктердің ғана емес, теңсіздіктердің де ақиқаттығын дәлелдеуге болады.

Тапсырма. Қай жерде дәлелдеңіз nN.

Шешім.үшін теңсіздіктің ақиқаттығын тексерейік n= 1. Бізде – ақиқат теңсіздік.

үшін теңсіздік ақиқат деп есептейік n=k,анау. - шын теңсіздік. үшін дұрыс екенін болжамға сүйене отырып дәлелдеп көрейік n=k+ 1, яғни.  (*).

Мынаны ескере отырып (*) теңсіздіктің сол жағын түрлендіреміз: .

Бірақ, бұл дегеніміз  .

Сондықтан бұл теңсіздік дұрыс n= 1, және, теңсіздік кейбіреулер үшін ақиқат болу фактісінен n= к, үшін де дұрыс екенін анықтадық n= k + 1.

Осылайша, 4 аксиоманы пайдалана отырып, біз бұл теңсіздіктің кез келген натурал сан үшін дұрыс екенін дәлелдедік.

Басқа бекітулерді де математикалық индукция әдісімен дәлелдеуге болады.

Тапсырма. Кез келген натурал сан үшін тұжырымның ақиқат екенін дәлелдеңдер.


Шешім. Мәлімдеменің растығын тексеріп көрейік n= 1: - ақиқат тұжырым.

Бұл мәлімдеме үшін дұрыс деп есептейік n=k: . Осыны пайдаланып, мәлімдеменің шындығын көрсетейік n=k+ 1:  .

Өрнекті түрлендірейік: . Айырмашылығын табайық кЖәне k+ 1 мүше. Егер алынған айырма 7-ге еселік болып шықса, ал көбейтінді 7-ге бөлінетін болса, онда минуэндер де 7-ге еселік болады:
Көбейтінді 7-ге еселік, демек, және .

Осылайша, бұл мәлімдеме үшін дұрыс n= 1 және оның шындығынан n=kүшін ақиқатты ұстанады n=k+ 1.

Бұл бұл тұжырымның кез келген натурал сан үшін дұрыс екенін дәлелдейді.

Тапсырма. Оны кез келген натурал сан үшін дәлелдеңдер n 2 тұжырым (7-1)24 дұрыс.

Шешім. 1) Үшін мәлімдеменің растығын тексеріңіз n= 2: - ақиқат мәлімдеме.
Шынайы білім әр уақытта белгілі бір жағдайларда үлгіні орнатуға және оның ақиқаттығын дәлелдеуге негізделген. Логикалық пайымдаудың өмір сүруінің осындай ұзақ кезеңі үшін ережелердің тұжырымдары берілді, Аристотель тіпті «дұрыс пайымдаулардың» тізімін жасады. Тарихи тұрғыдан барлық тұжырымдарды екі түрге бөлу әдетке айналған - нақтыдан көпше (индукция) және керісінше (дедукция). Айта кету керек, дәлелдемелердің жекеден жалпыға және жалпыдан жекеге қарай түрлері тек өзара байланыста болады және оларды алмастыруға болмайды.