Nazariy fizika kafedrasi

Fazoviy yorqin optic solitonlar
(10)-tenglamaning nochiziqli yassi to’lqin yechimi bir qatorda lokalizatsiyalashgan yechimi ham mavjud ekanligini yuqorida takidlab o’tdik. O’z-o’zini ushlab turuvchi to’lqin,o’tkazgich ko’rinishidagi to’lqin bunday yechimlardan biri hisoblanadi.Bunday yechim fazoviy yorqin soliton deb ataladi.G.Askar’yants 1962-yilda fizik mulohazalarga asoslanib bunday solitonni bashorat qilgan.
Yorug’lik dastasining o’qidan uzoqlashgan sari maydon amplitudasi kamaya borganda, muhitning sindirish ko’rsatkichi ( ) ham kamaysa muhit o’zini bamisoli yig’uvchi linza kabi tutadi.Bunda yorug’lik dastasi fokuslanadi.Ikkinchi tomondan difraksiya hisobiga yoyiladi.Agar ikkala effect to’liq muvozanatda bo’lsa, yani yoyilish fokuslanish hisobiga dastaning torayishini kompensatsiyalasa, fazoviy yorqin soliton yuzaga keladi.
Yorqin soliton ko’rinishidagi yechimni quyidagicha izlaymiz:

Bu yerda n dastaning tarqalish yo’nalishida hamda z o’qi orasidagi burchakka bog’liq parameter.Burchak nolga teng desak, n=0 bo’ladi.Shu holni ko’rish bilan chegaralanamiz.U holda (19) ni (10) ga qo’yib, quyidagicha differensial tenglama olamiz:

Bu tenglamani 2 ga ko’paytirib bir martta integrallaymiz va :
(21)

Bu yerda C integrallash doimiysi.Tenglama (20) ni massasi birga teng bo’lgan “zarracha”ning angarmonik potensialdagi harakat tenglamasi deb qarash mumkin, ya’ni .Bu yerda potensial energiya

(22)
Quyidagi rasmda bu tenglamaning faza portreti keltirilgan:

(20)- tenglama (22) bilan aniqlangandagi potensial energiyaning ekstremum nuqtalariga to’g’ri keluvchi uchta maxsus nuqtaga ega.Bulardan bittasi

egar va ikkitasi markaz tipidagi maxsus nuqtalardir.
(20) tenglamaning birinchi integrali C ning turli qiymatlariga turli traektoriyalar to’g’ri keladi: “1” chizq (C>0) “zarracha turg’un bo’lmagan muvozana,”3” (C<0) turg’un muvozanat atrofida davriy harakatda bo’lishini ko’rsatadi.To’lqin amplitudasi ( tiliga o’tsak bu traektoriyalar amplitudasi fazoda tebranuvchi to’lqinni aniqlaydi.”2” traektoriya (C=0) ikki xil tipdagi davriy harakatni bir-biridan ajratuvchi chiziq bo’lib,”zarracha “ ning separatritsadgi harakatiga mos keladi.(20) tenglamaning bunga to’g’ri keluvchi yechimi yorqin solitonni beradi.Bu ko’rinishidagi yechim da nolga intiladi.Yorqin soliton uchun analitik yechimni olish mumkin.
Bundan keyin bizni da o’zi va hosilalari nolga intiluvchi yechim qiziqtiradi, ya’ni (21)- tenglamada C= 0 deb olish kerak.Endi to’lqin paketning markazida bo’lishidan va (21) tenglamadan yuqorida kiritilgan o’zgarmas kattalik m ni aniqlaymiz:

a solitonning amplitudasi ekanligi keyinroq malum bo’ladi.Yuqoridagilarni hisobga olib (21) tenglamani integrallab va yorqin soliton uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(23)
Bu ifoda intensive yoruglik dastasining muhitda tarqalishi natijasida hosil bo’ladigan o’z-o’zini ushlab turuvchi lokalizatsiyalangan to’lqinni ifodalaydi. Bunda yoruglik dastasining markazida sindirish ko’rsatkichi chekkalaridagiga nisbatan katta.Agar boshlang’ich holda yorug’lik dastasi (23) bilan ifodalansa, u difraksiya hisobiga yoyilmaydi va shakli tarqalish davomida o’zgarmaydi.Buni quyidagi rasmda ko’ramiz:


Bu yerda 1D va 2D yorqin soliton chizmasi keltririlgan.

Xulosa
Biz bu kurs ishida solitonlar bilan tanishdik.Ular qanday sharoitda paydo bo’ladi va qanday tenglama bilan ifodalanadi shularni keltirib chiqardik.Kubik nochiziqli muhitda nochiziqli Shredinger tenglamasini keltirib chiqardik.Uning yorqin solitonlar uchun yechimini oldik.Umuman olganda solitonlar nochiziqli lokalizatsiyalashgan to’lqinlardir.

Foydalanilgan adabiyotlar
1.Yuri S. Kivshar, Govind P.Agrawal Optical Solitons.Academic Press.2003
2.A.A.Abdumalikov. Elektrodinamika-Cho’lpon.Toshkent.2011
3.R.X.Mallin. Maydon nazariyasi –T.O’qituvchi.1965