Nazariy fizika kursi
m ayatnik. 98 *,■=/,. sin (ft = /
Download 132.13 Kb. Pdf ko'rish
|
|
m ayatnik. 98 *,■=/,. sin (ft = /, y, = /, cos (pi = /, ' 1 2 - 5 ” ' , (4.87) O 'z g a rm a s sonlarni tashlab yu b o rilg an id an keyin Lagranj f u n k siyasi quyidagi k o 'rin ish g a keladi: / “ Щ Ii «Pi 2 + ^ m 2lj(p\ - ^ g e c p l - ~ ш2 ( ) 2 . (4.88) H a ra k a t tenglam alarini yozib olamiz: +m\gl - » h l 2 (j>2 + m 2gl(p2 = к ( - ф 2 ). (4.89) Asosiv g 'o y a n i tu sh u n ish u c h u n xususiy holga o 't a m i z — m t = w , = m. /, = l2 / (4.90) va m aqsadga m uvofiq bo 'lg an belgilashlarni kiritamiz: -> p к - a - / ml- Bu h o ld a te n g la m a la r soddalashadi: ф\ = - a ( < p x . . , , 4 (4.91) (р2+щ(р2 =сс( к- <р2). Agar ф1 - ф 2 =у/ \ va (р] +(р2 = ц / 1 f o r m u l a l a r orqali y angi o 'z g a - ruvchilar kiritilsa tenglam alari b ir-b irid a n ajraladi: + (cqj + 2a )y/, = 0; \j/2 + w0V , = 0. (4.92) Yangi k o o rd in a tla r normal koordinatlar deyiladi. Bu k o o rd in a tla r tilida sistem a ikkita m ustaqil teb ra n ish qilayotgan b o 'lib ch iqadi — k o o r d i n a t a g a cox=^j mf +2a va i //2 k o o r d i n a t a g a a>^=(o0 c h a s to ta li teb ra n ish la r m o s keladi. B ular norm al chastotalar deyiladi. U la r 4 .8 - r a s m d a ko'rsatilgan. R asm d ag i a) hoi i//, k o o rd in a ta g a m os keladi va b) hoi ^ k o o rd in ata g a m os keladi. Ikkala holga m os keluvchi u m u m iy y e c h i m l a r : \f/x - a x c o s a \t + b\ sin caj, y/2 = a2 cosQht + lh sin Oht. (4.93) 99 b) 4.8- rnsrn. N orm al tebranishlar. B o s h la n g ‘ich sh artlarni q u y id a g ic h a tanlaylik: t = 0 d a 9\= va = = Ф 2 = 0 (4.94) Bu d eg a n im iz b o s h la n g 'ic h m o m e n t d a birinchi m a y atn ik m u v o z a n a t h olatidan chiqarilgan, a m m o u n in g tezligi nolga teng, ikkinchi m ayatnik esa nolga te n g tezlik bilan o ‘zining m u v o z a n a t h o latida turibdi. N o r m a l k o o rd in a tla r tilida B u n d a n D e m a k , t = 0 d a 1 //, = y/2 - %, у/, = i //2 = 0 . «1 = u2 - Фи, b\ = b2 = 0 . V^i — 1 r’ v a y/2 = % cos a>2t, va, natijada, eski k o o rd in a ta la rg a qaytsak (4.95) (4.96) (4.97) = - % (cos CD|? + COS«V) = *Po cos COj +0h 1 , x . ( щ + a), {p2 = —% (cos C 0 2t - C O S f O j / J - % sin — J —- t со, - а ь c o s I ---------- - t sin Щ — Oh (4.98) y e c h im la r o linadi. H a r b ir k o o r d i n a t a u c h u n ikkita te b ra n ish la rn in g k o m b in a ts iy a s in i k o ‘ra y ap m iz: k a tta c h a s to ta li (cot + 2 ) / 2 va kichik c h a s to t a li (co2 — t o ) / 2 . B u n d a y t e b r a n i s h l a r tep k ili tebran ish lar d eyiladi. 4 .9 -ra s m d a n k o ‘rinib turibdiki, k atta (o\ + co2) / 2 chastotali teb ra - nishnirig m a k s im a l a m p l i tu d a s i k ic h ik c h a s t o t a (a>2 — co,)/2 bilan t e b ra n a d i. E n d i (4.90) s h a r td a n voz k ec hib u m u m iy hoi (4.89) ga qaytib kelaylik. Bu h o id a n o rm a l k o o rd in a tla r q a n d a y ajratib olinadi? (4.89) sistem ani quyidagi k o ‘rinishga keltirib olinadi: 100 4.9- rasm. Tepkili tebranish. co2 ( )• (4.99) B u n d a (4.100) Chiziqli differensial tenglam alar sistemasini yechishning u m u m iy metodi b o 'y ic h a (4.99) ning yechim i quyidagi k o ‘rinishda izlanadi: B ularni (4.99) ga olib borib q o ‘yilsa quyidagi algebraik sistem a hosil b o 'lad i: B u sistem a y echim ga ega bo'lishi u c h u n u n in g d e te r m in a n ti nolga teng bo'lishi kerak, b u n d a n esa kelib chiqadi. P aydo bo 'lg an chastotalar xususiy yoki normal chastotalar deyiladi. Agar «, = a 2 = a va = a>2 =a>0 desak, darhol (4.92) dagi C 0 (l} = щ + 2a va co22)=cog ch a sto ta la r olinadi. S h u bilan sistem adagi m u m k in b o 'lg a n c h a sto ta la r topildi. A va В larni topish qoldi. (p2 = B exp(ia)t). (4.101) ( a , - со2 + со,2 ) A - a , 6 = 0. a 2 A - ( a 2 - со2 + с о , ) В = 0. (4.102) (4.103) J 101 B uning u c h u n (4.102) sistem aga b irinchi m arta (o' = (o^ d eb q o 'y i- ladi va A t va B: orasidagi m u n o s a b a t topiladi, ikkinchi m a r t a esa 7 _ 2 a>- - (o^ deb q o 'y a m iz va A2 va B2 orasidagi m u n o s a b a tn i t o p a m iz . Qaysi a m p litu d a n i ikkinchisi orqali ifodalash — A ni B. o rq a lim i yoki teskari — a h a m iy a tg a ega em as, b u — qulaylik masalasi. Belgilash kiritaylik: Y\ = S, o^+co, А a, a 2 + a > i - ( o ^ _ B2 _ a , + c o r - ( o ~ 2) _ ____ ^ _____ (4.104) A2 a \ a 2 +co2 - c o ^ N a tija d a izlayotgan teb ra n ish la rn in g har biri ikkita norm al tebranish- larning superpozitsiyasi sifatida ifodalanadi: A exp(/'c0(1)/ ) + A2 exp(/ca(2)r) = 0 , + Q2, (Pi = Y\A\ ехр ( ' ш(1)?) + 7 .И 2 exp (;w (2)rj = y tQt + y 2Q2. (4 1 0 5 ) Topilgan ifodani (4.88) Lagranj funksiyasiga olib borib q o ‘yilsa quyidagi ifoda hosil b o ‘ladi: L = ~ ( " W + m2lly { )[< 2,2 - ] + -(w,/i + '^ 2 ^ 2 7 2 ) ^ 6 2 ^( 2)62 ]• (4.106) ^ ^ Hi] /1 + JililiYn li С С On\Oi I . N o r m a l k o o rd in ata la rn in g m a ’nosi shu ekanki, u lar y o rd a m id a b o sh id a ikkita o 'z a r o t a ’sirda b o 'i g a n e rk in lik darajalari ikkita m u sta q il t e b ra n is h la r k o 'r in is h ig a keltirildi. U l a r n i n g h a r biri (4.4) k o 'r in i s h d a g i erkin tebranishlar b o 'li b ch iqdi. Q o 's h i m c h a is h o n c h hosil qilish u c h u n (4.106) L agranj fu n k s iy a sid an h a r a k a t t e n g la m a la r in i keltirib chiqaraylik: & + %)Q’: = 0, Q2 + cof2)Q2 = 0. (4.107) 102 4 .5 .2 . Umumiy hoi E ndi k o ‘p erkinlik darajali sistemalardagi tebranishlarning u m u m iy nazariyasi bilan tanishib chiqaylik. Bizga erkinlik darajasi s ga teng b o ‘lgan sistem a berilgan b o ‘lsin. B u sistem aga kirgan z a rra c h a la r n in g o ‘z b a r q a r o r m u v o z a n a t holati atrofida kichik te b ra n ish la rin i o 'r g a - naylik. B a rq a ro r m u v o z a n a t holati q0. lardan c h e tla n is h la r n i y a n a x = q — q0j, i = l,...s deb belgilab va potensiai energiyani kvadratik h adlargacha aniqlikda qatorga yoyilsa potensiai energiya u c h u n quyidagi ifoda olinadi: u = \ ' % k4xixi- (4.108) '■7=1 Bu y erda paydo b o i g a n koeffitsiyent ■Л 2 ,, К o 'z in in g t a ’tifi b o 'y ic h a sim metrikdir: (4.110) K inetik energiya u c h u n T (4,111) ^ '-7 = 1 i f o d a d a a (q) —m d e b o l a m i z . c h u n k i o l i n g a n y a q i n l a s h u v d a a (q) a ;; ( q ) - atj ( g 0 + x +•••) = a{j ( q Q) boMishi kerak (aks h oida chiziqli yaqinlashuvdan chiqib ketiladi). N atijada ( 4 . 1 1 2 ) i.j=i ga kelamiz. D e m a k , sistem aning Lagranj funksiyasi L = ^ { mijx‘xj - kij xixj)- (4.П З) ',7=1 Kinetik energiyaning t a ’rifi b o 'y ic h a T > 0 , tenglik belgisi faqatgina h a r bir za rra ch an in g kinetik energiyasi nolga teng b o ‘lgandagina o'rinli 103 \ ~4{\, (4.109) bo'lishi m u m k in . D e m a k , X m ux ix j kvadratik fo rm a m u s b a t a n i q l a n - g a n fo r m a d ir . P o te n s ia l e n e rg iy a n i ifodalo v c h i f o r m a h a m m u s b a t Bu s ta t e n g l a m a d a n iborat b o 'l g a n chiziqli t e n g la m a la r sistem asi. U m u m i y m e t o d b o 'y i c h a u n in g y e c him larini k o 'r in is h d a izlash kerak ((4.101) bilan taqqoslang). N a tija d a h a r a k a t ten g la m a la ri k o 'rin ish ig a keladi (h a r bir t e n g la m a d a n exp (/Vo/) k o 'p a y tu v c h in i ajratib t a s h l a g a n d a n keyin). Bu b ir jinsli algebraik t e n g l a m a l a r siste m asi f a q a t b o 'lg a n d a g in a y e c h im g a ega ( ( 4 . 1 0 2 ) va (4.103) lar bilan solishtiring). Bu te n g la m a a? ga n isbatan s tartibli te n g la m a b o 'lib u x arakteristik tenglama deyiladi. B u t e n g la m a n in g 5 ta y ec him i (of, i = \ , . . . , s m u sb a t b o 'lib , u la rd a n olingan со. lar xususiy yoki norm al chastotalar deyidadi. cof larning m usbatligini isbot qilaylik. B u n in g u c h u n (4.117) AJ ga k o 'p a y tirib , / b o 'y i c h a yig'indisi olinadi. Lagranj hosilalari (4.114) ga t e n g e k a nligidan h arak at te n g la m a la r topiladi: S (4.115) x, = Д ехр(гй)г) (4.116) Х ( ~ « „ « 2 + ^ ) Л ; = 0 , i = 1 /=| (4.117) (4.118) 104 Natijada X V - V. 2 _ J./=! (4.119) form ula olinadi. B irinchidan /«.. va /с larning sim m e trik va haqiqiy- ligidan m ahraj va suratining haqiqiy sonligi kelib chiqadi: m ahraj u c h u n h am huddi shu. Oxirgi tenglikka o ‘tish d a i j alm ash- tirildi va т:—т.. sim m etrikligidan foydalanildi. Y u q o rid a aytilganidek, T va U ucfiun kvadratik fo rm a la r m usbat form alar, de m a k , h a m m a m u m k in bo'igan chastotalarning kvadratlari h a m ikki m usbat sonlarning nisbati sifatida m usbat sonlardir. H a m m a ch a sto ta la r kvadratlarining m usbatligi yana s h u n d a n ham kelib chiqadiki, ko'rilayotgan h olda hech q a n d a y tashqi t a ’sir y o 'q , de m a k , tebranishlarning o 'z - o 'z i d a n o'sishi yoki kam ayishi m u m k in emas. Vaholangki, q a n d a y d ir ch a sto ta la r u c h u n ax < 0 bo'lsa, ch a sto - talar orasida rnavhumlari paydo b o 'la r edi, bu esa hadlarga olib kelar edi. Tashqi ta ’sir — ishqalanish kuchi b o r holatga o'taylik. Dissipativ funksiya tu s h u n ch asi h a m ((4.68) ga qarang) k o 'p o 'l c h a m h holga um um lahstiriladi: P aydo b o 'ig a n koeffitsiyentlar c r sim m etriklik xossasiga ega: U s h b u k o e f f i ts i y e n t l a r n in g kelib c h i q i s h i k i n e t i k n a z a r i y a d a t u s h u n t i r i l a d i g a n b o 'l g a n i u c h u n u l a r n i k in e tik k o e ffitsiye n tla r d e y ila d i. U l a r n i n g s im m e tr ik l i g i h a m k in e ti k n a z a r i y a d a isb o t qili- n a d i. K o 'p o 'l c h a m l i h o l d a h a r a k a t t e n g l a m a l a r i g a i s h q a l a n i s h X »>„ A* Aj = X ma A.i Ai = X m ii A" A r ( 4 . 1 2 0 ) F = — V a„X:X ч 1 - (4.121) (4.122) 105 k u c h l a r i n i d is s ip a tiv f u n k s i y a o rq a li q y i d a g i c h a k ir i tis h m u m k i n : d dL dL dF d i d x, dxt ~ dx,' (4.123) Sistem aning birlik vaqt ichida ishqalanish orqali y o 'q o tg a n energiysi va dissipativ funksiya orasidagi b o g 'la n is h (4.69) ning k o 'rin ish i k o ‘p o ‘lcham li h olda h a m o 'z g a rm a y d i. B uni q u yidagicha keltirib c h iq a - rish m u nkin: dt dt d x ( J Ox, dx, j (4Л24) j L i ^ ' d x , " ’ i oxirgi tenglik F fu n k siy an in g ikkinchi tartibli b ir jinsliligidan kelib ch iqadi (E yler teo re m a si). . (4.113), (4.121) va (4.123) form u lala r b o 'y i c h a ishqalanish kuchi h a ra k a t tenglam alariga kiritiladi: S ( ' JV V/ +кчх! + 1 ......'• (4.125) /=i Y echim ni x , = / \ , e “ (4.126) k o 'r in is h d a izlaymiz. Bu h o ld a yuqoridagi te n g la m a la r sistemasi X ( m ку = 0 , / = i,.... ■>. (4.127) /=i k o ‘rinishni oladi. Bu siste m an in g yechim i m avjud b o 'lis h i u c h u n det j mtj o r + ( o + к ■ | = 0 (4 .1 2 8 ) shart bajarilishi kerak. Bizga b u a> ga n isbatan 2s-tartibli algebraik t e n g la m a n i beradi. Oliy algebra kursid an m a ’lum ki, b u te n g la m a g a kirgan h a m m a koeffitsiyentlar — m , k., a.. — haqiqiy b o'lgani u c h u n u n in g yechim lari yoki haqiqiy, yoki o 'z a ro kom pleks q o 's h m a ju ftlarda n iborat b o 'ladi. Ishqalanish borligi te bra nishla r s o 'n u v c h i b o 'lishi kerak- ligini bildiradi, b u n d a n s h u n d a y xulosaga kelish kerakki, b u c h a sto - 106 talam ing haqiqiylari ham, komplekslarining haqiqiy qismlari h am manfiy b o ‘lishi kerak. S iste m a ning erkinlik darajalari soni u c h - t o ‘rtdan k o ’p b o ‘lganda y u q o rid a berilgan u m u m iy nazariyani a n a litik k o 'r in is h d a q o ‘llash m asalada soddalashtirishga imkoniyat beradigan q a n d a y d ir sim m etriya b o 'l m a s a qiyin bo'ladi. S hu bobning oxirgi paragrafida m a n a s h u n d ay bir n e c h a misollar keltirilgan. 4.5.3. Molekulalarning tebranish] an M o lekulalarning t o lliq nazariyasi kvant nazariyasi bo'lishi kerak. a m m o , kichik tebra n ish la r haqida gap ketganda klassik tahlildan kelib c h iq q a n natijalar kvant natijalar bilan bir xil b o 'lib chiqadi. Kichik te b ra n ish la r nuqtayi nazaridan n ta atom li m olekula - o ‘zaro prujinalar bilan b o g 'lan g a n massa- lari inr tn2,..., mn b o 'lg a n m o d d iy n u q ta la r siste- masidir. B u nday tasdiq u c h u n asos sh u n d a n iboratki, atom lar orasidagi potensiallar 4 . 10-rasmda ko'rsatilgan k o 'rinishga ega. K o'rish qiyin emaski, (4.1) parag- rafdagi u m u m iy m ulohazalar atom ning turg 'u n m u v o z a n a t nuqtasi atrofidagi kichik tebranishlariga b e vosita m os keladi. M o le k u la la r n in g kichik teb ra n ish la rig a tegishli bo'lgan u m u m iy m u lo h a z a la r uzun b o 'lm a s d a n quyi dagi p u n k tla rd a n iboratdir. M o le k u la o 'z a r o t a ’sirda b o 'lg a n a t o m l a r n i n g yopiq sistemasidir. B u nday sistemaga u c h xil h arakat hosdir — butunligicha ilgarilanma harakat, butunlikcha aylanm a harakat va a to m la rn in g bir-biriga nisbatan tebranishi. B u tu n lik c h a ilgarilanm a va b u tu n lik c h a a y lan m a harakatlarni chiqarib tashlash kerak. Ishni bosqichlarga bo'laylik: 1. B u tunlikcha ilgarilanma harakatni chiqarib tashlash u c h u n m ole- kulaning to 'liq im pulsini nolga tenglashtirish kerak: p = 5 > « v« = 0 - (4.129) a B u d e g a n i m o l e k u l a n i n g in e rsiy a m a r k a z i s is te m a s ig a o 't i l d i d egani: R = S /H«r« =const- (4.130) 4 . 10-rasm. A tom lararo potensiai, rQ — tu rg‘un m uvozanat nuqtasi. 107 H a r bir a t o m n i n g ra d iu s-v ek to ri r j= r j 0 + d u k o 'r in is h d a olinsin, bu y erd a ra0 — a a t o m n i n g m u v o z a n a t h o la ti, d ; esa m u v o z a n a t d a n chetlashish vektori. T ash q i m a y d o n d a boVlmagan sistem aning inersiya m arkazi o 'z - o 'z i d a n o 'z garishi m u m k in em a s, s h u n in g u c h u n R = I > „ r, = 5 > „ r „ o = const. (4.131) a о D e m a k , b d , = ° (4.132) bo'lishi kerak. 2. M o le k u la n in g b u tu n lik c h a aylanishini chiqarib tashlash u c h u n u n in g to 'l i q h a ra k a t m iq d o ri m o m e n t in i nolga tenglashtirishi kerak. K ichik te b ra n is h la r h a q id a gap k e ta y o tg a n in i hisobga olib birin ch i tartibli kichik so n la r yaqinlashuvida M = X [r„ V „ ] = £ ma [r„ 0 d„ ] = 7 : L k o d „ ] = 0. (4.133) a a a deb olish m u m k in . H osila ostidagi kattalik o 'z g a rm a s songa teng, da larning nolga teng b o 'lg a n id a h a m u o 's h a son bo'lishi kerak b o 'lg a n i uch u n 1 > Д Г,,<А ] = 0 (4.134) a deb olish kerak. Olingan shu ikkita te n g la m a la r sistem asini yechib n o rm a l ko o r- dinatlarn i topish m u m k in . T eb ra n ish la rg a m o s keluvchi erkinlik d a r a jalari sonini, y a ’ni, m ustaqil te b ra n ish la r s onini topaylik. n ta a t o m d a n iborat m o le kulaning 3 n ta erkinlik darajasi bor. Yuqoridagi ikkita vektor sh artlarn in g soni 6 taga teng. D e m a k , n atom li m o lekulaning tebra nish erkinlik darajalari u m u m iy h o ld a 3/7 — 6 ta ek a n . A g a r a t o m l a r b ir t o 'g 'r i c h iz iq d a j o y la s h g a n b o 'ls a , b u o ' q atro fid a aylanish h a q id a g a p iris h n in g m a ’nosi y o 'q , d e m a k , bu h o ld a t e b ra n ish erk in lik darajalari soni 3n — 5 ga teng. M a s a la n , C O , m o le k u la sin in g te b ra n ish la ri soni 3 - 2 — 5 = 1 ga teng. H , 0 m o le k u la s in in g esa m ustaq il t e b ra n ish la ri soni 3 • 3 — 6 = 3 ga teng. 4.5.1-misol. 4.11-rasmda ko'rsatilgan chiziqli BA , molekulaning teb ranish chastotalarini topaylik. 108 |
