Операции над множествами Определение

Упражнение 2.10.1. Доказать обобщение следствия 2.10.1: если производная функции ff неотрицательна и обращается в 0 в конечном числе точек, то функция ff будет строго возрастающей на (a,b).(a,b).
Рассмотрим функцию y=tgx.y=tgx. Ее производная y′=1cos2x>0.y′=1cos2x>0. Тем не менее эта функция не является строго возрастающей на всей области определения. Она строго возрастающая на интервалах (−π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z(−π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z.
Поэтому, чаше всего при исследовании функций стараются определить интервалы монотонности, т.е. интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

Пример 2.10.1. Пусть y=cosx.y=cos⁡x. Найти интервалы монотонности этой функции.
Решение. Имеем: y′=−sinx.y′=−sin⁡x. Эта функция больше нуля там, где синус меньше нуля. Т.е. на интервале (π,2π)(π,2π) и на всех остальных, получающихся из данного сдвигом на число, кратное 2π.2π. Эти интервалы составляют промежутки возрастания косинуса.
Производная y′<0y′<0 на интервале (0,π)(0,π) и на всех остальных, получающихся из данного сдвигом на число, кратное 2π.2π. Они составляют промежутки убывания функции y=cosx.y=cos⁡x.
Находя интервалы монотонности функции, мы автоматически находим и экстремумы функции.
С помощью производных можно доказывать неравенства.
Пример 2.10.2. Доказать неравенство |sinx|≤|x|,x∈[−π/2,π/2]|sin⁡x|≤|x|,x∈[−π/2,π/2].
Решение. Достаточно доказать, что sinx≤x,x∈[0,π/2]sin⁡x≤x,x∈[0,π/2], поскольку функция sinxsin⁡x является нечетной.
Рассмотрим функцию y=sinx−x.y=sin⁡x−x. Производная этой функции y′=cosx−1≤0.y′=cos⁡x−1≤0. Следовательно, по теореме 2.10 .1 функция yy убывающая во всей области определения. В частности, y(0)≥y(x)y(0)≥y(x), если x≥0.x≥0.
Это означает, что 0≥sinx−x0≥sin⁡x−x, что совпадает с доказываемым неравенством.
Упражнение 2.10.2. Доказать неравенство
xn+an−−−−−−√n≤x+a,x>0,a>0,n∈Nxn+ann≤x+a,x>0,a>0,n∈N

Выпуклость вверх и выпуклость вниз