Оптимизация марковских систем массового обслуживания с~отказами в системе matlab

Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
113
решение задачи рассматривается как процесс моделирования, который позволяет прослеживать 
изменение параметров СМО при минимизации вероятности отказов, когда они имеют динами-
ческий характер до значений установившегося режима. При оптимизации как инструменте мо-
делирования реальных систем следует учитывать модельное время, которое может заметно вли-
ять на условия работы стандартных алгоритмов минимизации и, соответственно, на соответству-
ющие функции системы MATLAB. Для малых значений параметров системы их можно увеличить 
путем перевода модельного времени из минут в секунды и т. д. 
Математическая модель системы массового обслуживания с отказами 
В соответствии с символикой Кендалла СМО с отказами обозначается как M/M/m: первые 
две буквы означают пуассоновский входной поток требований и их экспоненциальное обслужи-
вание, третья буква соответствует числу приборов обслуживания, включенных параллельно [1–7]. 
Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами приведен на рис. 1. 
µ 
2µ
3µ
kµ
(m – 1)µ 
mµ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(m – 1) 
Рис. 1. Граф состояний СМО с отказами 
Считая, что в системе существует стационарный режим, можно определить вероятности 
состояний системы на основе равенства потоков вероятностей на границе двух состояний,
а также условие нормировки: сумма несовместных вероятностей равна единице. Стационарная 
вероятность произвольного состояния P
k 
определяется по формулам 
(
)
0
λ / µ
,
!
k
k
P
P
k
=
0
0
1
,
λ
/ !
µ
k
m
k
P
k
=
=
 
 
 
∑
где λ – интенсивность входного пуассоновского потока требований; µ – интенсивность обслу-
живания одним прибором по экспоненциальному закону; m – число приборов обслуживания,
m ≥ 1; P
0 
– вероятность отсутствия требований в системе. 
Значения интенсивности λ и µ являются положительными величинами по смыслу функ-
ционирования любой СМО. 
Отказ в обслуживании начинается, когда все приборы (каналы) заняты. Вероятность отказа 
обозначим как P
m
. Расчет вероятности отказа выполняется по формуле 
(
)
0
λ / µ
.
!
m
m
P
P
m
=
Вероятность P
0 
– величина ограниченная, поэтому предельное значение вероятности отка-
зов P
m
будет определяться отношением степенной функции (числителем) к факториалу числа от 
количества приборов обслуживания. Используя правило Лопиталя, можно показать, что при
m → ∞ вероятность отказов будет равна нулю. Следовательно, задаваясь допустимой величиной 
вероятности отказов, можно определить соответствующее значение числа приборов обслуживания.
Пропускную способность СМО определяют с помощью таких характеристик, как относи-
тельная пропускная способность Q и абсолютная пропускная способность А. Относительная 

---