O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

9.5. 
]
,
[
2
π
π
−
C
  separabel  Evklid  fazosida 
( )
{
}
∞
=
−
=
1
2
1
sin
n
n
t
n
t
π
φ
  sistema 
ortonormal bo‘ladimi? Agar 
}
{
n
φ
 ortonormal sistema bo‘lsa, u to‘lami? 
Yechish.  Ma’lumki, 
{
}
t
n
sin
2
1
−
π
  trigonometrik  sistema  ortogonaldir.  Endi 
1
)
,
(
=
n
n
φ
φ
 tenglikni tekshiramiz.  
(
)
(
)
∫
∫
−
−
=
−
=
−
=
=
π
π
π
π
π
π
π
π
π
φ
φ
1
0
2
2
1
2
cos
1
2
1
sin
1
)
,
(
2
dt
t
dt
nt
n
n
. 
Demak, 
}
{
n
φ
  ortonormal  sistema  ekan.  Endi  uni  to‘lalikka  tekshiramiz.  9.2-
teoremaga  ko‘ra 
}
{
n
φ
  sistema  to‘la  bo‘lishi  uchun  uning  yopiq  bo‘lishi  zarur  va 
yetarlidir. 
( )
]
,
[
1
2
0
π
π
−
∈
≡
C
t
f
  uchun  Parseval  tengligi  bajarilishini  tekshiramiz. 
0
f
  ning  Fur’e  koeffitsiyentlarini  hisoblaymiz.  Ma’lumki,  toq  funksiyaning 
]
,
[
a
a
−
  kesma  bo‘yicha  olingan  integrali  nolga  teng.  Shuning  uchun  istalgan 
N
n
∈
 da  
(
)
0
sin
1
,
0
=
=
=
∫
−
π
π
π
φ
dt
nt
f
c
n
n
. 
Bundan  

 
118 
∑
∞
=
=
>
=
1
2
2
0
0
2
n
n
c
f
π
 
tengsizlik  kelib  chiqadi.  Parseval  tengligi  bajarilmayapti,  shuning  uchun 
}
{
n
φ
 
sistema yopiq emas, demak, u to‘la bo‘lmagan ortonormal sistema ekan.  
 
14-mavzu:  
To`la yevklid fazolari. Ris –Fishеr tеorеmasi. Gilbеrt fazolari. Komplеks 
yevklid fazolari 
 
9.2. To‘la Evklid fazolari. Riss-Fisher teoremasi 
 
Bizni asosan to‘la Evklid fazolari qiziqtiradi. 
9.8-ta'rif. 
E
 Evklid fazosi 
( )
x
x
x
,
=
 normaga nisbatan to‘la bo‘lsa, u to‘la 
Evklid fazosi deyiladi. 
Misollar.  9.6. 
]
,
[
2
b
a
C
  to‘la  bo‘lmagan  separabel  Evklid  fazosi  bo‘ladi  (3.8-
misolga qarang). 
9.7. 
2
l
 va 
]
,
[
2
b
a
L
 to‘la separabel Evklid fazolariga misol  bo‘ladi (3.7 va 8.15 
misollarga qarang). 
E
  -  to‘la  separabel  Evklid  fazosi  va 
}
{
n
φ
  -undagi  ortonormal  sistema  (to‘la 
bo‘lishi  shart  emas)  bo‘lsin.  Bessel  tengsizligidan  kelib  chiqadiki, 
,...
...,
,
,
2
1
n
c
c
c
 
sonlar biror  f  elementning Fur'e koeffitsiyentlari bo‘lishi uchun  
∑
∞
=
1
2
n
n
c  
qatorning yaqinlashishi zarur. 
To‘la Evklid fazolarida bu shart yetarli ham ekan. 
9.3-teorema.  (Riss-Fisher). 
}
{
n
φ
  - 
E
  to‘la  Evklid  fazosidagi  ixtiyoriy 
ortonormal sistema va  
,...
...,
,
,
2
1
n
c
c
c
  sonlar shunday bo‘lsinki, 
∑
∞
=
1
2
n
n
c                        (9.16) 
qator yaqinlashsin. U holda shunday  
E
f
∈
 element mavjudki,  
(
)
,...
....,
,
2
,
1
,
,
n
k
f
c
k
k
=
=
φ
    va    
(
)
2
1
2
,
f
f
f
c
n
n
=
=
∑
∞
=
 
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. 
Isbot. 
E
 to‘la Evklid fazosida  
}
{
n
f
  ketma-ketlikni quyidagicha aniqlaymiz: 
∑
=
=
n
k
k
k
n
c
f
1
φ . 
(9.16)  qator  yaqinlashuvchi  bo‘lgani  uchun  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun  shunday 
0
)
(
>
ε
n
 mavjudki, barcha 
)
(
ε
n
n
>
  va  
N
p
∈
 larda 

 
119 
2
1
2
2
1
1
2
...
ε
φ
φ
<
=
+
+
=
−
∑
+
+
=
+
+
+
+
+
p
n
n
k
k
p
n
p
n
n
n
n
p
n
c
c
c
f
f
 
tengsizlik o‘rinli, ya'ni 
}
{
n
f
 - fundamental ketma-ketlik. 
E
 ning to‘laligiga ko‘ra 
}
{
n
f
 ketma-ketlik qandaydir 
E
f
∈
 elementga yaqinlashadi. Istalgan 
N
i
∈
 uchun 
(
) (
) (
)
,
,
,
,
i
n
i
n
i
f
f
f
f
φ
φ
φ
−
+
=
                         (9.17) 
tenglik  o‘rinli.  (9.17)  ning  o‘ng  tomonidagi  birinchi  qo‘shiluvchi 
i
n
≥
  da 
i
c
  ga 
teng, ikkinchi qo‘shiluvchi esa 
∞
→
n
 da nolga intiladi, chunki 
(
)
.
,
0
,
∞
→
→
−
=
⋅
−
≤
−
n
f
f
f
f
f
f
n
i
n
i
n
φ
φ
 
(9.17)  tenglikning  chap  tomoni 
n
  ga  bog‘liq  emas,  shuning  uchun 
n
→
∞
  da 
limitga o‘tsak, 
(
)
i
i
c
f
=
φ
,
. 
f  ning aniqlanishiga ko‘ra,  
(
)
.
,
0
,
,
1
2
1
1
2
∞
→
→
−
=






−
−
=
−
∑
∑
∑
∞
=
=
=
n
c
f
f
c
f
c
f
f
f
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
φ
φ
 
Shuning uchun 
∑
∞
=
1
2
n
n
c =
(
)
f
f ,
.  ∆ 
Ortogonal sistemaning to‘laligi haqida quyidagi teoremani isbotlaymiz. 
9.4-teorema.  To‘la  separabel  Evklid  fazosidagi 
}
{
n
φ
  ortonormal  sistema  to‘la 
bo‘lishi  uchun, 
E
  da 
}
{
n
φ
  sistemaning  barcha  elementlariga  ortogonal  bo‘lgan 
nolmas elementning mavjud bo‘lmasligi yetarli va zarurdir. 
Isbot. Faraz qilaylik, 
}
{
n
φ
 - to‘la sistema bo‘lsin, u holda 9.2-teoremaga ko‘ra u 
yopiq  ham  bo‘ladi.  Agar  f   element 
}
{
n
φ
  sistemaning  barcha  elementlariga 
ortogonal  bo‘lsa,  u  holda  uning  barcha  Fur'e  koeffitsiyentlari  nolga  teng,  ya'ni 
0
=
n
c
 bo‘ladi. U holda Parseval tengligiga ko‘ra, 
∑
∞
=
=
1
2
)
,
(
k
k
c
f
f
, 
ya'ni 
θ
=
f
. 
Teskarisi, 
}
{
n
φ
  to‘la  bo‘lmagan  sistema  bo‘lsin,  ya'ni  E   da  shunday 
θ
≠
g
 
element mavjud bo‘lib, 
∑
∞
=
>
1
2
)
,
(
k
k
c
g
g
,  bu yerda  
(
)
k
k
g
c
φ
,
=
  
tengsizlik  bajarilsin.  Riss-Fisher  teoremasiga  asosan,  shunday 
E
f
∈
  element 
mavjudki, 
(
)
(
)
∑
∞
=
=
=
1
2
,
,
,
k
k
k
k
c
f
f
c
f
φ
 

 
120 
tengliklar o‘rinli. Bu holda 
g
f
−
 element barcha 
k
φ
 larga ortogonal bo‘ladi. 
(
)
( )
g
g
c
f
f
k
k
,
,
1
2
<
=
∑
∞
=
 
tengsizlikdan 
θ
≠
−
g
f
 ekanligi kelib chiqadi. ∆ 
Misol. 9.8. 
]
,
[
2
π
π
−
L
 separabel Evklid fazosida 
( )
∞
=
−
=
1
2
1
}
cos
{
n
n
t
n
t
π
ψ
  
ortonormal sistema to‘la bo‘ladimi? 
Yechish. 
}
{
n
ψ  larning barchasiga ortogonal bo‘lgan 
( )
1
0
=
t
f
  nolmas  element 
mavjud. Shuning uchun, 9.4-teoremaga ko‘ra 
}
{
n
ψ  sistema to‘la emas.  
 
9.3. Evklid fazolarining xarakteristik xossalari 
 
Quyidagicha savolni qaraymiz.  R  - normalangan fazo bo‘lsin.  R  da aniqlangan 
norma qanday qo‘shimcha shartlarni qanoatlantirsa,  R - Evklid fazosi ham bo‘ladi? 
Boshqacha aytganda, qanday shartlarda norma orqali unga mos skalyar ko‘paytma 
kiritish mumkin? 
9.5-teorema. 
R
 normalangan fazo Evklid fazosi bo‘lishi uchun, ixtiyoriy ikkita  
R
g
f
∈
,
 elementlar uchun  
2
2
2
2
2
2
g
f
g
f
g
f
+
=
−
+
+
                   (9.18) 
tenglik bajarilishi zarur va yetarli. 
Isbot.  Zaruriyligi. 
g
f
+
  va 
g
f
−
  tomonlari 
f
  va 
g
  vektorlardan  iborat 
parallelogramm diagonallaridir. (9.18) tenglik Evklid fazosidagi parallelogramning 
ma'lum  xossasini  ifodalaydi,  ya'ni  parallelogramm  diagonallari  kvadratlarining 
yig‘indisi barcha tomonlar kvadratlarining yig‘indisiga teng. 
(
) (
)
(
) ( )
.
2
2
,
2
,
2
,
,
2
2
2
2
g
f
g
g
f
f
g
f
g
f
g
f
g
f
g
f
g
f
+
=
+
=
=
−
−
+
+
+
=
−
+
+
 
Yetarliligi.  R  normalangan fazoda normaning (9.18) ayniyatidan foydalanib,  R  
da skalyar  ko‘paytma kiritish  mumkinligini ko‘rsatish kifoya. Ixtiyoriy 
R
g
f
∈
,
 
elementlar uchun 
(
)
(
)
2
2
4
1
,
g
f
g
f
g
f
−
+
+
=
                   (9.19) 
deymiz.  Ko‘rsatish  mumkinki,  agar  (9.18)  tenglik  bajarilsa,  (9.19)  tenglik 
yordamida  aniqlangan  funksional  skalyar  ko‘paytma  shartlarini  qanoatlantiradi  va 
bu skalyar ko‘paytma  R  fazo normasiga mos keladi.∆ 
Misollar.  9.9. 
n
p
R
  -  n -  o‘lchamli  vektor  fazoni  qaraymiz  va  unda  normani 
quyidagicha kiritamiz (8.3-misolga qarang): 
p
n
k
p
k
p
x
x
1
1






=
∑
=
 

 
121 
1
>
p
  da  norma  aksiomalari  bajariladi,  lekin 
n
p
R
  normalangan  fazo  Evklid  fazosi 
bo‘lishi uchun 
p
 faqat 2 ga teng bo‘lishi kerak. Haqiqatan ham, 
n
p
R
 da ikkita 
)
0
,
,
0
,
1
,
1
(
),
0
,
,
0
,
1
,
1
(
K
K
−
=
=
g
f
  
vektorlarni qaraymiz. U holda 
(
)
(
)
0
0
2
0
0
0
0
2
,
,
,
,
g
f
,
,
,
,
,
g
f
K
K
=
−
=
+
 
Endi (9.18) tenglikning bajarilishini tekshirib ko‘ramiz: 
( )
p
p
p
p
p
p
p
g
f
g
f
g
f
1
1
2
,
2
,
2
2
=
=
=
−
=
=
+
 
.
2
2
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
p
p
p
=
⋅
+
⋅
=
+
 
So‘nggi tenglik faqatgina 
2
=
p
 da o‘rinli. 
9.10. 
]
2
,
0
[
π
C
 fazoni qaraymiz. Normani quyidagicha kiritamiz: 
( )
t
f
f
t
2
0
max
π
≤
≤
=
.                        (9.20) 
t
t
g
t
t
f
sin
)
(
,
cos
)
(
=
=
 elementlarni olamiz. U holda 
,
1
=
=
g
f
 
1
sin
cos
max
,
2
2
2
2
2
sin
cos
max
2
0
2
0
=
−
=
−
=
+
=
+
=
+
≤
≤
≤
≤
t
t
g
f
t
t
g
f
t
t
π
π
 
Endi (9.18) tenglikning bajarilishini tekshiramiz: 
2+1=2(1+1),   
4
3
≠
  
Demak,  (9.20)  tenglik  bilan  aniqlanuvchi  normani  biror  bir  skalyar  ko‘paytma 
yordamida berish mumkin emas.  
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
Shunday  funksionalga  misol  keltiringki,  skalyar  ko‘paytmaning  1-  sharti 
bajarilmasin. 
2. 
Skalyar  ko‘paytmaning  1-sharti  bajarilib,  2-4  shartlari  bajarilmaydigan 
funksionalga misol keltiring. 
3. 
To‘la  va  to‘la  bo‘lmagan  Evklid  fazolariga  misollar  keltiring. 
2
l
  va 
]
1
,
1
[
2
−
C
 fazolarni tahlil qiling. 
4. 
3
R
 
fazoda 
)
0
,
0
,
1
(
,
)
0
,
1
,
1
(
,
)
1
,
1
,
1
(
=
=
=
z
y
x
 
vektorlarni 
ortogonal-
lashtiring. 
5. 
]
,
[
2
b
a
C
 fazoda ortonormal sistemaga misol keltiring. 
6. 
]
1
,
1
[
2
−
C
  fazoda 
x
x
g
va
x
f
=
=
)
(
1
)
(
  vektorlar  orasidagi  burchakni 
toping. 
7. 
( )
(
)
{
}
∞
=
=
1
cos
n
n
x
n
t
f
π
  sistemani 
]
1
,
1
[
2
−
C
  fazoda  ortogonallikka  tekshiring. 
Undan ortonormal sistemaga o‘ting. 
8. 
( )
(
)
{
}
∞
=
=
1
sin
n
n
x
n
t
g
π
 sistema 
]
1
,
1
[
2
−
L
 fazoda yopiq sistema bo‘ladimi?. 

 
122 
9. 
]
1
,
1
[
2
−
L
 fazoda 
x
x
g
va
x
f
=
=
)
(
1
)
(
 vektorlarning  
( )
(
)
∞
=






=
1
1
n
n
x
n
cos
x
f
π
π
 
     ortonormal sistemadagi Fur'e koeffitsiyentlarini toping. 
10. 
]
1
,
1
[
2
−
L
 Evklid fazosida  
( )
(
)
x
n
x
f
n
π
π
π
cos
1
,
1
=
,    
( )
(
)
x
n
x
g
n
π
π
sin
1
=
,   
N
n
∈
   
     ortonormal sistema to‘la bo‘ladimi? 
11. 
1
,
≥
p
p
l
  chiziqli  normalangan  fazo  p  ning  qanday  qiymatlarida  Evklid 
fazosi bo‘ladi.  
12. 
]
,
[
b
a
L
p
, 
1
≥
p
  chiziqli  normalangan  fazo 
p
  ning  qanday  qiymatlarida 
Evklid fazosi bo‘ladi.  
 
10. Hilbert fazolari 
 
To‘la  Evklid  fazolarini  qarashda  davom  etamiz.  Bizni  faqat  cheksiz  o‘lchamli 
Evklid  fazolari  qiziqtiradi,  chunki  chekli  o‘lchamli  Evklid  fazolari 
n
R
  fazoga 
izomorfdir. 
10.1-ta'rif. Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi. 
Shunday qilib, ixtiyoriy tabiatli 
K
,
,
,
ϕ
g
f
 elementlarning 
H
 to‘plami Hilbert 
fazosi bo‘lsa, u quyidagi uchta shartni qanoatlantiradi: 
1) 
H
 - Evklid fazosi, ya'ni skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo; 
2) 
( ) (
)
y
x
y
x
y
x
−
−
=
,
,
ρ
 metrika ma'nosida  
H
 - to‘la fazo; 
3) 
H
  fazo  -  cheksiz  o‘lchamli,  ya'ni  unda  cheksiz  elementli  chiziqli  erkli 
sistema mavjud. 
Odatda  separabel  Hilbert  fazolari  qaraladi,  ya'ni 
H
  ning  hamma  yerida  zich 
bo‘lgan sanoqli to‘plam mavjud. 
Bundan keyin biz faqat separabel Hilbert fazolarini qaraymiz. 
Misollar.  10.1. 
]
,
[
2
b
a
C
  Evklid  fazosi  to‘la  emas  (3.8  va  9.6-misollarga 
qarang), shuning uchun 
]
,
[
2
b
a
C
 Hilbert fazosi bo‘la olmaydi.