O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim 
vazirligi 
 
Namangan Davlat universiteti 
 
 
 
Fizika-matematika fakul’teti 
“Matematika” kafedrasi 
 
 
 
“Matematika”  yo`nalishi talabalari uchun 
“Funsional analiz” fanidan  
  
 
 
MA`RUZA MATNI 
 
 
 
 
 
 
 
 
Namangan-2013 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
1-mavzu:  
To’plamlar ustida amallar, akslantirish. Quvvat tushunchasi. 
 
1-To‘plamlar ustida amallar 
Matematikada  juda  xilma-xil  to‘plamlarga  duch  kelamiz.  Haqiqiy  sonlar 
to‘plami,  tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plami,  ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar 
to‘plami  va  hokazo.  To‘plam  tushunchasi  matematikada  tayanch  tushunchalardan 
bo‘lib,  unga  ta’rif  berilmaydi.  «To‘plam»        so‘zining  sinonimlari  sifatida 
«ob’ektlar  majmuasi»      yoki      «elementlar  majmuasi»    so‘z  birikmalaridan 
foydalaniladi. 
To‘plamlar  nazariyasi  hozirgi  zamon  matematikasida  juda  muhim  o‘ringa 
ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan cheklanamiz. 
To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari 
,
,
,
L
B
A
 ularning elementlarini 
esa kichik  - 
L
,
,b
a
  harflar  bilan  belgilaymiz.  « a    element  A  to‘plamga  tegishli»  
iborasi  «
A
a
∈
»  shaklda  yoziladi.    «
A
a
∈/
»    yozuv  esa  a   element  A   to‘plamga 
tegishli  emasligini  bildiradi.  Agar  A   to‘plamning  barcha  elementlari  B  
to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda  A  to‘plam  B  to‘plamning qismi deb 
ataladi  va 
B
A
⊂
  ko‘rinishda  yoziladi.  Masalan,  natural  sonlar  to‘plami  haqiqiy 
sonlar  to‘plamining  qismi  bo‘ladi.  Agar  A   va  B   to‘plamlar  bir  xil  elementlardan 
tashkil  topgan  bo‘lsa,  u  holda  ular  teng  to‘plamlar  deyiladi  va 
B
A =
  shaklda 
belgilanadi.  Ko‘pincha,  to‘plamlarning  tengligini  isbotlashda 
B
A
⊂
  va 
A
B
⊂
 
munosabatlarning  bajarilishi  ko‘rsatiladi  ([1]  ga  qarang).  Ba’zida  birorta  ham 
elementi  mavjud  bo‘lmagan  to‘plamlarni  qarashga  to‘g‘ri  keladi.  Masalan, 
0
=
1
2
+
x
  tenglamaning  haqiqiy  yechimlari  to‘plami, 
2
<
2
x
≤
  qo‘sh  tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi  haqiqiy  sonlar  to‘plami  va  hokazo.  Bunday  to‘plamlar  uchun 
maxsus      «bo‘sh  to‘plam»      nomi  berilgan  va  uni  belgalashda 
Ш
  simvoldan 
foydalaniladi.  Ma’lumki,  har  qanday  to‘plam  bo‘sh  to‘plamni  o‘zida  saqlaydi  va 
har  qanday  to‘plam  o‘zining  qismi  sifatida  qaralishi  mumkin.  To‘plamlarning 
bo‘sh  to‘plamdan  va  o‘zidan  farqli  barcha  qism  to‘plamlari  xos  qism  to‘plamlar 
deb ataladi. 
1.1.  To‘plamlar  ustida  amallar.  Ixtiyoriy  tabiatli  A   va  B   to‘plamlar 
berilgan bo‘lsin. Agar 
C
 to‘plam faqatgina  A  va  B  to‘plamlarning elementlaridan 
iborat  bo‘lsa,  u  holda 
C
  to‘plam  A   va  B   to‘plamlarning    yig‘indisi    yoki  
birlashmasi  deyiladi va 
B
A
C
U
=
 shaklda belgilanadi (1.1-chizmaga qarang). 
Ixtiyoriy  (chekli  yoki  cheksiz)  sondagi 
α
A   to‘plamlarning  yig‘indisi  ham 
shunga  o‘xshash  aniqlanadi: 
α
A   to‘plamlarning  kamida  biriga  tegishli  bo‘lgan 
barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning  yig‘indisi deyiladi  va bu  munosabat 
−
α
α
A
U
 shaklda belgilanadi. 
Endi  A  va  B  to‘plamlar  kesishmasini  ta’riflaymiz.  A  va  B  to‘plamlarning 
umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning  kesishmasi deyiladi (1.2-
chizmaga qarang) va 
B
A I
 shaklda belgilanadi. 
 

 
 
 
 
 
 
 
Ixtiyoriy  (chekli  yoki  cheksiz)  sondagi  to‘plamlarning  kesishmasi 
α
α
A
I
−
 
deb 
α
A  to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi. 
To‘plamlar  yig‘indisi  va  kesishmasi  aniqlanishiga  ko‘ra  kommutativ  va 
assotsiativdir, ya’ni  
 
),
(
=
)
(
,
=
C
B
A
C
B
A
A
B
B
A
U
U
U
U
U
U
 
 
).
(
=
)
(
,
=
C
B
A
C
B
A
A
B
B
A
I
I
I
I
I
I
 
Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan  
(1.1)
),
(
)
(
=
)
(
C
B
C
A
C
B
A
I
U
I
I
U
 
 
(1.2)
).
(
)
(
=
)
(
C
B
C
A
C
B
A
U
I
U
U
I
 
Biz  (1.1)  va  (1.2)  tengliklarning  isboti  murakkab  bo‘lmaganligi  uchun  ularni 
o‘quvchiga havola qilamiz. 
Endi  A   va  B   to‘plamlar  ayirmasini    ta’riflaymiz.  A   va  B   to‘plamlar 
ayirmasi  deb 
A   to‘plamning 
B   to‘plamga  tegishli  bo‘lmagan  barcha 
elementlaridan  iborat  to‘plamga  aytiladi  va 
B
A \
  shaklda  belgilanadi  (1.3-
chizmaga qarang). 
Ba’zan  (masalan  o‘lchovlar  nazariyasida),  A   va  B   to‘plamlarning 
simmetrik  ayirmasi  tushunchasini  kiritish  maqsadga  muvofiq  bo‘ladi. 
B
A \
  va 
A
B \
  to‘plamlarning  birlashmasidan  iborat  to‘plamga  A   va  B   to‘plamlarning 
simmetrik 
ayirmasi 
deyiladi 
va 
B
A
∆
 
shaklda 
belgilanadi, 
ya’ni 
)
(
)
(
=
A
\
B
B
\
A
B
A
U
∆
 (1.4-chizmaga qarang). 
Ko‘p hollarda qandaydir universal  E  to‘plamning qism to‘plamlari qaraladi. 
Masalan,  tekislikdagi  barcha  to‘plamlar.  Bu  holda 
A
E \
  ayirma  A   to‘plamning 
to‘ldiruvchi  to‘plami  deyiladi  va 
A
′
  yoki 
CA
  shaklda  belgilanadi  (1.5-chizmaga 
qarang). 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
To‘plamlar  nazariyasi  va  uning  tadbiqlarida  muhim  o‘rin  tutadigan  va  
ikkilik prinsipi  deb nomlanuvchi quyidagi ikki munosabatni keltiramiz: 
1.1. Yig‘indining to‘ldiruvchisi to‘ldiruvchilar kesishmasiga teng:  
A 
B 
1.1 – chizma  
A 
B 
1.3 – chizma  C=A\B. 
A 
B 
1.4 – chizma  C=A
∆
B. 
A 
E 
1.5 – chizma  
A 
B 
1.2 – chizma C=
B
A I
 

 
(1.3)
).
(
=
α
α
α
α
A
\
E
A
\
E
I
U
 
1.2. Kesishmaning to‘ldiruvchisi to‘ldiruvchilar yig‘indisiga teng:  
 
(1.4)
).
(
=
α
α
α
α
A
\
E
A
\
E
U
I
 
Ikkilik  prinsipi  shundan  iboratki  ixtiyoriy  tenglikdan,  agar  bu  tenglik 
qandaydir universal  E  to‘plamning qism to‘plamlari ustida bo‘lsa, ikkinchi ikkilik 
tenglikka  o‘tish  mimkin,  buning  uchun  barcha  qaralayotgan  to‘plamlar  ularning 
to‘ldiruvchilari  bilan,  to‘plamlar  kesishmasi-birlashma  bilan,  birlashmasi  - 
kesishma bilan almashtiriladi. 
Biz  (1.3)  tenglikning  isbotini  keltiramiz.  (1.4)  tenglik  shunga  o‘xshash 
isbotlanadi.  
Isbot. Ixtiyoriy 
α
α
A
E
x
U
\
∈
 elementni olamiz, bu yerdan 
E
x
∈
 va 
α
α
A
x
U
∉
 
ekanligi  kelib  chiqadi.  Bundan  ixtiyoriy 
α  uchun  x  ning 
α
A   to‘plamga  tegishli 
emasligiga  kelamiz.  Demak,  x   element 
α
A   to‘plamlarning  to‘ldiruvchilarida 
yotadi.  Shunday  qilib,  ixtiyoriy 
α  uchun 
α
A
E
x
\
∈
  munosabat  o‘rinli,  bundan 
biz 
)
\
(
α
α
A
E
x
I
∈
 ga ega bo‘lamiz. Bu esa  
 
(1.5)
)
\
(
\
α
α
α
α
A
E
A
E
I
U
⊂
 
munosabatni  keltirib  chiqaradi.  Endi  teskari  munosabatni  isbotlaymiz.  Agar 
)
\
(
α
α
A
E
x
I
∈
 bo‘lsa, u holda barcha 
α  larda 
α
A
E
x
\
∈
 bo‘ladi va  x  element 
α
A  
to‘plamlarning birortasiga ham tegishli emas, bu esa 
α
α
A
x
U
∈/
 ekanligini bildiradi. 
Demak, 
α
α
A
E
x
U
\
∈
 ekan. Bundan biz  
 
(1.6)
)
(
α
α
α
α
A
\
E
A
\
E
I
U
⊃
 
munosabatga kelamiz. (1.5) va (1.6) munosabatlar (1.3) tenglikni isbotlaydi.  
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
1.  (1.4) tenglikni isbotlang.  
2. 
)
(
)
(
=
B
A
\
B
A
B
A
I
U
∆
 tenglikni isbotlang.  
3. 
B
A
B
E
A
E
∆
∆
=
)
\
(
)
\
(
 tenglikni isbotlang, bu yerda 
.
,
E
B
E
A
⊂
⊂
 
4. 
)
(
)
(
)
(
)
(
D
B
C
A
D
C
B
A
∆
∆
⊂
∆
U
U
U
 munosabatni isbotlang.  
5.  Ixtiyoriy  A  va  B  to‘plamlar uchun 
)
(
B
A
B
A
∆
⊂
U
 munosabatni isbotlang.  
6.  Agar 
1
A   va 
2
A   to‘plamlar  kesishmasa, 
)
(
)
(
2
2
1
1
2
1
B
A
B
A
B
B
∆
∆
⊂
U
I
 
munosabatni isbotlang.  
 
2-. Akslantirishlar. To‘plamlarni sinflarga ajratish 
  
2.1.  Funksiya  tushunchasini  umumlashtirish.  Ma’lumki,  matematik 
analizda  funksiya  tushunchasi  quyidagicha  ta’riflanadi:  X   sonlar  o‘qidagi  biror 

to‘plam bo‘lsin. Agar har bir 
X
x
∈
 songa  f  qoida bo‘yicha aniq bir 
)
(
=
x
f
y
 son 
mos  qo‘yilgan  bo‘lsa,  u  holda  X   to‘plamda  f   funksiya  aniqlangan  deyiladi. 
Bunda  X   to‘plam  f   funksiyaning  aniqlanish  sohasi  deyiladi,  bu  funksiya  qabul 
qiladigan  barcha  qiymatlardan  tashkil  bo‘lgan 
)
( f
E
  to‘plam  f   funksiyaning 
qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni 
}.
),
(
=
:
{
=
)
(
X
x
x
f
y
y
f
E
∈
 
Agar sonli to‘plamlar o‘rnida  ixtiyoriy to‘plamlar  qaralsa,  u  holda  funksiya 
tushunchasining  umumlashmasi,  ya’ni  akslantirish  ta’rifiga  kelamiz.  Bizga 
ixtiyoriy  X  va  Y  to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar har bir 
X
x
∈
 elementga biror 
f   qoida  bo‘yicha  Y   to‘plamdan  yagona 
y
  element  mos  qo‘yilsa,  u  holda  X  
to‘plamda  aniqlangan  Y   to‘plamdan  qiymatlar  qabul  qiluvchi  f   akslantirish 
berilgan  deyiladi.  Bundan  keyin  ixtiyoriy  tabiatli  to‘plamlar  bilan  ish  ko‘ramiz 
(shu  jumladan  sonli  to‘plamlar  bilan  ham),  shuning  uchun  ko‘pgina  hollarda  
funksiya termini o‘rniga  akslantirish atamasini ishlatamiz. 
X   to‘plamda  aniqlangan  va  Y   to‘plamdan  qiymatlar  qabul  qiluvchi  f  
akslantirish  uchun 
Y
X
f
→
:
  belgilashdan  foydalaniladi.  Biz  asosan  quyidagi 
belgilashlardan  foydalanamiz. 
−
N   natural  sonlar  to‘plami, 
−
Z   butun  sonlar 
to‘plami, 
−
Q   ratsional  sonlar  to‘plami, 
−
R   haqiqiy  sonlar  to‘plami. 
,
)
[0,
=
∞
+
R
 
N
Z
U
{0}
=
+
 hamda 
n
R  sifatida 
−
n
 o‘chamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi. 
Endi 
Y
X
f
→
:
 akslantirishga misollar keltiramiz. 
2.1. 
.
=
)
(
,
:
2
x
x
f
R
R
f
→
 
2.2. 
].
[
=
)
(
,
:
x
x
g
R
R
g
→
 Bu yerda 
]
[x  belgi  x  sonining butun qismi. 
2.3. Dirixle funksiyasi 
,
:
R
R
D
→
  
 



∈
∈
.
0,
,
1,
=
)
(
Q
\
R
x
Q
x
x
D
agar
agar
 
2.4. Riman funksiyasi 
,
:
R
R
R
→
  
 




∈
∈
.
0,
=
,
1
=
)
(
Q
\
R
x
Q
n
m
x
n
x
R
agar
kasr
qisqarmas
agar
 
2.5. Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi 
.
=
)
,
(
,
:
2
x
y
x
P
R
R
P
→
 
2.6. Sferik akslantirish 
.
=
)
,
,
(
,
:
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
x
x
x
x
x
x
S
R
R
S
+
+
→
 
Yuqorida,  2.1-2.6  misollarda  keltirilgan  akslantirishlarning  qiymatlar 
sohalarini toping. 
Yechish.  2.1-misolda  keltirilgan 
R
R
f
→
:
  akslantirishlarning  qiymatlar 
sohasi 
)
[0,
=
)
(
∞
f
E
  dan  iborat.  Chunki  barcha 
R
x
∈
  lar  uchun 
0
2
≥
x
  va 
ixtiyoriy 
)
[0,
∞
∈
y
 uchun 
y
y
f
=
)
(
 tenglik o‘rinli. 
2.2-misolda  keltirilgan 
]
[
=
)
(
,
:
x
x
g
R
R
g
→
  akslantirishlarning  qiymatlar 
sohasi, aniqlanishiga ko‘ra 
Z
g
E
=
)
(
 dan iborat. 
Dirixle  funksiyasi 
R
R
D
→
:
  ning  qiymatlar  sohasi,  aniqlanishiga  ko‘ra 
{0;1}
=
)
(D
E
 ikki nuqtali to‘plamdan iborat. 

Riman funksiyasi 
R
R
R
→
:
 ning qiymatlar sohasi,  
 
.
;
1
;
;
3
1
;
2
1
0;1;
=
)
(






L
L
n
R
E
 
Ortogonal  proyeksiyalash  funksiyasi 
x
y
x
P
R
R
P
=
)
,
(
,
:
2
→
  ning 
qiymatlar sohasi, 
R
P
E
=
)
(
 dan iborat. 
Sferik  akslantirish 
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
=
)
,
,
(
,
:
x
x
x
x
x
x
S
R
R
S
+
+
→
  ning  qiymatlar 
sohasi, 
+
R
S
E
=
)
(
 dan iborat. 
Endi 
Y
X
f
→
:
 akslantirish uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz. 
Har  bir 
X
a
∈
  uchun  unga  mos  qo‘yilgan 
Y
a
f
b
∈
)
(
=
  element  a  
elementning 
f   akslantirishdagi  tasviri  yoki  aksi  deyiladi.  Umuman,  X  
to‘plamning  biror  A   qismi  berilgan  bo‘lsa,  A   to‘plam  barcha  elementlarining  Y  
dagi tasvirlaridan iborat bo‘lgan to‘plam  A  to‘plamning  f  akslantirishdagi tasviri 
yoki aksi deyiladi va 
)
( A
f
 simvol bilan belgilanadi. Endi 
Y
b
∈
 ixtiyoriy element 
bo‘lsin.  X   to‘plamning 
b
  ga  akslanuvchi  barcha  elementlaridan  iborat  qismi 
b
 
elementning  f  akslantirishda asli deyiladi va 
)
(
1
b
f
−
 simvol bilan belgilanadi. O‘z 
navbatida har bir 
Y
B
⊂
 to‘plam uchun  X  ning  B  ga o‘tuvchi (akslanuvchi) qismi 
B   to‘plamning  f   akslantirishdagi  asli  deyiladi  va 
}
)
(
:
{
=
)
(
1
B
x
f
X
x
B
f
∈
∈
−
 
shaklda  belgilanadi.  Umuman  olganda,  Y   to‘plam  sifatida  f   akslantirishning 
qiymatlar  sohasini  o‘zida  saqlovchi  to‘plam  qaraladi.  Agar  barcha 
B
b
∈
 
elementlar uchun ularning 
)
(
1
b
f
−
 aslilari bo‘sh bo‘lsa, u holda  B  to‘plamning asli 
ham bo‘sh to‘plam bo‘ladi. 
2.7.  2.1  va  2.2  akslantirishlarda 
[0;3)
=
A
  to‘plamning  tasviri  va 
(1;4)
=
B
 
to‘plamning aslini toping. 
Yechish.  f  akslantirish 
)
[0;
∞
 da o‘suvchi va uzluksiz funksiya bo‘lganligi 
uchun 
[0;9)
=
([0;3))
f
  bo‘ladi. 
([0;3))
g
  esa  [0;3)   dagi  butun  sonlardan,  ya’ni 
{0;1;2}
=
([0;3))
g
  dan  iborat.  Endi 
(1;4)
=
B
  to‘plamning  aslini  topamiz: 
(1;2),
1)
2;
(
=
)
(
1
U
−
−
−
B
f
   
[2;4).
=
)
(
1
B
g
−
 
2.8. 2.3 va 2.4 akslantirishlarda 
Q
R
A
\
=
 to‘plamning tasviri va 
)
(1;
=
∞
B
 
to‘plamning aslini toping. 
Yechish.  D   va  R   akslantirishlar 
Q
R \
  to‘plamning  barcha  elementlariga 
nolni  mos  qo‘yadi,  shuning  uchun 
{0}.
=
)
\
(
=
)
\
(
Q
R
R
Q
R
D
  Dirixle    va  Riman  
funksiyalarining  1  dan  katta  qiymatlari  mavjud  emas,  shuning  uchun 
.
Ш
=
)
(
=
)
(
1
1
B
R
B
D
−
−
 
Quyidagi  tushunchalarni  kiritamiz.    Aniqlanish  sohasi  X   bo‘lgan 
Y
X
f
→
:
  akslantirishda 
Y
X
f
=
)
(
  tenglik  bajarilsa, 
f   akslantirish  X  
to‘plamni  Y   to‘plamning  ustiga  yoki  syuryektiv  akslantirish  deyiladi.  Umumiy 
holda, ya’ni 
Y
X
f
⊂
)
(
 bo‘lsa, u holda  f  akslantirish  X  to‘plamni  Y  to‘plamning 
ichiga akslantiradi deyiladi. 

Agar 
Y
X
f
→
:
  akslantirishda  X   dan  olingan  har  xil 
1
x   va 
2
x  
elementlarga  har  xil 
)
(
=
1
1
x
f
y
  va 
)
(
=
2
2
x
f
y
  tasvirlar  mos  kelsa,  u  holda  f  
inyektiv  akslantirish  yoki  inyeksiya  deyiladi.  Bir  vaqtda  ham  syuryektiv  ham 
inyektiv bo‘lgan 
Y
X
f
→
:
 akslantirish biyeksiya deyiladi.