O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

)
(
n
0
\
 
Endi  
 
m
m
m
E
E
)
(
n
0
I
∞
=1
=
δ
 
bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, 
δ
E  to‘plam teorema shartlarini qanoatlantiradi. Dastlab 
δ
E  
to‘plamda 
}
{
n
f
 ketma-ketlikning  f  ga tekis yaqinlashishini ko‘rsatamiz. Aytaylik, 
δ
E
x
∈
  bo‘lsin.  U  holda  ixtiyoriy  m   uchun  barcha 
)
(
0
m
n
i
≥
  nomerlarda 
m
x
f
x
f
i
1/
|<
)
(
)
(
|
−
  tengsizlik  bajariladi.  Bundan 
δ
E   to‘plamda 
}
{
n
f
  ketma-
ketlikning  f  funksiyaga tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. 
Endi 
δ
E
E \
  to‘plam  o‘lchovini  baholaymiz.  Barcha  m   lar  uchun 
0.
=
)
\
(
m
E
E
µ
 Haqiqatan  ham, agar 
m
E
E
x
\
0
∈
 bo‘lsa, u  holda  yetarlicha katta  i  
lar  uchun 
m
x
f
x
f
i
1/
|
)
(
)
(
|
0
0
≥
−
  bo‘ladi,  ya’ni 
)}
(
{
0
x
f
n
  ketma-ketlik 
)
(
0
x
f
  ga 
yaqinlashmaydi. Demak, 
A
E
E
E
m
\
\
⊂
 munosabat o‘rinli. Bu yerda  
 
)}.
(
=
)
(
lim
:
{
=
x
f
x
f
x
A
n
n
∞
→
 
Bundan,  
 
0.
=
)
\
(
0
=
)
\
(
)
\
(
m
m
E
E
A
E
E
E
µ
µ
µ
⇒
≤
 
Bu yerdan kelib chiqadiki,  
 
.
2
<
)
\
(
=
)
\
(
)
(
)
(
0
0
m
m
m
n
m
m
m
n
E
E
E
E
δ
µ
µ
 
Shuning uchun  
 
≤
∞
∞
))
\
(
(
=
)
\
(
=
)
\
(
)
(
1
=
)
(
1
=
0
0
m
m
n
m
m
m
n
m
E
E
E
E
E
E
U
I
µ
µ
µ
δ
 
 
∆
≤
∑
∑
∞
∞
.
=
2
<
)
\
(
1
=
)
(
1
=
0
δ
δ
µ
m
m
m
m
n
m
E
E
 
10.2. O‘lchov bo‘yicha yaqinlashish.  Bizga  E  to‘plamda aniqlangan 
}
{
n
f
 
o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi va  f  o‘lchovli funksiya berilgan bo‘lsin. 
10.4-ta’rif.  Agar ixtiyoriy 
0
>
δ
 uchun  
 
{
}
0
=
)
(
)
(
:
lim
δ
µ
≥
−
∈
∞
→
x
f
x
f
E
x
n
n
 
tenglik  bajarilsa,  u  holda 
}
{
n
f
  funksiyalar  ketma-ketligi  E   to‘plamda  f  
funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi. 
Deyarli  yaqinlashishdan  o‘lchov  bo‘yicha  yaqinlashish  kelib  chiqadi. 
Quyidagi teorema shu haqda. 
10.4-teorema.  Agar 
}
{
n
f
 o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi  E  
(
)
∞
<
)
(E
µ
 
to‘plamda  f   funksiyaga  deyarli  yaqinlashsa,  u  holda 
}
{
n
f
  ketma-ketlik  E  
to‘plamda  f  ga o‘lchov bo‘yicha ham yaqinlashadi. 
Isbot. 10.2-teoremaga ko‘ra, limitik funksiya  f  o‘lchovli bo‘ladi.  

 
105 
 
{
}
)
(
=
)
(
:
=
x
f
x
f
x
A
n
n
lim
∞
→
 
bo‘lsin.  Teorema  shartiga  ko‘ra, 
0
=
)
\
(
A
E
µ
  bo‘ladi.  Berilgan 
0
>
δ
  son  uchun 
quyidagi belgilashlarni kiritamiz.  
 
},
|
)
(
)
(
:|
{
=
)
(
δ
δ
≥
−
x
f
x
f
x
E
k
k
 
 
).
(
=
),
(
=
)
(
1
=
=
δ
δ
δ
n
n
k
n
k
n
R
M
E
R
I
U
∞
∞
 
O‘lchovli  to‘plamlarning  xossalaridan  foydalanib,  ko‘rsatish  mumkinki,  yuqorida 
kiritilgan barcha to‘plamlar o‘lchovli bo‘ladi. Ravshanki,  
 
.
)
(
)
(
)
(
2
1
L
L
⊃
⊃
⊃
⊃
δ
δ
δ
n
R
R
R
 
O‘lchovning uzluksizlik xossasidan  
 
(
)
)
(
=
)
(
lim
M
R
n
n
µ
δ
µ
∞
→
 
tenglik kelib chiqadi. 
Ko‘rsatamizki, 
A
E
M
\
⊂
 bo‘ladi. Haqiqatan ham, 
A
x
∈
0
 bo‘lsin, ya’ni  
 
( ) ( )
.
=
lim
0
0
x
f
x
f
n
n
∞
→
 
Limit ta’rifiga ko‘ra, berilgan 
0
>
δ
 son uchun shunday  n  mavjudki,  
 
( ) ( )
δ
<
0
0
x
f
x
f
k
−
 
tengsizlik barcha 
n
k
≥
 lar uchun o‘rinli, ya’ni 
),
(
0
δ
n
R
x
∉
 shunday ekan, 
.
0
M
x
∉
 
Bundan  
 
.
\
\
A
E
M
M
E
A
⊂
⇒
⊂
 
O‘lchovning yarim additivlik xossasidan  
 
0.
=
)
(
0
=
)
\
(
)
(
M
A
E
M
µ
µ
µ
⇒
≤
 
Demak, 
∞
→
n
  da 
(
)
0.
)
(
→
δ
µ
n
R
 
)
(
)
(
δ
δ
n
n
R
E
⊂
  munosabatdan  va  o‘lchovning 
yarim additivlik xossasidan  
 
(
)
0
=
)
(
lim
δ
µ
n
n
E
∞
→
 
ekanligi kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi.  
∆  
O‘lchov  bo‘yicha  yaqinlashishdan  deyarli  yaqinlashish  kelib  chiqadimi 
degan savol  tug‘iladi. Umuman olganda  o‘lchov bo‘yicha  yaqinlashishdan deyarli 
yaqinlashish  kelib  chiqmas  ekan.  Quyidagi  misol  bu  fikrning  to‘g‘riligini 
tasdiqlaydi. 
10.5-misol.  Har  bir 
N
k
∈
  uchun  (0,1]   yarim  intervalda 
)
(
)
(
2
)
(
1
,
,
,
k
k
k
k
f
f
f
K
 
funksiyalarni quyidagi usul bilan aniqlaymiz  
 










 −
∈
≤
−
.
;
1
(0;1]
0,
,
<
1
1,
=
)
(
)
(
k
i
k
i
x
k
i
x
k
i
x
f
k
i
\
agar
agar
 
Bu  funksiyalarni  tartib  bilan  nomerlab, 
}
{
n
g
  ketma-ketlikni  hosil  qilamiz. 
}
{
n
g
 
ketma-ketlikning nol funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishini va biror nuqtada 
ham nolga yaqinlashmasligini isbotlang. 
Isbot.  Har  bir 
N
∈
n
  uchun  shunday 
k
  va  i   sonlar  topiladiki, 

 
106 
)
(
=
)
(
)
(
x
g
x
f
n
k
i
  tenglik  bajariladi  va  n   cheksizga  intilishi  bilan 
k
  ham  cheksizga 
intiladi. Demak, ixtiyoriy 
0
>
δ
 uchun  
{
}
{
}
.
1
=
1
;
1
)
(
:
=
)
(
:
0
)
(
∞
→
→








 −
≤
≥
≥
k
k
k
k
i
x
f
x
x
g
x
k
i
n
,
µ
δ
µ
δ
µ
 
Endi 
}
{
n
g
  ketma-ketlikni  (0;1]   intervalda  nol  funksiyaga  deyarli 
yaqinlashmasligini  ko‘rsatamiz.  Ixtiyoriy 
(0;1]
0
∈
x
  nuqtani  olamiz.  Shunday 
n
k  
va 
n
i  
(
)
L
L
<
<
<
<
2
1
n
k
k
k
 sonlar topiladiki,  
 






−
∈
n
n
n
n
k
i
k
i
x
;
1
0
 
bo‘ladi. Demak,  
 
( )
∆
≠
∞
→
0.
1
=
0
x
f
)
k
(
i
n
n
n
lim
 
10.5-teorema.  Agar 
}
{
n
f
  o‘lchovli  funksiyalar  ketma-ketligi  E   to‘plamda 
f   ga  o‘lchov  bo‘yicha  yaqinlashsa,  u  holda  undan  f   ga  deyarli  yaqinlashuvchi 
qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. 
Isbot.  Biz  musbat  va  nolga  intiluvchi 
L
L
,
,
,
,
2
1
n
ε
ε
ε
  ketma-ketlikni  va 
L
L
,
,
,
,
2
1
n
η
η
η
  musbat  sonlarni 
L
L
+
+
+
+
n
η
η
η
2
1
  qator  yaqinlashuvchi 
bo‘ladigan  qilib  tanlaymiz.  Indekslar  ketma-ketligi 
L
,
<
2
1
n
n
  larni  quyidagicha 
tanlaymiz: 
1
n  indeksni shunday tanlaymizki,  
 
1
1
1
<
}
|
)
(
)
(
:|
{
η
ε
µ
≥
−
x
f
x
f
x
n
 
tengsizlik  bajarilsin.  Bu  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
1
n   mavjudligi 
}
{
n
f
  ketma-
ketlikning  f   ga  o‘lchov  bo‘yicha  yaqinlashuvchi  ekanligidan  kelib  chiqadi.  Endi 
1
2
> n
n
 indeks shunday tanlanadiki,  
 
2
2
2
<
}
|
)
(
)
(
:|
{
η
ε
µ
≥
−
x
f
x
f
x
n
 
tengsizlik bajarilsin. Umuman 
1
>
−
k
k
n
n
 indeks shunday tanlanadiki,  
 
k
k
k
n
x
f
x
f
x
η
ε
µ
<
}
|
)
(
)
(
:|
{
≥
−
 
tengsizlik  bajarilsin.  Tanlangan 
}
{
k
n
f
  ketma-ketlikning 
f   ga  deyarli 
yaqinlashuvchi bo‘lishini ko‘rsatamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:  
 
.
=
}
|
)
(
)
(
:|
{
=
1
=
=
i
i
k
k
n
i
k
i
R
x
f
x
f
x
R
I
U
∞
∞
≥
−
R
va
ε
 
Tanlanishiga  ko‘ra, 
.
2
1
L
L
⊃
⊃
⊃
⊃
n
R
R
R
  O‘lchovning  uzluksizlik  xossasiga 
ko‘ra, 
).
(
)
(
P
R
n
µ
µ
→
 Ikkinchi tomondan, ravshanki,  
 
k
i
k
i
R
η
µ
∑
∞
=
<
)
(
 
tengsizlik  o‘rinli.  So‘nggi  qator  yaqinlashuvchi  qatorning  qoldig‘i  bo‘lganligi 
uchun,  u 
∞
→
i
  da  nolga  intiladi.  Demak, 
0
=
)
(
=
)
(
i
R
lim
µ
µ R
.  Endi 
R
\
E
 
to‘plamda 
)
(
)
(
x
f
x
f
k
n
→
  ni  ko‘rsatish  qoldi.  Faraz  qilaylik, 
R
\
E
x
∈
0
  bo‘lsin.  U 

 
107 
holda shunday 
0
i  mavjudki, 
.
0
0
i
R
x
∈/
 Bu shuni anglatadiki, barcha 
0
i
k
≥
 lar uchun  
 
}
|
)
(
)
(
:|
{
0
k
k
n
x
f
x
f
x
x
ε
≥
−
∈/
   ya’ni   
.
|<
)
(
)
(
|
0
0
k
k
n
x
f
x
f
ε
−
  
Shartga ko‘ra 
0,
→
k
ε
 shuning uchun  
 
∆
∞
→
).
(
=
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
k
n
k
 
Quyidagi  teorema  uzluksiz  va  o‘lchovli  funksiyalar  o‘rtasidagi  muhim 
bog‘lanishni ifodalaydi. 
10.6-teorema  (Luzin). 
]
,
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  f   funksiya  o‘lchovli 
bo‘lishi  uchun  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun 
]
,
[ b
a
  da  uzluksiz  bo‘lgan  shunday 
ϕ  
funksiya  mavjud  bo‘lib, 
{
}
ε
ϕ
µ
<
)
(
)
(
:
]
,
[
x
x
f
b
a
x
≠
∈
  tengsizlik  bajarilishi  zarur 
va yetarli. 
10.1-natija. 
]
,
[ b
a
 kesmada uzluksiz funksiya o‘lchovlidir. 
10.6-misol. 
]
[0;
π  kesmada aniqlangan  
 
(
)



∈
∈
Q
x
x
Q
x
x
x
f
,
sin
cos
\
]
[0,
,
sin
=
)
(
2
π
  
funksiya o‘lchovli bo‘ladimi? 
Yechish. Luzin teoremasi natijasiga ko‘ra, uzluksiz 
]
[0,
,
sin
=
)
(
π
ϕ
∈
x
x
x
 
funksiya o‘lchovli bo‘ladi. Luzin teoremasi va   
 
(
)
ε
π
µ
ϕ
µ
<
≠
0
=
]
[0,
=
)}
(
)
(
:
{
Q
x
x
f
x
I
 
tengsizlikdan  f  funksiyaning 
]
[0;
π  kesmada o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi. 
  
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar  
1.  Agar 
−
→
R
E
f :
  o‘lchovli  funksiya  va 
−
⊂
E
A
  o‘lchovli  to‘plam  bo‘lsa,  u 
holda 
R
A
f
→
:
 funksiyaning  A  to‘plamda o‘lchovli bo‘lishini isbotlang. 
2.  Agar 
f   va 
g
  funksiyalar  E   to‘plamda  o‘lchovli  bo‘lsa,  u  holda 
)}
(
),
(
{
min
=
)
(
x
g
x
f
x
h
−
 va 
)}
(
),
(
{
max
=
)
(
x
g
x
f
x
h
+
 
 
funksiyalarning o‘lchovli bo‘lishini isbotlang.  
3.  Agar 
g
~
f
 va 
ϕ
~
g
 bo‘lsa, u holda 
ϕ
~
f
 ekanligini isbotlang.  
4.  10.5-misolda  keltirilgan 
}
{
n
g
  ketma-ketlikdan  nolga  deyarli  yaqinlashuvchi 
qismiy ketma-ketlik ajrating. 
5.  10.4-misol uchun Egorov teoremasi shartlarini qanoatlantiruvchi 
3
10
=
,
−
δ
δ
E
 
to‘plamni quring.  
6.  Dirixle  va  Riman  funksiyalari  uchun  Luzin  teoremasining  shartlarini 
qanoatlantiruvchi  uzluksiz 
)
(x
ϕ
  funksiyani  toping. 
)
(x
D
  va 
)
(x
R
  larning 
aniqlanishini 10.1-misoldan qarang.  
7.  f   funksiyaga  har  bir  nuqtada  yaqinlashuvchi,  lekin  tekis  yaqinlashmaydigan 
n
f  funksiyalar ketma-ketligiga misol keltiring.  
8. 
[0;1]
,
=
)
(
∈
x
x
x
f
n
n
 funksional ketma-ketlikning limitik funksiyasini toping.  
9. 
1;1]
[
,
=
)
(
−
∈
x
x
x
f
n
n
 
funksional 
ketma-ketlik 
Dirixle 
yoki 
Riman 

 
108 
funksiyalariga deyarli yaqinlashadimi? 
10.  Deyarli  yaqinlashuvchi  funksional  ketma-ketlikning  limitik  funksiyasi  yagona 
bo‘ladimi? Agar yagona bo‘lmasa, bu haqda o‘z fikringizni ayting.  
 

 
109 
 Lebeg integrali 
 11. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali 
  
Hamma  yerda  E   o‘lchovli  to‘plamda  aniqlangan  o‘lchovli  f   funksiyani 
qaraymiz va 
+∞
<
)
(E
µ
 deb faraz qilamiz. 
11.1-ta’rif.  Agar 
R
E
f
→
:
  o‘lchovli  bo‘lib,  uning  qiymatlari  to‘plami 
ko‘pi bilan sanoqli bo‘lsa, u holda  f  sodda funksiya deyiladi. 
11.1-teorema.  Ko‘pi  bilan  sanoqlita  har  xil 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
  qiymatlarni 
qabul qiluvchi  f  funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun  
 
{
}
n
n
y
x
f
E
x
A
=
)
(
:
=
∈
 
to‘plamlarning o‘lchovli bo‘lishi zarur va yetarli. 
Isbot.  Zaruriyligi. 
f   funksiya  E   to‘plamda  o‘lchovli  bo‘lsa, 
n
A  
to‘plamlarning o‘lchovli ekanligi 9.1-lemmadan kelib chiqadi. 
Yetarliligi. 
n
A  to‘plamlarning har biri o‘lchovli ekanligidan  f  funksiyaning 
o‘lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz.  
 
(
)
n
n
A
c
y
c
f
E
U
<
=
<
 
tenglikdan  va  o‘lchovli  to‘plamlarning  birlashmasi  o‘lchovli  ekanligidan  f   ning 
E  da o‘lchovli funksiya ekanligi kelib chiqadi. 
11.1-misol.  Agar 
R
E
f
→
:
  o‘lchovli  funksiya  bo‘lsa,  u  holda 
)]
(
[
=
)
(
x
f
x
g
  funksiya  E   da  sodda  funksiya  bo‘lishini  isbotlang.  Bu  yerda 
]
[a  
simvol  a  sonining butun qismini bildiradi. 
Yechish. 
g
 funksiya faqatgina butun qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun 
uning  qiymatlar  to‘plami  ko‘pi  bilan  sanoqlidir.  Endi  uning  o‘lchovli  ekanligini 
ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, ixtiyoriy 
Z
n
∈
 uchun  
 
1}
<
)
(
:
{
=
}
=
)
(
:
{
+
≤
∈
∈
n
x
f
n
E
x
n
x
g
E
x
 
tenglik  o‘rinli.  9.1-lemmaga  ko‘ra 
1)
<
(
+
≤
n
f
n
E
  to‘plam  o‘lchovli.  11.1-
teoremaga  ko‘ra 
g
  funksiya  E   da  o‘lchovli  funksiya  bo‘ladi.  Demak, 
g
  sodda 
funksiya ekan. 
11.2-misol.  Sodda  funksiyaning  songa  ko‘paytmasi  yana  sodda  funksiya 
bo‘lishini  ko‘rsating.  Sodda  funksiyalar  yig‘indisi  yana  sodda  funksiya  bo‘lishini 
isbotlang. 
Yechish.  Sodda  funksiyaning  songa  ko‘paytmasi  yana  sodda  funksiya 
bo‘lishi  bevosita  ta’rifdan  kelib  chiqadi.  Sodda  funksiyalar  yig‘indisining  yana 
sodda  funksiya  bo‘lishi  esa,  o‘lchovli  funksiyalar  yig‘indisining  yana  o‘lchovli 
funksiya  ekanligidan  (9.1-teoremaga  qarang)  hamda  chekli  yoki  sanoqli 
to‘plamlarning  arifmetik  yig‘indisi  (3  §
−
  dagi  5-topshiriqqa  qarang)  yana  chekli 
yoki sanoqli to‘plam ekanligidan kelib chiqadi. 
11.2-teorema  (O‘lchovlilik  mezoni). 
R
E
f
→
:
  funksiya  o‘lchovli  bo‘lishi 
uchun  unga  tekis  yaqinlashuvchi  sodda  funksiyalar  ketma-ketligining  mavjud 
bo‘lishi zarur va yetarli. 

 
110 
Isbot. Yetarliligi 9.2-teoremadan kelib chiqadi. 
Zaruriyligi. 
−
f
 o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Unga tekis yaqinlashuvchi 
}
{
n
f
 
sodda  funksiyalar  ketma-ketligining  mavjudligini  ko‘rsatamiz.  11.1-11.2 
misollarga ko‘ra, har bir 
N
n
∈
 uchun  
 
(11.1)
)]
(
[
=
)
(
n
x
nf
x
f
but
n
 
sodda funksiya bo‘ladi. Bundan tashqari  
 
n
n
x
nf
n
x
nf
x
nf
n
x
nf
x
f
x
f
x
f
but
n
1
)}
(
{
=
)]
(
[
)
(
=
)]
(
[
)
(
=
)
(
)
(
≤
−
−
−
 
tengsizlik o‘rinli. Demak, 
n
f  ketma-ketlik  f  ga tekis yaqinlashadi. 
∆
 
Dastlab  biz  cheklita 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
K
  qiymatlarni  qabul  qiluvchi  f   sodda 
funksiya  uchun  Lebeg  integrali  tushunchasini  kiritamiz.  Ixtiyoriy 
}
,
{1,2,
n
k
K
∈
 
uchun  
 
(11.2)
}
=
)
(
:
{
=
k
k
y
x
f
A
x
A
∈
 
belgilash olamiz.  
11.2-ta’rif. Bizga 
n
y
y
y
,
,
,
2
1
K
 qiymatlarni qabul qiluvchi 
R
A
f
→
:
 sodda 
funksiya berilgan bo‘lsin. U holda  
 
( )
k
k
n
k
A
y
µ
∑
1
=
 
yig‘indi  f   sodda  funksiyaning  A   to‘plam  bo‘yicha  olingan  Lebeg  integrali 
deyiladi va  
 
( )
k
k
n
k
A
A
y
d
x
f
µ
µ
∑
∫
1
=
=
)
(
 
kabi belgilanadi. 
Endi  bizga  sanoqlita 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
y
y
y
  qiymatlarni  qabul  qiluvchi  f   sodda 
funksiya berilgan bo‘lsin.  f  funksiya uchun quyidagi formal  
 
( )
(11.3)
=1
k
k
k
A
y
µ
∑
∞
 
qatorni qaraymiz, bu yerda 
k
A  lar (11.2) tenglik bilan aniqlanadi. 
11.3-ta’rif.  Agar  (11.3)  qator  absolyut  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  u  holda  f  
sodda  funksiya  A   to‘plamda  Lebeg  ma’nosida  integrallanuvchi  deyiladi.  (11.3) 
qatorning  yig‘indisi  f   funksiyaning  A   to‘plam  bo‘yicha  olingan  Lebeg  integrali 
deyiladi va quyidagicha belgilanadi  
 
( )
.
=
)
(
1
=
n
n
n
A
A
y
d
x
f
µ
µ
∑
∫
∞
 
Bu  ta’rifda 
n
y   larning  har  xilligi  talab  qilingan.  Lekin 
n
y   larning  har 
xilligini  talab  qilmasdan  ham  sodda  funksiyalar  uchun  Lebeg  integrali  ta’rifini 
keltirish mumkin. Bu quyidagi lemma yordamida amalga oshiriladi. 
11.1-lemma. 
j
i
B
B
B
A
j
i
k
k
≠
∅
,
=
,
=
I
U
  va  har  bir 
k
B   to‘plamda  f  

 
111 
funksiya faqat bitta 
k
c  qiymat qabul qilsin. U holda  
 
( )
(11.4)
=
)
(
k
k
k
A
B
c
d
x
f
µ
µ
∑
∫
 
tenglik  o‘rinli  hamda  f   sodda  funksiya  A   to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lishi 
uchun (11.4) qatorning absolyut yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir. 
Isbot. Osongina ko‘rish mumkinki, har bir  
 
}
=
)
(
:
{
=
n
n
y
x
f
A
x
A
∈
 
to‘plam 
n
k
y
c =
 bo‘ladigan 
k
B  to‘plamlarning birlashmasidan iborat, ya’ni  
 
.
=
k
n
k
n
B
y
c
A
U
=
 
Shuning uchun  
 
( )
( )
( )
.
=
=
k
k
k
k
n
k
n
n
n
n
n
B
c
B
y
c
y
A
y
µ
µ
µ
∑
∑
∑
∑
=
 
O‘lchovning manfiymasligidan  
 
( )
( )
( )
k
k
k
k
n
k
n
n
n
n
n
B
c
B
y
c
y
A
y
µ
µ
µ
∑
∑
∑
∑
=
=
=
 
ya’ni  
 
( )
( )
k
k
k
n
n
n
B
c
A
y
µ
µ
∑
∑
va
 
qatorlar bir vaqtda absolyut yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. 
∆
 
Sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining ba’zi xossalarini isbotlaymiz. 
A)  Additivlik  xossasi.  Agar  f   va 
g
  sodda  funksiyalar  A   to‘plamda 
integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda 
g
f
+
  sodda  funksiya  ham  A   to‘plamda 
integrallanuvchi va  
 
µ
µ
µ
d
x
g
d
x
f
d
x
g
x
f
A
A
A
)
(
)
(
=
)]
(
)
(
[
∫
∫
∫
+
+
 
tenglik o‘rinli. 
Isbot. 
g
f
+
  ning  sodda  funksiya  bo’lishi  11.2-misolda  isbotlangan. 
Integrallanuvchi  f   sodda  funksiya 
i
f   qiymatni 
A
A
i
⊂
  to‘plamda, 
g
  sodda 
funksiya esa 
j
g
 qiymatni 
A
B
j
⊂
 to‘plamda qabul qilsin. U holda  
 
( )
( )
j
j
j
A
i
i
i
A
B
g
d
x
g
A
f
d
x
f
µ
µ
µ
µ
∑
∫
∑
∫
=
)
(
,
=
)
(
 
qatorlar  absolyut  yaqinlashuvchi  bo‘ladi.  O‘lchovning 
−
σ   additivlik  xossasiga 
ko‘ra, quyidagi tengliklar o‘rinli  
 
( )
(
) ( )
(
)
.
=
,
=
j
i
i
j
j
i
j
i
B
A
B
B
A
A
I
I
µ
µ
µ
µ
∑
∑
 
U holda quyidagi musbat hadli qatorlar  
 
(
)
(
)
j
i
j
j
i
j
i
i
j
i
B
A
g
B
A
f
I
I
µ
µ
⋅
⋅
∑
∑
∑
∑
|
|
,
|
|
 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak,  
 
(
) (
)
j
i
j
i
j
i
B
A
g
f
I
µ
+
∑
∑
 
qator absolyut yaqinlashuvchi. Bundan 
g
f
+
 sodda funksiyaning integrallanuvchi 
ekanligi kelib chiqadi. 11.1-lemmaga ko‘ra,  

 
112 
 
(
) (
)
(
)
+
+
+
∑
∑
∑
∑
∫
j
i
j
i
i
j
i
j
i
j
i
A
B
A
f
B
A
g
f
d
x
g
x
f
I
I
µ
µ
µ
=
=
)]
(
)
(
[
 
(
)
( )
( )
∆
+
⋅
+
⋅
+
∫
∫
∑
∑
∑
∑
.
)
(
)
(
=
=
µ
µ
µ
µ
µ
d
x
g
d
x
f
B
g
A
f
B
A
g
A
A
j
j
j
i
i
i
j
i
i
j
j
I
 
B)  Agar  f   sodda  funksiya  A   to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda 
ixtiyoriy 
R
k
∈
 o‘zgarmas uchun 
f
k
⋅
 funksiya ham  A  to‘plamda integrallanuvchi 
va quyidagi tenglik o‘rinli  
 
.
)
(
=
)
(
µ
µ
d
x
f
k
d
x
f
k
A
A
∫
∫
⋅
 
Isbot. Sodda funksiya integrali ta’rifiga ko’ra  
( )
( )
∆
⋅
⋅
∫
∑
∑
∫
.
)
(
=
=
=
)
(
µ
µ
µ
µ
d
x
f
k
A
f
k
A
f
k
d
x
f
k
A
i
i
i
i
i
i
A
 
C)  A   to‘plamda chegaralangan  f  sodda funksiya integrallanuvchidir. 
Agar  A  da 
M
x
f
≤
)
(
 bo‘lsa, u holda quyidagi tengsizlik o‘rinli  
 
).
(
|
)
(
|
A
M
d
x
f
A
µ
µ
⋅
≤
∫
 
Isbot.  Sodda funksiya integrali  ta’rifidan 
 
( )
( )
( )
∆
⋅
⋅
≤
≤
∑
∑
∑
∫
).
(
=
|
|
|
|=|
)
(
|
A
M
A
M
A
f
A
f
d
x
f
i
i
i
i
i
i
i
i
A
µ
µ
µ
µ
µ
 
Bu paragrafni quyidagi sodda funksiyaning Lebeg integralini hisoblash bilan 
yakunlaymiz. 
11.3-misol. 
(0;1]
=
A
 oraliqda  f  funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:  
 
.
,
2
1
,
2
1
=
,
=
)
(
1
N
n
A
x
n
x
f
n
n
n
∈





∈
−
agar
 
f   sodda  funksiya 
(0;1]
=
A
  to‘plamda  Lebeg  ma’nosida  integrallanuv-chimi? 
Agar integrallanuvchi bo‘lsa, uning integralini hisoblang. 
Yechish. Ma’lumki,  
 
(0;1]
=
1
=
n
n
A
U
∞
 
va 
n
A   to‘plamlar  o‘zaro  keshishmaydi.  Sodda  funksiyalar  uchun  Lebeg  integrali 
ta’rifiga ko‘ra,  
 
(11.5)
2
1
1
=
n
n
n
⋅
∑
∞
 
qator  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  f   sodda  funksiya 
(0;1]
=
A
  da  integrallanuvchi 
bo‘ladi.  Bu  holda  musbat  hadli  qatorlarni  taqqoslash  haqidagi  Dalamber 
alomatidan foydalanish qulay.  
 
1.
<
2
1
=
2
2
1
lim
=
lim
1
1
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
⋅
+
+
∞
→
+
∞
→
 
Demak,  (11.5)  qator  yaqinlashuvchi.  Bu  yerdan  f   sodda  funksiyaning  Lebeg 
ma’nosida  integrallanuvchiligi  kelib  chiqadi.  Endi  (11.5)  qator  yig‘indisini 
hisoblaymiz. Uning qismiy yig‘indisi 
n
S  uchun  

 
113 
 
=
)
2
8
3
4
2
2
1
(
2
8
4
4
3
2
2
1
=
2
=
1
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
−
−
L
L
 
 
.
2
2
1
8
1
4
1
2
1
1
=
2
)
2
1
2
(
)
4
2
4
3
(
)
2
1
2
2
(
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−
+
+
+
+
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+
−
−
−
L
L
 
Bu tenglikda 
∞
→
n
 da limitga o‘tib,  
 
2
=
lim
=
)
(
(0;1]
n
n
S
d
x
f
∞
→
∫
µ
 
ekanligini olamiz. 
Matematik  analiz  kursidan  ma’lumki  ([7]  ga  qarang)  f   funksiya  Riman 
ma’nosida  integrallanuvchi  bo‘lishi  uchun,  uning  chegaralangan  bo‘lishi  zarur. 
Chegaralanmagan  funksiyalar  uchun  Riman  integrali  "xosmas  integral"   
ma’nosida 
ta’riflanadi. 
11.1-misolda 
qaralgan 
f  
funksiya 
(0;1]  
da 
chegaralanmagan.  Lebeg  integrali  ta’rifida  funksiyaning  chegaralangan  bo‘lishi 
muhim  emas,  ya’ni  chegaralangan  va  chegaralanmagan  funksiyalar  uchun  Lebeg 
integrali bir xilda ta’riflanadi. 
  
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar  
1. 
A
x
x
x
f
=
[0;5)
],
[
=
)
(
∈
  ning  sodda  funksiya  ekanligini  ko‘rsating  va  uning 
A  to‘plam bo‘yicha olingan integralini hisoblang.  
2. 
Sodda funksiyalar ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishini isbotlang.  
3. 
Dirixle  funksiyasini   
[0;3]
=
A
    to‘plamda  sodda  funksiya  ekanligini  ta’rif 
yordamida ko‘rsating. Uning integralini hisoblang. 
4. 
Riman  funksiyasining   
[0;1]
=
A
    to‘plamda  sodda  funksiya  ekanligini  ta’rif 
yordamida ko‘rsating. Uning integralini hisoblang. 
12. Lebeg integralining xossalari 
  
Bu  paragrafda  Lebeg  integralining  asosiy  xossalari  o‘rganiladi.  Biz  doim 
chekli  o‘lchovli 
)
<
)
(
(
+∞
A
A
µ
  to‘plam  va  unda  aniqlangan  f   o‘lchovli 
funksiyani qaraymiz. 
12.1-ta’rif.  Agar  A   to‘plamda 
f   funksiyaga  tekis  yaqinlashuvchi, 
integrallanuvchi sodda funksiyalarning 
{ }
n
f  ketma-ketligi mavjud bo‘lsa, u  holda 
f   funksiya  A   to‘plamda  Lebeg  ma’nosida  integrallanuvchi  deyiladi  va  uning 
integrali  
 
(12.1)
)
(
=
)
(
lim
µ
µ
d
x
f
d
x
f
A
n
A
n
∫
∫
∞
→
 
tenglik bilan aniqlanadi. 
Bu ta’rif korrekt, ya’ni kamchiliklardan holi bo‘lishi uchun quyidagi shartlar 
bajarilishi kerak: 
1)  Har qanday tekis  yaqinlashuvchi  va  A  to‘plamda  integrallanuvchi sodda 
funksiyalar ketma-ketligi uchun (12.1) limit mavjud bo‘lishi kerak. 
2)  Berilgan 
f   funksiya  uchun  (12.1)  limit 
{ }
n
f   ketma-ketlikning 
tanlanishiga bog‘liq emas. 

 
114 
3)  Agar  f   funksiya  sodda  funksiya  bo‘lsa,  bu  ta’rif