O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti
Download 1.75 Mb. Pdf ko'rish
|
fumksional matematika
- Bu sahifa navigatsiya:
- 10.2. O‘lchov bo‘yicha yaqinlashish.
- 10.1-natija. ] , [ b a kesmada uzluksiz funksiya o‘lchovlidir. 10.6-misol.
- Lebeg integrali 11. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali
- 12. Lebeg integralining xossalari
) ( n 0 \ Endi m m m E E ) ( n 0 I ∞ =1 = δ bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, δ E to‘plam teorema shartlarini qanoatlantiradi. Dastlab δ E to‘plamda } { n f ketma-ketlikning f ga tekis yaqinlashishini ko‘rsatamiz. Aytaylik, δ E x ∈ bo‘lsin. U holda ixtiyoriy m uchun barcha ) ( 0 m n i ≥ nomerlarda m x f x f i 1/ |< ) ( ) ( | − tengsizlik bajariladi. Bundan δ E to‘plamda } { n f ketma- ketlikning f funksiyaga tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Endi δ E E \ to‘plam o‘lchovini baholaymiz. Barcha m lar uchun 0. = ) \ ( m E E µ Haqiqatan ham, agar m E E x \ 0 ∈ bo‘lsa, u holda yetarlicha katta i lar uchun m x f x f i 1/ | ) ( ) ( | 0 0 ≥ − bo‘ladi, ya’ni )} ( { 0 x f n ketma-ketlik ) ( 0 x f ga yaqinlashmaydi. Demak, A E E E m \ \ ⊂ munosabat o‘rinli. Bu yerda )}. ( = ) ( lim : { = x f x f x A n n ∞ → Bundan, 0. = ) \ ( 0 = ) \ ( ) \ ( m m E E A E E E µ µ µ ⇒ ≤ Bu yerdan kelib chiqadiki, . 2 < ) \ ( = ) \ ( ) ( ) ( 0 0 m m m n m m m n E E E E δ µ µ Shuning uchun ≤ ∞ ∞ )) \ ( ( = ) \ ( = ) \ ( ) ( 1 = ) ( 1 = 0 0 m m n m m m n m E E E E E E U I µ µ µ δ ∆ ≤ ∑ ∑ ∞ ∞ . = 2 < ) \ ( 1 = ) ( 1 = 0 δ δ µ m m m m n m E E 10.2. O‘lchov bo‘yicha yaqinlashish. Bizga E to‘plamda aniqlangan } { n f o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi va f o‘lchovli funksiya berilgan bo‘lsin. 10.4-ta’rif. Agar ixtiyoriy 0 > δ uchun { } 0 = ) ( ) ( : lim δ µ ≥ − ∈ ∞ → x f x f E x n n tenglik bajarilsa, u holda } { n f funksiyalar ketma-ketligi E to‘plamda f funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi. Deyarli yaqinlashishdan o‘lchov bo‘yicha yaqinlashish kelib chiqadi. Quyidagi teorema shu haqda. 10.4-teorema. Agar } { n f o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi E ( ) ∞ < ) (E µ to‘plamda f funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda } { n f ketma-ketlik E to‘plamda f ga o‘lchov bo‘yicha ham yaqinlashadi. Isbot. 10.2-teoremaga ko‘ra, limitik funksiya f o‘lchovli bo‘ladi. 105 { } ) ( = ) ( : = x f x f x A n n lim ∞ → bo‘lsin. Teorema shartiga ko‘ra, 0 = ) \ ( A E µ bo‘ladi. Berilgan 0 > δ son uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz. }, | ) ( ) ( :| { = ) ( δ δ ≥ − x f x f x E k k ). ( = ), ( = ) ( 1 = = δ δ δ n n k n k n R M E R I U ∞ ∞ O‘lchovli to‘plamlarning xossalaridan foydalanib, ko‘rsatish mumkinki, yuqorida kiritilgan barcha to‘plamlar o‘lchovli bo‘ladi. Ravshanki, . ) ( ) ( ) ( 2 1 L L ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ δ δ δ n R R R O‘lchovning uzluksizlik xossasidan ( ) ) ( = ) ( lim M R n n µ δ µ ∞ → tenglik kelib chiqadi. Ko‘rsatamizki, A E M \ ⊂ bo‘ladi. Haqiqatan ham, A x ∈ 0 bo‘lsin, ya’ni ( ) ( ) . = lim 0 0 x f x f n n ∞ → Limit ta’rifiga ko‘ra, berilgan 0 > δ son uchun shunday n mavjudki, ( ) ( ) δ < 0 0 x f x f k − tengsizlik barcha n k ≥ lar uchun o‘rinli, ya’ni ), ( 0 δ n R x ∉ shunday ekan, . 0 M x ∉ Bundan . \ \ A E M M E A ⊂ ⇒ ⊂ O‘lchovning yarim additivlik xossasidan 0. = ) ( 0 = ) \ ( ) ( M A E M µ µ µ ⇒ ≤ Demak, ∞ → n da ( ) 0. ) ( → δ µ n R ) ( ) ( δ δ n n R E ⊂ munosabatdan va o‘lchovning yarim additivlik xossasidan ( ) 0 = ) ( lim δ µ n n E ∞ → ekanligi kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi. ∆ O‘lchov bo‘yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqadimi degan savol tug‘iladi. Umuman olganda o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqmas ekan. Quyidagi misol bu fikrning to‘g‘riligini tasdiqlaydi. 10.5-misol. Har bir N k ∈ uchun (0,1] yarim intervalda ) ( ) ( 2 ) ( 1 , , , k k k k f f f K funksiyalarni quyidagi usul bilan aniqlaymiz − ∈ ≤ − . ; 1 (0;1] 0, , < 1 1, = ) ( ) ( k i k i x k i x k i x f k i \ agar agar Bu funksiyalarni tartib bilan nomerlab, } { n g ketma-ketlikni hosil qilamiz. } { n g ketma-ketlikning nol funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishini va biror nuqtada ham nolga yaqinlashmasligini isbotlang. Isbot. Har bir N ∈ n uchun shunday k va i sonlar topiladiki, 106 ) ( = ) ( ) ( x g x f n k i tenglik bajariladi va n cheksizga intilishi bilan k ham cheksizga intiladi. Demak, ixtiyoriy 0 > δ uchun { } { } . 1 = 1 ; 1 ) ( : = ) ( : 0 ) ( ∞ → → − ≤ ≥ ≥ k k k k i x f x x g x k i n , µ δ µ δ µ Endi } { n g ketma-ketlikni (0;1] intervalda nol funksiyaga deyarli yaqinlashmasligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy (0;1] 0 ∈ x nuqtani olamiz. Shunday n k va n i ( ) L L < < < < 2 1 n k k k sonlar topiladiki, − ∈ n n n n k i k i x ; 1 0 bo‘ladi. Demak, ( ) ∆ ≠ ∞ → 0. 1 = 0 x f ) k ( i n n n lim 10.5-teorema. Agar } { n f o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi E to‘plamda f ga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashsa, u holda undan f ga deyarli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot. Biz musbat va nolga intiluvchi L L , , , , 2 1 n ε ε ε ketma-ketlikni va L L , , , , 2 1 n η η η musbat sonlarni L L + + + + n η η η 2 1 qator yaqinlashuvchi bo‘ladigan qilib tanlaymiz. Indekslar ketma-ketligi L , < 2 1 n n larni quyidagicha tanlaymiz: 1 n indeksni shunday tanlaymizki, 1 1 1 < } | ) ( ) ( :| { η ε µ ≥ − x f x f x n tengsizlik bajarilsin. Bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi 1 n mavjudligi } { n f ketma- ketlikning f ga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashuvchi ekanligidan kelib chiqadi. Endi 1 2 > n n indeks shunday tanlanadiki, 2 2 2 < } | ) ( ) ( :| { η ε µ ≥ − x f x f x n tengsizlik bajarilsin. Umuman 1 > − k k n n indeks shunday tanlanadiki, k k k n x f x f x η ε µ < } | ) ( ) ( :| { ≥ − tengsizlik bajarilsin. Tanlangan } { k n f ketma-ketlikning f ga deyarli yaqinlashuvchi bo‘lishini ko‘rsatamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: . = } | ) ( ) ( :| { = 1 = = i i k k n i k i R x f x f x R I U ∞ ∞ ≥ − R va ε Tanlanishiga ko‘ra, . 2 1 L L ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ n R R R O‘lchovning uzluksizlik xossasiga ko‘ra, ). ( ) ( P R n µ µ → Ikkinchi tomondan, ravshanki, k i k i R η µ ∑ ∞ = < ) ( tengsizlik o‘rinli. So‘nggi qator yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i bo‘lganligi uchun, u ∞ → i da nolga intiladi. Demak, 0 = ) ( = ) ( i R lim µ µ R . Endi R \ E to‘plamda ) ( ) ( x f x f k n → ni ko‘rsatish qoldi. Faraz qilaylik, R \ E x ∈ 0 bo‘lsin. U 107 holda shunday 0 i mavjudki, . 0 0 i R x ∈/ Bu shuni anglatadiki, barcha 0 i k ≥ lar uchun } | ) ( ) ( :| { 0 k k n x f x f x x ε ≥ − ∈/ ya’ni . |< ) ( ) ( | 0 0 k k n x f x f ε − Shartga ko‘ra 0, → k ε shuning uchun ∆ ∞ → ). ( = ) ( lim 0 0 x f x f k n k Quyidagi teorema uzluksiz va o‘lchovli funksiyalar o‘rtasidagi muhim bog‘lanishni ifodalaydi. 10.6-teorema (Luzin). ] , [ b a kesmada aniqlangan f funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun ixtiyoriy 0 > ε son uchun ] , [ b a da uzluksiz bo‘lgan shunday ϕ funksiya mavjud bo‘lib, { } ε ϕ µ < ) ( ) ( : ] , [ x x f b a x ≠ ∈ tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli. 10.1-natija. ] , [ b a kesmada uzluksiz funksiya o‘lchovlidir. 10.6-misol. ] [0; π kesmada aniqlangan ( ) ∈ ∈ Q x x Q x x x f , sin cos \ ] [0, , sin = ) ( 2 π funksiya o‘lchovli bo‘ladimi? Yechish. Luzin teoremasi natijasiga ko‘ra, uzluksiz ] [0, , sin = ) ( π ϕ ∈ x x x funksiya o‘lchovli bo‘ladi. Luzin teoremasi va ( ) ε π µ ϕ µ < ≠ 0 = ] [0, = )} ( ) ( : { Q x x f x I tengsizlikdan f funksiyaning ] [0; π kesmada o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. Agar − → R E f : o‘lchovli funksiya va − ⊂ E A o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, u holda R A f → : funksiyaning A to‘plamda o‘lchovli bo‘lishini isbotlang. 2. Agar f va g funksiyalar E to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, u holda )} ( ), ( { min = ) ( x g x f x h − va )} ( ), ( { max = ) ( x g x f x h + funksiyalarning o‘lchovli bo‘lishini isbotlang. 3. Agar g ~ f va ϕ ~ g bo‘lsa, u holda ϕ ~ f ekanligini isbotlang. 4. 10.5-misolda keltirilgan } { n g ketma-ketlikdan nolga deyarli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajrating. 5. 10.4-misol uchun Egorov teoremasi shartlarini qanoatlantiruvchi 3 10 = , − δ δ E to‘plamni quring. 6. Dirixle va Riman funksiyalari uchun Luzin teoremasining shartlarini qanoatlantiruvchi uzluksiz ) (x ϕ funksiyani toping. ) (x D va ) (x R larning aniqlanishini 10.1-misoldan qarang. 7. f funksiyaga har bir nuqtada yaqinlashuvchi, lekin tekis yaqinlashmaydigan n f funksiyalar ketma-ketligiga misol keltiring. 8. [0;1] , = ) ( ∈ x x x f n n funksional ketma-ketlikning limitik funksiyasini toping. 9. 1;1] [ , = ) ( − ∈ x x x f n n funksional ketma-ketlik Dirixle yoki Riman 108 funksiyalariga deyarli yaqinlashadimi? 10. Deyarli yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning limitik funksiyasi yagona bo‘ladimi? Agar yagona bo‘lmasa, bu haqda o‘z fikringizni ayting. 109 Lebeg integrali 11. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali Hamma yerda E o‘lchovli to‘plamda aniqlangan o‘lchovli f funksiyani qaraymiz va +∞ < ) (E µ deb faraz qilamiz. 11.1-ta’rif. Agar R E f → : o‘lchovli bo‘lib, uning qiymatlari to‘plami ko‘pi bilan sanoqli bo‘lsa, u holda f sodda funksiya deyiladi. 11.1-teorema. Ko‘pi bilan sanoqlita har xil K K , , , , 2 1 n y y y qiymatlarni qabul qiluvchi f funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun { } n n y x f E x A = ) ( : = ∈ to‘plamlarning o‘lchovli bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. Zaruriyligi. f funksiya E to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, n A to‘plamlarning o‘lchovli ekanligi 9.1-lemmadan kelib chiqadi. Yetarliligi. n A to‘plamlarning har biri o‘lchovli ekanligidan f funksiyaning o‘lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz. ( ) n n A c y c f E U < = < tenglikdan va o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi o‘lchovli ekanligidan f ning E da o‘lchovli funksiya ekanligi kelib chiqadi. 11.1-misol. Agar R E f → : o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda )] ( [ = ) ( x f x g funksiya E da sodda funksiya bo‘lishini isbotlang. Bu yerda ] [a simvol a sonining butun qismini bildiradi. Yechish. g funksiya faqatgina butun qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun uning qiymatlar to‘plami ko‘pi bilan sanoqlidir. Endi uning o‘lchovli ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, ixtiyoriy Z n ∈ uchun 1} < ) ( : { = } = ) ( : { + ≤ ∈ ∈ n x f n E x n x g E x tenglik o‘rinli. 9.1-lemmaga ko‘ra 1) < ( + ≤ n f n E to‘plam o‘lchovli. 11.1- teoremaga ko‘ra g funksiya E da o‘lchovli funksiya bo‘ladi. Demak, g sodda funksiya ekan. 11.2-misol. Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishini ko‘rsating. Sodda funksiyalar yig‘indisi yana sodda funksiya bo‘lishini isbotlang. Yechish. Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Sodda funksiyalar yig‘indisining yana sodda funksiya bo‘lishi esa, o‘lchovli funksiyalar yig‘indisining yana o‘lchovli funksiya ekanligidan (9.1-teoremaga qarang) hamda chekli yoki sanoqli to‘plamlarning arifmetik yig‘indisi (3 § − dagi 5-topshiriqqa qarang) yana chekli yoki sanoqli to‘plam ekanligidan kelib chiqadi. 11.2-teorema (O‘lchovlilik mezoni). R E f → : funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun unga tekis yaqinlashuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjud bo‘lishi zarur va yetarli. 110 Isbot. Yetarliligi 9.2-teoremadan kelib chiqadi. Zaruriyligi. − f o‘lchovli funksiya bo‘lsin. Unga tekis yaqinlashuvchi } { n f sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjudligini ko‘rsatamiz. 11.1-11.2 misollarga ko‘ra, har bir N n ∈ uchun (11.1) )] ( [ = ) ( n x nf x f but n sodda funksiya bo‘ladi. Bundan tashqari n n x nf n x nf x nf n x nf x f x f x f but n 1 )} ( { = )] ( [ ) ( = )] ( [ ) ( = ) ( ) ( ≤ − − − tengsizlik o‘rinli. Demak, n f ketma-ketlik f ga tekis yaqinlashadi. ∆ Dastlab biz cheklita n y y y , , , 2 1 K qiymatlarni qabul qiluvchi f sodda funksiya uchun Lebeg integrali tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy } , {1,2, n k K ∈ uchun (11.2) } = ) ( : { = k k y x f A x A ∈ belgilash olamiz. 11.2-ta’rif. Bizga n y y y , , , 2 1 K qiymatlarni qabul qiluvchi R A f → : sodda funksiya berilgan bo‘lsin. U holda ( ) k k n k A y µ ∑ 1 = yig‘indi f sodda funksiyaning A to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va ( ) k k n k A A y d x f µ µ ∑ ∫ 1 = = ) ( kabi belgilanadi. Endi bizga sanoqlita K K , , , , 2 1 n y y y qiymatlarni qabul qiluvchi f sodda funksiya berilgan bo‘lsin. f funksiya uchun quyidagi formal ( ) (11.3) =1 k k k A y µ ∑ ∞ qatorni qaraymiz, bu yerda k A lar (11.2) tenglik bilan aniqlanadi. 11.3-ta’rif. Agar (11.3) qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f sodda funksiya A to‘plamda Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi. (11.3) qatorning yig‘indisi f funksiyaning A to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi ( ) . = ) ( 1 = n n n A A y d x f µ µ ∑ ∫ ∞ Bu ta’rifda n y larning har xilligi talab qilingan. Lekin n y larning har xilligini talab qilmasdan ham sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta’rifini keltirish mumkin. Bu quyidagi lemma yordamida amalga oshiriladi. 11.1-lemma. j i B B B A j i k k ≠ ∅ , = , = I U va har bir k B to‘plamda f 111 funksiya faqat bitta k c qiymat qabul qilsin. U holda ( ) (11.4) = ) ( k k k A B c d x f µ µ ∑ ∫ tenglik o‘rinli hamda f sodda funksiya A to‘plamda integrallanuvchi bo‘lishi uchun (11.4) qatorning absolyut yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Osongina ko‘rish mumkinki, har bir } = ) ( : { = n n y x f A x A ∈ to‘plam n k y c = bo‘ladigan k B to‘plamlarning birlashmasidan iborat, ya’ni . = k n k n B y c A U = Shuning uchun ( ) ( ) ( ) . = = k k k k n k n n n n n B c B y c y A y µ µ µ ∑ ∑ ∑ ∑ = O‘lchovning manfiymasligidan ( ) ( ) ( ) k k k k n k n n n n n B c B y c y A y µ µ µ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = ya’ni ( ) ( ) k k k n n n B c A y µ µ ∑ ∑ va qatorlar bir vaqtda absolyut yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. ∆ Sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining ba’zi xossalarini isbotlaymiz. A) Additivlik xossasi. Agar f va g sodda funksiyalar A to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda g f + sodda funksiya ham A to‘plamda integrallanuvchi va µ µ µ d x g d x f d x g x f A A A ) ( ) ( = )] ( ) ( [ ∫ ∫ ∫ + + tenglik o‘rinli. Isbot. g f + ning sodda funksiya bo’lishi 11.2-misolda isbotlangan. Integrallanuvchi f sodda funksiya i f qiymatni A A i ⊂ to‘plamda, g sodda funksiya esa j g qiymatni A B j ⊂ to‘plamda qabul qilsin. U holda ( ) ( ) j j j A i i i A B g d x g A f d x f µ µ µ µ ∑ ∫ ∑ ∫ = ) ( , = ) ( qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. O‘lchovning − σ additivlik xossasiga ko‘ra, quyidagi tengliklar o‘rinli ( ) ( ) ( ) ( ) . = , = j i i j j i j i B A B B A A I I µ µ µ µ ∑ ∑ U holda quyidagi musbat hadli qatorlar ( ) ( ) j i j j i j i i j i B A g B A f I I µ µ ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ | | , | | yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, ( ) ( ) j i j i j i B A g f I µ + ∑ ∑ qator absolyut yaqinlashuvchi. Bundan g f + sodda funksiyaning integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. 11.1-lemmaga ko‘ra, 112 ( ) ( ) ( ) + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ j i j i i j i j i j i A B A f B A g f d x g x f I I µ µ µ = = )] ( ) ( [ ( ) ( ) ( ) ∆ + ⋅ + ⋅ + ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ . ) ( ) ( = = µ µ µ µ µ d x g d x f B g A f B A g A A j j j i i i j i i j j I B) Agar f sodda funksiya A to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy R k ∈ o‘zgarmas uchun f k ⋅ funksiya ham A to‘plamda integrallanuvchi va quyidagi tenglik o‘rinli . ) ( = ) ( µ µ d x f k d x f k A A ∫ ∫ ⋅ Isbot. Sodda funksiya integrali ta’rifiga ko’ra ( ) ( ) ∆ ⋅ ⋅ ∫ ∑ ∑ ∫ . ) ( = = = ) ( µ µ µ µ d x f k A f k A f k d x f k A i i i i i i A C) A to‘plamda chegaralangan f sodda funksiya integrallanuvchidir. Agar A da M x f ≤ ) ( bo‘lsa, u holda quyidagi tengsizlik o‘rinli ). ( | ) ( | A M d x f A µ µ ⋅ ≤ ∫ Isbot. Sodda funksiya integrali ta’rifidan ( ) ( ) ( ) ∆ ⋅ ⋅ ≤ ≤ ∑ ∑ ∑ ∫ ). ( = | | | |=| ) ( | A M A M A f A f d x f i i i i i i i i A µ µ µ µ µ Bu paragrafni quyidagi sodda funksiyaning Lebeg integralini hisoblash bilan yakunlaymiz. 11.3-misol. (0;1] = A oraliqda f funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: . , 2 1 , 2 1 = , = ) ( 1 N n A x n x f n n n ∈ ∈ − agar f sodda funksiya (0;1] = A to‘plamda Lebeg ma’nosida integrallanuv-chimi? Agar integrallanuvchi bo‘lsa, uning integralini hisoblang. Yechish. Ma’lumki, (0;1] = 1 = n n A U ∞ va n A to‘plamlar o‘zaro keshishmaydi. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta’rifiga ko‘ra, (11.5) 2 1 1 = n n n ⋅ ∑ ∞ qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, f sodda funksiya (0;1] = A da integrallanuvchi bo‘ladi. Bu holda musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi Dalamber alomatidan foydalanish qulay. 1. < 2 1 = 2 2 1 lim = lim 1 1 n n a a n n n n n n ⋅ + + ∞ → + ∞ → Demak, (11.5) qator yaqinlashuvchi. Bu yerdan f sodda funksiyaning Lebeg ma’nosida integrallanuvchiligi kelib chiqadi. Endi (11.5) qator yig‘indisini hisoblaymiz. Uning qismiy yig‘indisi n S uchun 113 = ) 2 8 3 4 2 2 1 ( 2 8 4 4 3 2 2 1 = 2 = 1 n n n n n n n S S S + + + + − + + + + + − − L L . 2 2 1 8 1 4 1 2 1 1 = 2 ) 2 1 2 ( ) 4 2 4 3 ( ) 2 1 2 2 ( 1 1 1 1 n n n n n n n n n − + + + + + − − − + + − + − + − − − L L Bu tenglikda ∞ → n da limitga o‘tib, 2 = lim = ) ( (0;1] n n S d x f ∞ → ∫ µ ekanligini olamiz. Matematik analiz kursidan ma’lumki ([7] ga qarang) f funksiya Riman ma’nosida integrallanuvchi bo‘lishi uchun, uning chegaralangan bo‘lishi zarur. Chegaralanmagan funksiyalar uchun Riman integrali "xosmas integral" ma’nosida ta’riflanadi. 11.1-misolda qaralgan f funksiya (0;1] da chegaralanmagan. Lebeg integrali ta’rifida funksiyaning chegaralangan bo‘lishi muhim emas, ya’ni chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar uchun Lebeg integrali bir xilda ta’riflanadi. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. A x x x f = [0;5) ], [ = ) ( ∈ ning sodda funksiya ekanligini ko‘rsating va uning A to‘plam bo‘yicha olingan integralini hisoblang. 2. Sodda funksiyalar ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishini isbotlang. 3. Dirixle funksiyasini [0;3] = A to‘plamda sodda funksiya ekanligini ta’rif yordamida ko‘rsating. Uning integralini hisoblang. 4. Riman funksiyasining [0;1] = A to‘plamda sodda funksiya ekanligini ta’rif yordamida ko‘rsating. Uning integralini hisoblang. 12. Lebeg integralining xossalari Bu paragrafda Lebeg integralining asosiy xossalari o‘rganiladi. Biz doim chekli o‘lchovli ) < ) ( ( +∞ A A µ to‘plam va unda aniqlangan f o‘lchovli funksiyani qaraymiz. 12.1-ta’rif. Agar A to‘plamda f funksiyaga tekis yaqinlashuvchi, integrallanuvchi sodda funksiyalarning { } n f ketma-ketligi mavjud bo‘lsa, u holda f funksiya A to‘plamda Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi va uning integrali (12.1) ) ( = ) ( lim µ µ d x f d x f A n A n ∫ ∫ ∞ → tenglik bilan aniqlanadi. Bu ta’rif korrekt, ya’ni kamchiliklardan holi bo‘lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak: 1) Har qanday tekis yaqinlashuvchi va A to‘plamda integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi uchun (12.1) limit mavjud bo‘lishi kerak. 2) Berilgan f funksiya uchun (12.1) limit { } n f ketma-ketlikning tanlanishiga bog‘liq emas. |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling