O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

12.1-natija. Agar  f  funksiya  A  to‘plamda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda 
f   funksiya  A   to‘plamning  ixtiyoriy  o‘lchovli 
A
′
  qismida  ham  integrallanuvchi 
bo‘ladi. 
Endi  ma’lum  ma’noda  12.1-teoremaga  teskari  hisoblanuvchi  quyidagi 
teoremani keltiramiz. 
12.2-teorema. O‘lchovli  A  to‘plam o‘zaro kesishmaydigan 
L
L
,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
 
o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasidan iborat bo‘lsin, ya’ni  
 
.
,
=
,
=
1
=
j
i
A
A
A
A
j
i
n
n
≠
∅
∞
I
U
 
Har bir 
n
A  to‘plamda  f  funksiya integrallanuvchi va  
 
(12.6)
)
(
1
=
µ
d
x
f
n
A
n
∫
∑
∞
 
qator  yaqinlashuvchi  bo‘lsin.  U  holda  f   funksiya  A   to‘plamda  integrallanuvchi 
va (12.2)  tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Isbot.  Teoremani  isbotlash  uchun 
f   funksiyaning 
A   to‘plamda 
integrallanuvchi ekanligini ko‘rsatish  yetarli. (12.2) tenglik 12.1-teoremadan kelib 
chiqadi.  Avvalo  isbotni 
i
B   to‘plamlarda 
i
f   qiymatlarni  qabul  qiluvchi  f   sodda 
funksiya uchun keltiramiz  Quyudagi belgilashlarni kiritamiz: 
 
{
}
i
n
ni
i
i
B
A
A
f
x
f
A
x
B
I
=
,
=
)
(
:
=
∈
. 
U holda quyidagilar o’rinli  

 
120 
i
ni
n
B
A =
U
    va 
( )
.
=
|
)
(
|
ni
i
i
n
A
A
f
d
x
f
µ
µ
∑
∫
 
(12.6) qatorning yaqinlashuvchiligidan  
 
( )
ni
i
i
n
A
f
µ
∑
∑
 
qatorning  yaqinlashuvchiligi  kelib  chiqadi.  Yaqinlashuvchi  musbat  hadli  qator 
hadlarining o‘rinlarini ixtiyoriy tartibda almashtirish mumkin. Shuning uchun  
 
( )
( )
( )
i
i
i
ni
n
i
i
ni
i
i
n
B
f
A
f
A
f
µ
µ
µ
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
. 
Oxirgi qatorning yaqinlashuvchiligi  
 
( )
i
i
i
A
B
f
d
x
f
µ
µ
∑
∫
=
)
(
 
integralning mavjudligini bildiradi. 
Umumiy  holda ixtiyoriy 
0
>
ε
 son va  f  funksiya uchun shunday 
f
~
 sodda 
funksiya mavjudki, barcha 
A
x
∈
 uchun  
 
(12.7)
.
|<
)
(
~
)
(
|
ε
x
f
x
f
−
 
tengsizlik  o‘rinli.  U  holda  VII-xossaga  ko‘ra,  har  bir 
n
A   to‘plamda 
f
~
 
funksiyaning integrali mavjud va  
 
)
(
)
(
)
(
~
n
n
A
n
A
A
d
x
f
d
x
f
µ
ε
µ
µ
+
≤
∫
∫
 
tengsizlik o‘rinli. (12.6) qatorning yaqinlashuvchi ekanligidan, hamda  
 
( )
)
(
=
1
=
A
A
n
n
µ
µ
∑
∞
 
tenglikdan  
 
µ
d
x
f
n
A
n
)
(
~
1
=
∫
∑
∞
 
qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Bundan 
f
~
 sodda funksiyaning  A  
da integrallanuvchi ekanligi, (12.7) tengsizlikdan esa  f  funksiyaning  A  to‘plamda 
integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. 
∆
 
12.3-teorema  (Chebishev tengsizligi).  A  o‘lchovli to‘plamda manfiymas 
ϕ  
funksiya va 
0
>
c
 son berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tengsizlik o‘rinli  
 
{
}
.
)
(
1
)
(
:
µ
ϕ
ϕ
µ
d
x
c
c
x
A
x
A
∫
≤
≥
∈
 
Isbot. Aytaylik, 
{
}
c
x
A
x
A
c
≥
∈
)
(
:
=
ϕ
 bo‘lsin. U holda  
 
( )
.
)
(
)
(
)
(
=
)
(
\
c
c
A
c
A
A
c
A
A
A
c
d
x
d
x
d
x
d
x
µ
µ
ϕ
µ
ϕ
µ
ϕ
µ
ϕ
⋅
≥
≥
+
∫
∫
∫
∫
 
Bu yerdan   
 
µ
ϕ
µ
d
x
c
A
A
c
)
(
1
)
(
∫
≤
 
tengsizlik kelib chiqadi. 
∆
  
12.2-natija. Agar  

 
121 
 
0
=
)
(
µ
d
x
f
A
∫
 
bo‘lsa, u holda deyarli barcha 
A
x
∈
 uchun 
0
=
)
(x
f
 bo‘ladi. 
Isbot. Chebishev tengsizligiga ko‘ra ixtiyoriy  n  uchun  
 
0
=
)
(
1
)
(
:
µ
µ
d
x
f
n
n
x
f
A
x
A
∫
≤






≥
∈
 
munosabatga egamiz. Bundan tashqari  
 






≥
∈
≠
∈
∞
n
x
f
A
x
x
f
A
x
n
1
)
(
:
=
0}
)
(
:
{
1
=
U
 
tenglik o‘rinli. O‘lchovning yarim additivlik xossasiga ko‘ra,  
 
0
=
1
)
(
:
0}
)
(
:
{
1
=






≥
∈
≤
≠
∈
∑
∞
n
x
f
A
x
x
f
A
x
n
µ
µ
 
ga ega bo‘lamiz. Bu esa natijani isbotlaydi. 
∆
 
12.4-teorema  (Lebeg  integralining  absolyut  uzluksizlik  xossasi).  Agar  f  
funksiya 
)
<
)
(
(
∞
A
A
µ
  to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun  shunday 
0
>
δ
  son  mavjudki, 
δ
µ
<
)
(D
  tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi har qanday 
A
D
⊂
 to‘plam uchun  
 
ε
µ <
)
(
d
x
f
D
∫
 
tengsizlik o‘rinli. 
Isbot.  Agar  f   funksiya  A   to‘plamda  M   soni  bilan  chegaralangan  bo‘lsa, 
teoremani isbotlash uchun 
M
ε
δ =
 deb olish yetarli, chunki  
 
.
=
=
<
)
(
|<
)
(
|
ε
ε
δ
µ
µ
M
M
M
D
M
d
x
f
D
⋅
⋅
⋅
∫
 
Endi 
f   ixtiyoriy  o‘lchovli  va  integrallanuvchi  funksiya  bo‘lsin. 
Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:  
 
{
}
.
\
=
,
=
,
1
<
)
(
:
=
0
=
N
N
n
N
n
N
n
B
A
C
A
B
n
x
f
n
A
x
A
U
+
≤
∈
 
U holda 12.1-teoremaga ko‘ra,  
 
µ
µ
d
x
f
d
x
f
n
A
n
A
)
(
=
)
(
0
=
∫
∑
∫
∞
 
tenglik o‘rinli. Berilgan 
0
>
ε
 son uchun 
N
 ni shunday tanlaymizki,  
 
2
<
)
(
=
)
(
1
=
ε
µ
µ
d
x
f
d
x
f
N
C
n
A
N
n
∫
∫
∑
∞
+
 
tengsizlik bajarilsin va  
 
1)
2(
<
<
0
+
N
ε
δ
 
bo‘lsin. Agar 
δ
µ
<
)
(D
 bo‘lsa, u holda  

 
122 
 
≤
+
≤
∫
∫
∫
∫
µ
µ
µ
µ
d
x
f
d
x
f
d
x
f
d
x
f
N
C
D
N
B
D
D
D
)
(
)
(
=
)
(
)
(
I
I
 
 
(
)
(
)
∆
+
+
+
+
+
≤
∫
.
<
2
1)
2(
1
<
)
(
)
(
1
ε
ε
ε
µ
µ
N
N
d
x
f
D
N
N
C
 
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar  
1. 
Agar  f   integrallanuvchi  funksiya  bo‘lsa,  u  holda 
)]
(
[
1
=
)
(
x
nf
n
x
f
n
  sodda 
funksiyaning  integrallanuvchi  bo‘lishini  isbotlang.  Bu  yerda 
]
[x   belgi  x  
sonning butun qismini bildiradi.  
2. 
Lebeg integralining VIII xossasi Riman integrali uchun o‘rinlimi?  
 



∈
−
∈
Q
R
x
Q
x
x
f
\
1,
,
1,
=
)
(
agar
agar
 
 
funksiya misolida tahlil qiling.  
3. 
Agar  f   funksiya  A   to‘plamda  chegaralanmagan  bo‘lsa,  u  Lebeg  ma’nosida 
integrallanuvchi bo‘lishi mumkinmi? 11.1-misol yordamida tushuntiring. 
4. 
]
[2
=
)
(
2
x
x
f
  funksiyaning 
[0;2]
=
A
    to‘plam  bo‘yicha  olingan  Lebeg 
integralini hisoblang. 

 
123 
7-mavzu: 
 Lebeg integrali ostida limitga utish.  
Radon-Nikodim, Fubini teoremalari 
 
13. Lebeg integrali belgisi ostida limitga o‘tish 
  
Integral  belgisi  ostida  limitga  o‘tish  yoki  qatorlarni  hadma-had  integrallash 
masalasi ko‘plab  muammolarni  yechishda  uchraydi. Integral belgisi ostida  limitga 
o‘tishning  yetarli  shartlaridan  biri  berilgan  ketma-ketlikning  tekis  yaqinlishish 
shartidir. 
13.1-teorema  (Lebeg).  Agar 
}
{
n
f
  ketma-ketlik  A   to‘plamning  har  bir 
nuqtasida  f   funksiyaga  yaqinlashsa  va  barcha 
N
n
∈
  lar  uchun 
)
(
)
(
x
x
f
n
ϕ
≤
 
tengsizlik  bajarilib, 
ϕ   funksiya  A  to‘plamda  integrallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda 
limitik funksiya  f  ham  A  da integrallanuvchi bo‘ladi va  
 
.
)
(
=
)
(
lim
µ
µ
d
x
f
d
x
f
A
n
A
n
∫
∫
∞
→
 
Isbot.  Teorema  shartidan  limitik  funksiya 
f   uchun 
)
(
)
(
x
x
f
ϕ
≤
 
tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Lebeg integralining VII-xossasiga ko‘ra,  f  
integrallanuvchi  funksiya  bo‘ladi.  Endi 
0
>
ε
  ixtiyoriy  son  bo‘lsin.  Lebeg 
integralining  absolyut  uzluksizlik  xossasiga  (12.4-teoremaga  qarang)  ko‘ra 
shunday 
0
>
δ
 son mavjudki, agar 
δ
µ
<
)
(B
 bo‘lsa, u holda  
 
(13.1)
4
<
)
(
ε
µ
ϕ
d
x
B
∫
 
tengsizlik  o‘rinli  bo‘ladi.  10.3-Egorov  teoremasiga  ko‘ra,  B   to‘plamni  shunday 
tanlash  mumkinki, 
}
{
n
f
  ketma-ketlik 
B
A
C
\
=
  to‘plamda  f   funksiyaga  tekis 
yaqinlashadi. Demak, shunday 
N
 mavjudki, ixtiyoriy 
N
n >
 lar va ixtiyoriy 
C
x
∈
 
uchun  
 
(13.2)
)
(
2
<
)
(
)
(
C
x
f
x
f
n
µ
ε
−
 
tengsizlik bajariladi. U holda  
 
[
]
µ
µ
µ
µ
µ
d
x
f
d
x
f
d
x
f
x
f
d
x
f
d
x
f
n
B
B
n
C
n
A
A
)
(
)
(
)
(
)
(
=
)
(
)
(
∫
∫
∫
∫
∫
−
+
−
−
 
bo‘ladi. Endi  
 
)
(
)
(
),
(
)
(
x
x
f
x
x
f
n
ϕ
ϕ
≤
≤
 
ekanligidan hamda (13.1) va (13.2) lardan 
 
+
−
≤
−
∫
∫
∫
µ
µ
µ
d
x
f
x
f
d
x
f
d
x
f
n
C
n
A
A
)
(
)
(
)
(
)
(
 
 
∆
+
+
⋅
≤
+
+
∫
∫
.
=
4
4
)
(
)
(
2
)
(
)
(
ε
ε
ε
µ
µ
ε
µ
µ
C
C
d
x
f
d
x
f
n
B
B
 
13.1-natija. Agar 
const
M
x
f
n
=
)
(
≤
 va 
)
(
)
(
x
f
x
f
n
→
 bo‘lsa, u holda  

 
124 
 
.
)
(
=
)
(
lim
µ
µ
d
x
f
d
x
f
A
n
A
n
∫
∫
∞
→
 
13.1-eslatma.  Nol  o‘lchovli  to‘plamda  funksiyaning  qiymatini  o‘zgartirish 
integral  qiymatiga  (VI-xossaga  qarang)  ta’sir  qilmaydi,  shuning  uchun  13.1-
teoremada 
}
{
n
f
  ketma-ketlikning  f   funksiyaga  deyarli  yaqinlashishini  va 
)
(
)
(
x
x
f
ϕ
≤
  tengsizlikning  ham  deyarli  barcha  x   lar  uchun  bajarilishini  talab 
qilish yetarli. 
13.2-teorema (Levi).  A  to‘plamda monoton  
 
,
)
(
)
(
)
(
2
1
L
L
≤
≤
≤
≤
x
f
x
f
x
f
n
 
integrallanuvchi 
}
{
n
f
  funksiyalar  ketma-ketligi  berilgan  bo‘lib,  barcha 
N
n
∈
  lar 
uchun  
 
K
d
x
f
n
A
≤
∫
µ
)
(
 
tengsizlik  bajarilsin.  U  holda 
A   to‘plamning  deyarli  hamma  yerida 
)
(
=
)
(
lim
x
f
x
f
n
n
∞
→
  chekli  limit  mavjud  hamda  f       funksiya  A   da  integrallanuvchi 
va  
 
.
)
(
=
)
(
lim
µ
µ
d
x
f
d
x
f
A
n
A
n
∫
∫
∞
→
 
Isbot.  Faraz  qilaylik, 
0
)
(
1
≥
x
f
  bo‘lsin.  Umumiy  hol 
)
(
)
(
=
)
(
1
x
f
x
f
x
f
n
n
−
 
almashtirish yordamida 
0
)
(
1
≥
x
f
 holga keltiriladi.  
 
{
}
∞
∈
Ω
∞
→
=
)
(
lim
:
=
x
f
A
x
n
n
 
to‘plamni qaraymiz. Osongina ko‘rish mumkinki,  
 
,
=
,
=
)
(
1
=
)
(
)
(
1
=
r
n
n
r
r
r
Ω
Ω
Ω
Ω
∞
∞
U
I
 
bu yerda  
 
}.
>
)
(
:
{
=
)
(
r
x
f
A
x
n
r
n
∈
Ω
 
Chebishev tengsizligiga (12.3-teoremaga qarang) ko‘ra,  
 
( )
.
)
(
1
)
(
r
K
d
x
f
r
n
A
r
n
≤
≤
Ω
∫
µ
µ
 
Har bir tayinlangan 
r
 da 
K
K
)
(
)
(
2
)
(
1
r
n
r
r
Ω
⊂
⊂
Ω
⊂
Ω
 munosabat o‘rinli. O‘lchovning 
uzluksizlik xossasiga ko‘ra  
 
( )
.
)
(
lim
=
)
(
)
(
r
K
r
n
n
r
≤
Ω
Ω
∞
→
µ
µ
 
Har  bir 
r
  uchun 
)
( r
Ω
⊂
Ω
  ekanligidan 
r
K
≤
Ω
)
(
µ
  ekanligi  kelib  chiqadi  va 
r
 
ixtiyoriy bo‘lgani uchun 
0.
=
)
(
Ω
µ
 
Shu  bilan  monoton 
{
}
)
(x
f
n
  ketma-ketlik  deyarli  barcha 
A
x
∈
  larda  chekli 
)
(x
f
 limitga ega ekanligi kelib chiqadi. 
Endi 
K
0,1,2,
=
1},
<
)
(
:
{
=
)],
(
[
=
)
(
r
r
x
f
r
A
x
A
x
f
x
f
r
but
+
≤
∈
 
deb 
olamiz.  Agar 
but
f
  funksiyaning  A   to‘plamda  integrallanuvchi  ekanligini 

 
125 
ko‘rsatsak, u holda 
1
)
(
=
)
(
+
x
f
x
but
ϕ
 funksiya ham  A  to‘plamda integrallanuvchi 
bo‘ladi va 13.1-teoremadan 13.2-teoremaning tasdig‘i kelib chiqadi. 
Endi 
but
f
  funksiyaning 
A   to‘plamda  integrallanuvchi  ekanligini 
ko‘rsatamiz.  
 
r
s
r
s
A
B
U
0
=
=
 
deymiz. 
s
B   da 
n
f   va  f   funksiyalar  chegaralangan  va  har  doim 
)
(
)
(
x
f
x
f
but
≤
 
bo‘lgani uchun 13.1-natijaga ko‘ra  
 
.
)
(
lim
=
)
(
)
(
K
d
x
f
d
x
f
d
x
f
n
s
B
n
s
B
but
s
B
≤
≤
∫
∫
∫
∞
→
µ
µ
µ
 
Ikkinchi tomondan,  
 
.
)
(
=
)
(
0
=
K
A
r
d
x
f
r
s
r
but
s
B
≤
∑
∫
µ
µ
 
Bu yig‘indining chegaralanganligi  
 
)
(
0
=
r
r
A
r
µ
∑
∞
 
qatorning yaqinlashuvchiligini bildiradi. Demak,  
 
).
(
=
)
(
0
=
r
r
but
A
A
r
d
x
f
µ
µ
∑
∫
∞
 
Shunday qilib, 
but
f
 ning  A  da integrallanuvchi ekanligi isbotlandi.
∆
 
Teoremani  monoton  o‘smaydigan  ketma-ketliklar  uchun  ham  isbotlash 
mumkin.