O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat pedagogika instituti matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasi algebra va sonlar nazariyasi fanidan mustaqil ta’lim topshiriqlari to’plami

1- ta’rif. Ato‘plamda aniqlangan R binar munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda bunday munosabatga Ato‘plamdagi ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Ekvivalentlik munosabati yoki  simvollar bilan belgilanadi.
Masalan: 1). Ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda aniqlangan aynan tenglik “ ”munosabati;
2). Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlar to‘plamida aniqlangan parallellik munosabati;
3). Uchburchaklar to‘plamida aniqlangan o‘xshashlik munosabati;
4). Fazodagi geometrik figuralarning tengdoshlik munosabati va boshqalar.
Berilgan A to‘plamni unda aniqlangan R munosabat bo‘yicha ekvivalentlik sinflariga ajratish mumkin. Buning uchun quyidagicha yo‘l tutiladi. A to‘plamdagi ixtiyoriy bir a elementni olib aRx shartni qanoatlantiruvchi barcha xA elementlarni birta S_a sinfga kiritamiz. Endi A\C_abo‘lsa, jarayon shu joyda to‘xtaydi. Agarda A\S_abo‘lsa,
b( A\S_a) ni olamiz. Tushunarliki bu holda bA va b S_a. Endi barcha y( A\S_a) , bRy shartni qanoatlantiruvchi y elementlarni ikkinchi bir S_bsinfga kiritamiz. Agar endi (A\C_a)\ S_b=bo‘lsa, jarayonni shu joyda to‘xtatamiz.
Agarda (A\C_a)\ S_bbo‘lsa, s(A\C_a)\ S_bni olib cRzshartni qanoatlantiruvchi barcha z elementlarni birta S_s sinfga kiritamiz va hokazo davom etamiz. Tushunarliki, agar A chekli bo‘lsa,chekli qadamdan keyin chekli sondagi C_a,,C_b ,...,C_m sinflarga, agarda A cheksiz to‘plam bo‘lsa, chekli yoki cheksiz sondagi C_a,C_b, .... sinflarga ega bo‘lamiz. Bu sinflarga ekvivalentlik sinflari deyiladi.
Sinflarning hosil qilinishiga ko‘ra ab bo‘lsa, C_a S_b=bo‘lib
A=C_a S_b ....(1)
bo‘ladi.(1 ga A to‘plamning o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlar birlashmasiga yoyilmasi deyiladi.Bu holda A to‘plamni ekvivalentlik sinflariga bo‘laklangan (faktorizatsiyalangan) deb ham yuritiladi.
Masalan:1). Z - butun sonlar to‘plamidagi bo‘linish munosabati(x-y)/ m niolaylik (bu yerdam>0). Tushunarliki,bu munosabat butun sonlar to‘plamidagi ekvivalentlik munosabati bo‘ladi, chunki:
a) xZ , (x-x)/ m ;
b)  x,yZ lar (x- y)/ m dan (y-x)m ning bajarilishi kelib chiqadi;
s) x,y,zZ lar uchun (x-y)/ m va (y-z)/ m larning o‘rinli ekanligidan (x-z)/ m ning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni qaralaetgan munosabat butun sonlar to‘plamidagi refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatdir.
Endi shu munosabat bo‘yicha Z ni ekvivalentlik sinflariga ajrataylik.
Agar x=mq+k va y=mt+k bo‘lsagina (x-y)/ m bo‘ladi , ya’ni ikkita butun sonni bir xil songa bo‘lganda qoldiqlar bir xil bo‘ladi.Bu yerda qoldiqlar k=0,1,2,... m-1 bo‘lgani uchun bu sinflar quyidagicha bo‘ladi.
. . . , - 3 m , - 2 m , - m , 0 , m, 2 m, 3 m , . . . ; {mq}=C₀
. . . , - 3 m+1, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, 3m+1,...; {mq+1}=C₁
. . . , - 3 m+2, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2, 3m+2,...; {mq+2}=C₂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . , -2 m - 1, - m -1, -1, m-1, 2m-1, 3 m-1, 4 m-1,...; {mq+m-1}=C_m-1
Shunday qilib , Z=C₀C₁C₂ ... . C_m-1 .