O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat pedagogika instituti matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasi algebra va sonlar nazariyasi fanidan mustaqil ta’lim topshiriqlari to’plami

6-ta’rif. Agar chiziqli tartiblangan Ato‘plamning ixtiyoriyV-qism to‘plami doimo eng kichik elementga ega bo‘lsa,bunday to‘plamga to‘la tartiblangan to‘plam deyiladi.
Masalan. Natural sonlar to‘plami to‘la tartiblangan to‘plamga misol bo‘ladi.Shuni ham ta’kidlash kerakki, umuman olganda berilgan to‘plamda tartib tushunchasini bir necha usullar bilan kiritish mumkin.
Masalan,natural sonlar to‘plamida 1) {1,2,...,n,...} -tabiiy tartib;
2) {...,n,...,2,1} -teskari tartib.
NQ - ratsional sonlar to‘plamida ham tartib munosabatini turlicha aniqlash mumkin.
Matematikada ko‘pincha biror to‘plamlarning elementlari orasidagi qandaydir munosabatlarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. Masalan: a ning b ga tengligi, teng emasligi, katta, kichikligi, bo‘linish, bo‘linmasligi, ikki to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi, perpendikulyarligi munosabatlari. Ularni mos ravishda:
a=b, ab, ab, aM:,a//b, ab,… ko‘rinishda belgilanadi.
Ta’rif. A₁,A₂, …,A_n ixtiyoriy tabiatli elementlarning bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlari bo‘lsa, A₁xA₂x…xA_n to‘g‘ri ko‘paytmaning har qanday  qism to‘plamini A₁,A₂, …,A_n to‘plamlarning elementlari orasida aniqlangan n-ar (n o‘rinli) munosabat deyiladi.
Xususiy holda A₁,=A₂=...=A_n=A bo‘lganda (Aⁿ) ni A to‘plamning elementlari orasida aniqlangan n-ar (n-o‘rinli) munosabat deyiladi.
Agar n=1,2,3, bo‘lsa,  ni mos ravishda unar, binar va ternar
munosabat deyiladi. Unar munosabat A to‘plamning ixtiyoriy qism
to‘plamidan iborat.
AxB binar munosabat berilgan bo‘lsin. U holda:
Dom={x:xA, (bB), }, 1m={b:bB,  (xA),}
to‘plamlarni mos ravishda  binar munosabatning aniqlanish va o‘zgarish sohalari deyiladi. Agar (a,bA) elementlar  binar munosabatda bo‘lsa, uni ab yoki  ko‘rinishda belgilaymiz.
Agar t(AxB), a(AxB) bo‘lib, (aA,bB) lar uchun gbo‘lsa,  deyiladi.
Agar tA², aA² bo‘lib, (a,bA)(sA): bo‘lsa, juftlar to‘plamini  va  binar munosabatlarning ko‘paytmasi (yoki pozitsiyasi) deyiladi va uni ∙ ko‘rinishda belgilaymiz, ya’ni:
∙ ={:a,bA,(sA),}.
Agar tA2 bo‘lsa,  bo‘lganda -1={: } to‘plamni  ga teskari binar munosabat deyiladi.
MN orqali {1,2,3,...,n}  N to‘plamni belgilaymiz.
Misol: M3 to‘plamda ={<1,2>, <2;2>, <1;3>} va = {<1;1>, <2;2>, <3;1>} binar munosabatlar aniqlangan bo‘lsin, u xolda ∙={<1;2>; <2;2>; <1;1>},∙={<1;2>, <1;3>, <2;2>, <3;2>, <3;3>} bo‘ladi.
2. A={6,8,9} vaB= {2,3,4} to‘plamlarda aA, bB, a  b- "a son b ga karrali bo‘lish" munosabatidan iborat bo‘lsin, u holda ={<6;2>,<6:3>, <8;2>, <8;4>, <9;3>}  AxB, -1={<2;6>, <3;6>,<2;8>,<4;8>,<3;9>}  BxA, b-1 a- "b son a ni bo‘luvchisi" munocabati bo‘lib,
Dom =A, Im =B, Dom -1 =B, Im -1=A bo‘ladi.
Ta’rif.. A to‘plamda  binar munosabat aniqlangan bo‘lsin. U holda  ni:
1) (aA)a a () bo‘lsa, refleksiv;
2) (aA) (a;a) (} bo‘lsa, atirefleksiv;
3) (a,bA) (ab ba), () bo‘lsa, simmetrik;
4) (a,bA) ((abba) a=b), ( a=b), bo‘lsa, antisimmetrik;
5)agar (a,bA) (abba), (b;a>), bo‘lsa asimetrik;
6)agar(a,b,cA) (abbcac),() bo‘lsa tranzitiv;
7)agar (a,bA)(ab)(abba)(ab)() bo‘lsa, bog‘langan (chiziqli) binar munosabat deyiladi.
Misol 1. A-tekislikdagi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami bo‘lsin. Ixtiyoriy a,b tug‘ri chiziqlar uchun
1 (atb)=(a\\b) bo‘lsa, t, A dagi:
Parallelik munosabati:
 1) B(aA) a//b (refleksiv) :
2) (a,bA)a//b a//b (simmetrik)
3) (a,b,cA (a//bb//s) a//s (tranzitiv) 
b)ab=ab bo‘lsa,  perpendikulyarlik munosabati:
 1) (aA) (aa) (antirefleksiv);
2)  (a,bA) ab ba (simmetrik) bo‘ladi: 
2. A=N, (a,bN) a b =(a=b) tenglik munosabati:
 1) (aN) a=a (refleksiv);
2) (a,bN, a=bb=a (simmetrik);
3) (a,bN) (a=b  b=a)  a=b (antisimmetrik)
4) (a,b,cN) (a=b  b=s) a=s (tranzitiv) bo‘ldi. 
3. A=R (a,b R) ab= (a>b) tartib munosabati.
 1)  (aR)(a>a) (antirefleksiv);
2) (a,bR)a>bl(b>a) (asimmetrik);
3) (a,bR) a*b ((a>b)(b>a)) (bog‘langan);
4)(a,b,cR) ((a>b)(b>s))(a>s) tranzitiv bo‘ladi.
Ta’rif. Agar A to‘plamda aniqlangan  - binar munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda  ni ekvivalentlik munosabati deyiladi va uni ~ ko‘rinishda belgilaymiz.
YUqoridagi misollardan ko‘rinadiki "", '=" munosabatlari ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.
Ta’rif. Agar A₁,A₂,...,An to‘plamlar berilgan A to‘plamning qism to‘plamlari bo‘lib,
Ai  Aj, =, ij, i,j=l,2,...,n;
A=A₁, A₂.. A_n bo‘lsa, u holda A ni o‘zaro kesishmaydigan
A₁, A₂...A_n, qism to‘plamlarga ajratilgan deyiladi.
Misol. A=N natural sonlar to‘plami.
 N₁, - toq natural sonlar to‘plami, N₂ juft natural son to‘plami
N₁  N₂ =  , N₁ N₂ = N 
Aytaylik A to‘plamda ~ - ekvivalentlik munosabati aniqlangan bo‘lsin, aA element orqali hosil qilingan ekvivalentlik sinfi deb a} to‘plamni aytiladi.
ekvivalentlik sinfi quyidagi xossalarga ega:

Bu ekvivalentlik sinflarining to‘plamini A to‘plamni ~ ekvivalentlik munosabatiga ko‘ra faktor-to‘plami deyiladi va uni A/~ ko‘rinshtsda belgilaymiz, ya’ni A/~={ :aA}.
Misol. A = Z,(a,bZ)ab = [(a-b):5] yoki a-b=5n, nZ. Bu holda  Z da ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.
 Haqiqatan ham
l)(aZ)aa(a-a = 0:5);
2) (a,bZ)ab,((a-b):5)ba(-(b-a):5);
3) (a,bZ)ab,((a-b):5)bc(-(b-c):5)
(a-b=5nb-c=5k)(a-c)=5(n+k)(a-c):5ac.

Bu (:)ekvalentlik munosabati Z to‘plamni o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratadi.

 Haqiqatan ham
= {...,-5k,.... ,-10,-5,0,5,10,...,5k,...}
= {...,-5k + 1,...,-9,-4,1,6,11,...,5k + 1,...}
= {. ,-5k + 2,...,-8,-3,2,7,12,...,5k + 2,...}
= {...,-5k +3,...,-7,-2,3,8,1Z,...,5k: + 3,...}
= {...,-5k +4,...,-6,-1,4,9,14,...,5k: + 4,...}
Z=     , Z/_s={ , , , , }.