O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi
Download 1.11 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Misol.
- 23.3-eslatma.
- Misollar.
|
23.5-teorema. p ta erkli tajribada A hodisaning rosa k marta ro`y berish ehtimoli kuyidagi formula bilan hisoblanadi:
( )
k n k k n n q р C k Р − = (23.11)
bunda ( ) . ...
3 2 1 ! , ! ! !
n k n k n C k n ⋅ ⋅ = − = Bu teorema quyidagicha mulohaza bilan isbotlanadi:
Bog`liq bo`lmagai p ta tajribaning har birida kuzatilayotgan A hodisaning ro`y berish ehtimoli r, ro`y bermaslik ( A —hodisaning ro`y berishi) ehtimoli ( )
q q − =1 bo`lsin.
Aytaylik, p ta tajribada A hodisa biror marta ham ro`y bermasin. Demak, birinchi tajribada A hodisa, ikkinchi tajribada ham A hodisa, va hokazo, p- tajribada ham A hodisa ro`y bergan. Natijada ushbu
( ) 43 42 1 та n A A A ... . murakkab hodisaga ega bo`lamiz. Uning ehtimoli erkli hodisalar uchun ehtimollarni ko`paytirish teoremasiga asosan:
( ) ( ) ( ) ( ) . ... ... ...
n та n та n та n q q q q A Р A Р A Р A A A P = = = 3 2 1 4 4 3 4 4 2
1 43 42 1
Bu holda, ya`ni p ta tajribada A hodisaning biror marta ham ro`y bermaslik extimoli ( )
n q P = 0 bo`ladi.
Aytaylik, p ta tajribada A hodisa faqat bir marta ro`y bergan bo`lsin. Bunda quyidagi p ta murakkab hodisaga ega bo`lamiz:
43
1 та n A A A A ...
(birinchi tajribada A ro`y berdi),
43 42 1
n A A A A ...
(ikkinchi tajribada A ro`y berdi)
4 4 3 4 4 2 1 та n A A A A A ...
(uchinchi tajribada A ro`y berdi),
43 42 1 та n A A A A ...
(n - tajribada A ro`y berdi).
Bu murakkab erkli hodisalarning ehtimollarni ko`paytirish teoremasiga asosan ( ) ( ) ( ) ( )
1 ...
... ...
− = ⋅ = =
pq q q рq А Р А Р А Р А А А А Р
……………………………………………………. 12
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
... − = = n pq А Р А Р А Р А Р А А А А Р .
ehtimollarni qo`shish teoremasiga asosan
( ) ( ) ( ) ( ) (
) . ... ... ...
... ...
... ...
... ...
1 1 1 1 1 1 1 − − − − − = = + + + + = + + = = + + + + = n n n n n n n рq C nрр рq рq рq A А А А P А А A А Р А А А А Р A А А А А А A А А А А A А А А А А Р Р
bo`ladi. Demak, ( )
. 1 1 1 − = n n n рq C Р
Aytaylik, p ta tajribada A hodisasi ikki marta ro`y bersin. Bu holda quyidagi А A А А А А А A А А А А А А А ...
, ...
, ...
murakkab hodisalardan biri ro`y berdi. Ularning soni ( )
2 1
C n n = − bo`lib, har birining ehtimoli 2 2
n q p ga teng bo`ladi. Yuqoridagidek, p ta tajribada A hodisaning k marta ro`y berish ehtimoli
( )
k n k k n n q р C k Р − = (23.11)
ga teng bo`lishi ko`rsatiladi. (23.11) formula Bernulli formulasi deb ataladi. p ta tajribada A hodisa ro`y bermasligi mumkin, bir marta, ikki marta va h.k., p marta ro`y berishi mumkin. Bunday hodisalar yig`indisi albatta muqarrar hodisa bo`ladi. Shuning uchun ularning ehtimollari yig`indisi 1 ga teng bo`ladi. Demak, ( )
( ) ( )
( ) 1 ... 2 1 0 = + + + +
Р Р Р Р n n n n , ya`ni ( ) ∑
= n k n k P 0 1. Misol. Har bir detalning yaroqli bo`lish (A hodisa) ehtimoli 0,8 ga teng. Tayyorlangan 5 detaldan 3 tasining yaraqli bo`lish ehtimoli topilsin.
Masala shartiga binoan ( ) ( )
2 , 0 1 , 8 , 0 , 3 , 5 = − = = = = = =
q A P p A P k n
bo`lishini aniqlaymiz. Unda (23.11) Bernulli formulasiga ko`ra ( ) ( ) ( ) . 2048 , 0 2 , 0 8 , 0 ! 3 5 ! 3 ! 5 8 , 0 1 8 , 0 3 2 2 3 5 5 = ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ = C P
Endi erkin tajribalar ketma-ketligida hodisaning ro`y berish sonini µ bilan belgilab, quyidagi hodisalarni kiritamiz va ularning ehtimollarini yozamiz: 1) hodisaning k dan kam marta ro`y berish hodisasini { }
0 − ≤ ≤ k µ desak, uning ehtimoli { } ( ) ∑ − = = − ≤ ≤ 1 0 1 0
m n n m P k P µ
bo`ladi; 2) hodisaning k dan ko`p marta ro`y berish hodisasini { }
k ≤ ≤ + µ 1 desak, uning ehtimoli { }
∑ + = = ≤ ≤ + n k m n n m P n k P 1 1 µ
bo`ladi. 3) hodisaning kamida k marta ro`y berish hodisasi { } n k ≤ ≤ µ ning ehtimoli { }
∑ = = ≤ ≤
k m n n m P n k P µ
bo`ladi. 13 4) hodisaning ko`pi bilan k marta ro`y berish ehtimoli { } ( ) ∑ = = ≤ ≤
m n n m P k P 0 0 µ
bo`ladi. 5) hodisaning kami bilan k 1 marta, ko`pi bilan k 2 marta ro`y berish hodisasini { } 2 1
k ≤ ≤ µ desek, uning ehtimoli { }
∑ = = ≤ ≤ 2 1 2 1 k k m n n m P k k P µ
bo`ladi. Misollar. 1) chigitning unuvchanligi 10% bo`lsa, ekilgan 4 ta chigitdan: a) uchtasining unib chiqishi; b) hech bo`lmaganda ikkitasining unib chiqish ehtimolini toping.
a) shartga ko`ra p = 4, k = 3, r = 0,8, q = 0,2. Bernulli formulasiga ko`ra ( ) ( )
; 4096
, 0 2 , 0 8 , 0 3 3 3 4 4 = ⋅ = С Р
b) A hodisa ekilgan 4 ta chigitdan hech bo`lmaganda ikkitasining unib chiqishini, ya`ni 2 tasi, yoki 3 tasi, yoki 4 tasi unib chiqishiki bildirsin. Ehtimollarni qo`shish teoremasiga ko`ra: R(A)= R 4 {yoki 2, yoki 3, yoki 4}=R 4 (2)+R
4 (3)+R
4 (4).
R 4 (3) ehtimol a) bandda hisoblangan; ( ) ( ) ( )
; 1536
, 0 2 , 0 8 , 0 2 2 2 2 4 4 = ⋅ = С Р
( ) ( ) ( ) . 4096 , 0 2 , 0 8 , 0 3 0 4 4 4 4 = ⋅ = С Р
Demak, ( ) 9728
, 0 = А Р . Endi (23.11) Bernulli formulasining tahlili bilan shug`ullanamiz. Ravshakki, berilgan tayin p va r da ( )
k n k k n n q р C k Р − = ( k = 0, 1, 2, . . . , p) ning qiymati k ga bog`liq, ya`ni k ning funktsiyasi bo`ladi. Bunda k o`zgaruvchining k=0, k=1, k=2, …, k=n qiymatlarida R n (k) funktsiyaning qiymatlari ushbu ( ) ( ) ( ) ( )
...,
, 2 , 1 , 0 (23.12) sonlar ketma-ketligidan iborat bo`ladi. Bu (23.12) dagi sonlardan tayinlangan p uchun qaysi biri eng katta bo`ladi, ya`ni A hodisa p ta erkli sinashda ro`y berishlar soninnng qanday qiymatlarida R p (k) eng katta ehtimolga ega bo`ladi, degan savolga javob berish masalasini o`rganamiz. Shu maksadda ushbu ( ) ( ) k P k P n n 1 + nisbatni qaraymiz. Ravshanki, ( )
( ) (
) k n k k n k k n n p p k n k n q р C k Р − − − − = = 1 ! ! ! , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ! 1 ! 1 ! 1 − − + + − + + − − − + = = + k n k k n k k n n p p k n k n q р C k Р .
U holda ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p k k n p p n k n k k n k p p n k P k P k n k k n k n n − ⋅ + − = − − − + − ⋅ − = + − − − + 1 1 1 ! ! 1 ! 1 ! ! 1 ! 1 1 1
bo`ladi. Agar ( ) ( ) , 1 1 > +
P k P n n
ya`ni 1 1 1 > − ⋅ + −
p k k n (23.13) 14 bo`lsa, u holda ( ) ( ) k P k P n n > +1 bo`ladi. k ning qanday qiymatlarida ( ) ( ) k P k P n n > +1 bo`lishini bilish uchun (23.13) tengsizlikni k ga nisbatan echamiz: ( ) (
)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p np k np p k np p p k kp p p k kp np p k p k n p p k k n − − < ⇒ − − > − ⇒ − − > − − − ⇒ ⇒ − + − > − ⇒ − + > − ⇒ > − ⋅ + −
Demak, ( )
np k − − < 1
( )
k P k P n n > +1 bo`ladi. Shunday qilib, k o`zgaruvchining qiymatlari ( )
np − − 1 sondan kichik bo`lganda ( )
k Р n ehtimol o`sib bordi (ya`ni ( )
Xuddi shunga o`xshash, ( )
np k − − > 1
( )
k P k P n n < +1 bo`lishini ko`rsatish mumkin.
Shunday qilib, k o`zgaruvchining qiymatlari ( )
np − − 1 sondan katta bo`lib borganda ( )
k Р n ehtimol kichiklashib boradi (ya`ni ( )
( ) p np k − − = 1 bo`lganda esa ( ) ( ) k P k P n n = +1 bo`ladi. Shunday qilib, k o`zgaruvchi 0, 1 , 2 , … , n qiymatlarni qabul qila borib, uning qiymati ( )
np − − 1 songa etguncha ( )
k Р n ning qiymati o`sa boradi, k ning qiymati ( ) p np − − 1 sondan oshganda esa ( )
Endi p ta tajribada A hodisa ro`y berishining eng katta ehtimolli sonini topamiz. Aytaylik, bu eng katta ehtimol k o`zgaruvchining k 0 qiymatida bo`lsin. Unda yuqorida aytilganlarga ko`ra, bir tomondan,
(
( ) 0 0 1 k P k P n n ≤ + , (23.13) ikkinchi tomondan esa ( )
0 0 1 k P k P n n ≤ − (23.14) bo`ladi.
(23.13) munosabat ( )
np k − − ≥ 1 0 , (23.14) munosabat esa ( ) p np k − − ≥ − 1 1 0
bajarilishini yuqoridagidek ko`rsatish mumkin.
Demak, eng katta ehtimolli k 0 son ushbu ( ) p np k p np + ≤ ≤ − − 0 1 (23.15) tengsizliklarni qanoatlantirar ekan. Bu tengsizlikni qanoatlantiradigan butun sonlar ( )
np − − 1 songa bog`liq bo`ladi:
1) Agar ( )
np − − 1 kasr son bo`lsa, u holda (23.15) tengsizlikni qanoatlantiradigan 0
bo`ladi (142-b, chizma). 2) agar ( )
np − − 1 butun son bo`lsa, u holda (23.15) tengsizliklarni qanoatlantiradigan sonlar ikkita bo`ladi. Demak, bu holda eng katta ehtimolli son ikkita bo`ladi. Download 1.11 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|