R(n)- funksiya va uning xossalari

6. Bertran postuloti.
Ushbu Teorema Bertran tomonidan aytilgan bo‘lib, uni birinchi bo’libChebishev isbotlagan.
4-Teorema (Bertran postuloti). Agar n butun musbat son bo’lsa, U holda shartni qanoatlantiruvchi tub son mavjud.
Bu Teoremaning Chebishev Isboti 3-Teorema Isbotiga o‘xshash bo‘lib, p ning katta qiymatlari uchun Teorema umumiy holdaisbotlanib qolgan qiymatlari uchun tub sonlar jadvali yordamida tekshirib ko‘riladi. Bu yerda S.S.Pillai Isbotini keltiramiz, u nisbatan sodda va tekshirishlar soni kam, chunki yerda Г(п) uchun Stirling formulasida foydalanilmaydi.
Chebishev teoremasini isbotlashda biz uchun

tengsizlikdan foydalanib tengsizlikni keltirib chiqargan Edik. (11)-tengsizlikning faqat 2 ni ng darajalari uchun bajarilib qolmasdan barcha p-butun musbat sonlar uchun baarilishini ya’ni

ni ko‘rsatish uchun (19) ga qaraganda aniqroq bo‘lgan

tengsizlik kerak bo’ladi.
Avvalo (20) ni isbotlaylik.
bo’lsin.
bo‘lgani uchun

Endi Ushbu tengsizlikni qaraylik:

Buni quyidagicha yozib olamiz.

yoki

Endi (20) ning chap tomonini isbotlaymiz uchun Ushbu tengsizlikni qaraymiz:

Buni

debyoza olamiz. Demak

(20) munosabat to‘la isbot bo‘ldi.
Endi (19) ni isbotlaymiz. (19)ni nқ1 va nқ2 da bevosita tekshirib ko‘rish mumkin. Biz (19)ni biror qiymati uchun o‘rinli debqarab undan
ni keltirib chiqaramiz.
Ushbu butun soni qaraymiz:

Bu son shartni qanoatlantiruvchi barcha р-tub sonlarga bo‘linadi va shuning uchun ham ularning ko’paytmasiga ham bo‘linadi. Demak

Lekinda (20)dan Keyingi 2 ta tengsizlikdan

Induktivlik Farazamizga ko’ra
Shuning uchun ham

Teorema isbot bo‘ldi.
4-Teoremaning Isboti. Teoremani isbotlash uchun ekanligini ko‘rsatamiz, ning qolgan qiymatlari uchun esa Bu tengizlikni bevosita tekshirib ko’ramiz.
Yana ham sonini qaraymiz. Bu yerda

Tushunarliki

(21) dagi yig‘indini quyidagicha 4 ta yig‘indiga ajratamiz.


Shuning uchun ham
U holda


Shuning uchun


Demak



bo‘lgani uchun


bo‘lganda (21)-(25) tengsizliklardan

Endi yetarlicha katta lar uchun ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun UshBu 3 ta tengsizlikdan foydalanamiz.

а) va v) (19) va (20) dan kelib chiqadi s) esa2 dan katta barcha juft sonlarning murakkab son ekanligidan kelib chiqadi.
Agarda bo’lsa, а), в) с) va (26) dan

Endi Teoremani isbotlash uchun

ni ko‘rsatamiz, Bu tengsizlik nқ2⁶ da bajariladi.

(28) n>2⁶ da bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun uni quyidagicha yozib olamiz.



Haqiqatan (29) dan

Agarda Bu yerda

funksiyalarning musbat hosilaga ega.Demak qaralayotgan sohada Bu funksiyalar o‘suvchi. x=26da ularning yig‘indisi musbat bo‘lgani uchun x≥2⁶
da ham musbat bo’ladi. Shunday qilib agar n≥2⁶ bo’lsa
- >0 (30)
bo’ladi, ya’ni n≥2⁶ da Bertran postuloti o‘rinli.
2,3,5,7,13,23,43,67 ketma-ketlikdagi tub sonlardan Har biri (birinchisidan tashqari) o‘zidan oldingisining ikki baravaridan kichik. Shuning uchun ham n≤66 shartni qanoatlantiruvchi Har bir Butun soniga hech bo‘lmasa birta n
shartni qanoatlantiruvchi tub son mos keladi. Shunday qilib 4-Teorema to‘la isbotlandi.
7.