Tengsizliklarni bevosita isbotlash usullari haqida. 1–misol. Istalgan va sonlari uchun ekanligini isbotlang. Yechilishi

Misol. Musbat  va  sonlari uchun tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi: Tengsizlikning chap qismida shakl almashtirish bajarib, uni quyidagi ko’rinishda yozamiz:
. (1)
Ikkita musbat son uchun o’rta arifmetik va o’rta geometrik qiymatlar orasidagi Koshi tengsizligidan foydalanamiz:
.
Bu tengsizliklarni hadma-had qo’shib, (1) tengsizlikni hosil qilamiz.
1-misol.  bo’lsa, tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi:
.

2-misol.  bo’lsa,   tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi. .
O’rta geometrik va o’rta garmonik qiymatlar orasidagi tengsizlik.
Teorema. G (a) ³ H(a) ekanligini, jumladan, H(a) = G(a)  tenglik faqat va faqat a₁=a₂ =…= a_n shart bajarilsa to’g’riligini isbotlang. 
Isboti. Koshi tengsizligidan foydalanib (1-masalaga qarang) foydalanib
(H(a)) ^-1=   tenglikka ega bo’lamiz. Jumladan,  H(a) = G(a)  tenglik faqat  a₁=a₂ =…= a_n da bajariladi.
1-misol. Agar  bo’lsa, tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi: ,

2-misol. Agar  , bo’lsa,  ni isbotlang.
Yechilishi:  .
6-masala.  tengsizlikni isbotlang, bu yerda  - musbat sonlar.
Yechilishi. Ma’lum  tengsizliklarni qo’shib, ushbu  tengsizlikni hosil qilamiz.
7-masala.  tengsizlikni isbotlang, bu yerda  - musbat sonlar.
Yechilishi. 6-masalaga ko’ra:  ga egamiz. Bu yerdan esa  ni olamiz.
8-masala.  tengsizlikni isbotlang, bu yerda  - musbat sonlar.