To'plamlarning o'lchovli bo'lishi zarur va yetarli

3. 6 -§. Lebeg integrali belgisi ostida limitga o'tish
Integral belgisi ostida limitga o'tish yoki qatorlarni hadma-had integrallash masalasi ko'plab muammolarni yechishda uchraydi. Integral belgisi ostida limitga o'tishning yetarli shartlaridan biri berilgan ketma-ketlikning tekis yaqinlashish shartidir.
6.1-teorema (Lebeg). Agar ketma-ketlik to'plamning har bir nuqtasida funksiyaga yaqinlashsa va barcha lar uchun tengsizlik bajarilib, funksiya to 'plamda integrallanuvchi bo'lsa, u holda limitik funksiya ham da integrallanuvchi bo'ladi va

Isbot. Teorema shartidan limitik funksiya uchun tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Lebeg integralining VII-xossasiga ko'ra integrallanuvchi funksiya bo'ladi. Endi ixtiyoriy son bo'lsin. Lebeg integralining absolyut uzluksizlik xossasiga (5.4-teoremaga qarang) ko'ra shunday son mavjudki, agar bo 'lsa, u holda

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Egorov teoremasiga ko'ra, to'plamni shunday tanlash mumkinki, ketma-ketlik to 'plamda funksiyaga tekis yaqinlashadi. Demak, shunday mavjudki, ixtiyoriy lar va ixtiyoriy uchun

tengsizlik bajariladi. U holda

bo 'ladi. Endi

ekanligidan hamda (6.1) va (6.2) lardan

6.1-natija. Agar const va bo'lsa, u holda integral belgisi ostida limitga o'tish mumkin, ya'ni

6.1-eslatma. Nol o'lchovli to'plamda funksiyaning qiymatini o'zgartirish integral qiymatiga (VI-xossaga qarang) ta'sir qilmaydi, shuning uchun 6.1teoremada ketma-ketlikning funksiyaga deyarli yaqinlashishini va tengsizlikning ham deyarli barcha lar uchun bajarilishini talab qilish yetarli.
6.2-teorema (Levi). to'plamda monoton

Integrallanuvchi funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo'lib, barcha lar uchun

tengsizlik bajarilsin. U holda to'plamning deyarli hamma yerida chekli limit mavjud hamda funksiya da integrallanuvchi va integral belgisi ostida limitga o`tish mumkin, ya'ni

Isbot. Faraz qilaylik, bo '1sin. Umumiy hol almashtirish yordamida holga keltiriladi.

to 'plamni qaraymiz. Agar biz to 'plamni kiritsak, holda quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi:

Chebishev tengsizligiga (5.3-teoremaga qarang) ko'ra,

Har bir tayinlangan da munosabat o'rinli. O'lchovning uzluksizlik xossasiga ko'ra

Har bir uchun ekanligidan ekanligi kelib chiqadi va ixtiyoriy bo'lgani uchun bo'ladi. Shu bilan monoton ketma-ketlik deyarli barcha larda chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi.
Endi deb olamiz. Agar funksiyaning to'plamda integrallanuvchi ekanligini ko'rsatsak, u holda funksiya ham to'plamda integrallanuvchi bo'ladi va 6.1-teoremadan 6.2-teoremanint tasdig'i kelib chiqadi.
Endi funksiyaning to 'plamda integrallanuvchi ekanligini ko'rsatamiz.

deymiz. da va funksiyalar chegaralangan va har bo' lgani uchun 6.1-natijaga ko'ra

Ikkinchi tomondan,

Bu yig'indining chegaralanganligi

qatorning yaqinlashuvchiligini bildiradi. Demak,

Shunday qilib, ning da integrallanuvchi ekanligi isbotlandi.
Teoremani monoton o'smaydigan ketma-ketliklar uchun ham isbotlash mumkin.
6.2-natija. Agar bo'lib,

bo 'lsa, u holda to'plamning deyarli barcha nuqtalarida

qator yaqinlashadi va qatorni hadlab integrallash mumkin, ya'ni

tenglik o'rinli.
6.3-teorema (Fatu). Agar manfiymas, o'lchovli funksiyalar ketmaketligi to 'plamning deyarli barcha nuqtalarida funksiyaga yaqinlashsa va

bo 'Isa, u holda funksiya to' plamda integrallanuvchi va

tengsizlik o'rinli.
Isbot. deb belgilaymiz. o'lchovli, chunki

Bundan tashqari bo 'lgani uchun integrallanuvchi va

Nihoyat, va deyarli barcha lar uchun

Shuning uchun 6.2-teoremani ketma-ketlikka qo'llab, 3.3-teoremaning isbotiga ega bo'lamiz.