Umumlashgan funksiyalarning o’ramasi

Umumlashgan funksiyalarning o’ramasi.
1. Umumlashgan funksiyalar ustida amallar.
1. 𝑓(𝑥) umumlashgan funksiyaning 𝛼 songa ko’paytmasi deb ushbu
(𝛼𝑓 , 𝜑) = 𝛼(𝑓, 𝜑) = (𝑓 , 𝛼𝜑)
uzluksiz chiziqli funksionalga aytiladi. Regulyar 𝑓 funksional uchun bu amal
local integrallanuvchi 𝑓(𝑥) funksiyani 𝛼 songa ko’paytirishdan iborat.
2. Ikki 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) umumlashgan funksiyaning yig’indisi deb , ushbu
(𝑓+ 𝑔, 𝜑) = (𝑓 , 𝜑) + (𝑔 , 𝜑)
tenglik bilan aniqlangan 𝑓+ 𝑔 funksionalga aytiladi. Agar 𝑓 va 𝑔 lar regulyar
bo’lsa, u holda ularning yig’indisi ham regulyar bo’lib, lokal integrallanuvchi 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) funksiyalarning yig’indisiga teng.
3. 𝑓 umumlashgan funksiya va umumlashgan funksiyalarning {𝑓_𝑛}
ketma- ketligi berilgan bo’lsin. .Agar har bir 𝜑∈ 𝐸 uchun (𝑓_𝑛 , 𝜑 ) sonlar
ketma –ketligi 𝑛→ ∞ da (𝑓 , 𝜑) songa intilsa , {𝑓_𝑛} ketma –ketlik 𝑓 ga
yaqinlashuvchi deyiladi .
Agar 𝑓_𝑛 funksiyalar uzluksiz funksiyalar bo’lib , {𝑓_𝑛} ketma- ketlik 𝑓 uzluksiz funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda bu {𝑓_𝑛} ketma-ketlik umumlashgan funksiyalar ketma- ketligi sifatida ham 𝑓 ga tekis yaqinlashgani sababli har qanday 𝜑∈ 𝐸 uchun ushbu
∫ 𝑓_𝑛( 𝑥)𝜑(𝑥) 𝑑𝑥
integral ostida limitga o’tish mumkin.
Kiritilgan yaqinlashish ma’lum yaqinlashishlarga nisbatan kengroq manodagi yaqinlashish ekanligini misolda ko’ramiz.
Ushbu, 𝑓_𝑛(𝑥) = sin 𝑛𝑥 funksiyalar ketma –ketligi biror funksiyaga na tekis yaqinlashadi, va na har bir nuqtada yaqinlashadi. Ammo bu ketma- ketlik
umumlashgan funksiyalar sifatida esa nolga yaqinlashadi. Haqiqatdan , ushbu


+∞
(sin 𝑛𝑥 , 𝜑) = ∫ sin 𝑛𝑥𝜑(𝑥) 𝑑𝑥
−∞
son 𝜑 funksiyaning Fur’e koeffisenti sifatida 𝑛→ ∞ da nolga yaqinlashishi matematik analiz kursidan ma’lum .