Umumlashgan funksiyalarning o’ramasi

2. Umumlashgan funksiyalarning differensiyalanuvchi funksiyalar bilan superpositsiyasi va ko`paytmasi.
Ixtiyoriy ikkita umumlashgan funksiyaning ko’paytmasi tushunchasi umumiy holda kiritilmagan. Ammo ixtiyoriy umumlashgan funksiyaning barcha hosilalari mavjud ℎ(𝑥) funksiyaga ko’paytmasini tariflash mumkin. Barcha hosilalari mavjud ℎ(𝑥) funksiyaning 𝑓(𝑥) umumlashgan funksiyaga ko’paytmasi deb, ushbu
(ℎ𝑓 , 𝜑) = (𝑓 , ℎ𝜑)
tenglik bilan aniqlangan ℎ𝑓 funksionalga aytiladi. Bu tenglikning o’ng tomonidagi funksional manoga ega, chunki har qanday 𝜑(𝑥) finit funksiyaning ℎ(𝑥) funksiyaga ko’paytmasi yana finit funksiyadir. Undan tashqari, 𝐸 fazoda 𝜑_𝑛 ketma- ketlik nolga intilsa, shu fazoda ℎ𝜑_𝑛 ham nolga intiladi. Bundan ta’rifdagi ℎ𝑓 funksionalning uzluksizligi kelib chiqadi. Demak, barcha tartibli hosilalari mavjud bo’lgan ℎ(𝑥) funksiyaning 𝑓(𝑥) umumlashgan funksiyaga ko’paytmasi aniqlanadi. Agar 𝑓(𝑥) regulyar bo’ls, uning ℎ(𝑥) ga ko’paytmasi
bu funksiyaning odatdagi ko’paytmasiga teng. Ushbu
(ℎ𝑓)^′ = ℎ𝑓^′ + ℎ^′𝑓
qoida o’rinli ekanligi oson tekshiriladi.
3. Soxotskiy formulasi. Biz ixtiyoriy (x) D(R¹) uchun

 

   _  _
 

 



 

1 ( ) ( )
( , ) lim
_Rⁿ

x x
P V p dx dx
x x x







0




  

Formula orqali yana bitta muhim bo’lgan P ¹ ,
x

singulyar umumlashgan

funksiyani kiritamiz.Bu P ¹

x
funksional chiziqli bo’ladi. Ushbu funksionalning

^_k ^ bolsin,ya’ni
x R uchun _{k (x)  0} va k  da D^_k (x)  0 bo’lsin.U holda
_D(R¹_{) Fazoda zluksizligi isbotlaymiz. D fazoda k   da 0}






   

1 ( ) (0) ' ( ) ' ( )
( , )
n

x x x x x
P V p dx V p dx dx
x x x x

k k k

k

1 1
   _   _ ^  _ 

R R R
 2Rmax_xR '_k (x) 0 (1)

_x  ekan.
Bo’ladi,bu yerda x' nuqta (R,R) intervaldan olingan qandaydir nuqta bo’ladi.Shunday qilib P ¹ D'(R¹)

1
P ,
x

umumlashgan funksiya x  0 uchun

1

1
x

funksiya bilan ustma-ust

1

tushadi.Odatda bu funksiyaga


x

funksiyaning chekli qismi yoki

x

funksiyadan

olingan integralning bosh qiymati deb ataladi.
Endi ixtiyoriy   D(R¹) uchun


( ) ( )
lim (0)
R R R

x x
_x dx i V p dx

^ i x

0

1 1 1
 
_{   }      _{ } (2)
tenglik o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.haqiqatdan ham ,agar x R uchun
(x)  0 bo’lsa, u holda tenglik o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.Haqiqatan ham agar x R uchun (x)  0bo’lsa ,u holda

( ) ( )
lim lim
R R

x x
_x dx dx

^ i ^ x i

0

0

1 1
 
^{ } _{ } ^{  } _{ } ^

 
  
 _  _


  

( )
(0) lim lim ( ) (0)
R R

x x i
dx x dx
^ x i ^ x i

^ _ ^ _

0 0
 
1 1


R
i arctg x dx

 

2 (0) lim (0) ( )
R

0

1
   _  _{ x}   



   _

( )

(0)
x
i Vp dx

1

R
x

bo’ladi (2) munosabat D'(R') fazoda   0 da

1
x  i

funksiyaning limiti

mavjud bo’lishligini bildiradi va bu limitni biz

1 1

( )
ko’ra,

1
x  i0

orqali belgilaymiz.Shunga

_{x  i0}  i x  P _x
tenglik o’rinli bo’ladi. Xuddi shuningdek

(3)

_{x  i0}  i x  P _x
¹ ( ) ¹

(4)

(4) tenglik o’rinli bo’ladi. (2)’’integral’’ forma ko’rinishidagi (3) va (3.3.29)
formulalarni 1973 yilda yu.v.saxotskiy tomonidan birinchi topilgan.Hozirda bu formulalar kvant fizikasida keng qo’llaniladi.

umumlashgan funksiyaning R¹ to’plamdagi tartibi 1 ekanligini isbot
1
P
x

qilamiz.

Haqiqatan ham (1) tengsizlikdan P ¹
x

umumlashgan funksiyaning R¹

umumlashgan funksiyaning R¹ to’plamda o’lchov
to’plamdagi tartibi 1dan oshmasligi kelib chiqadi.Agar uning tartibi 0 bo’lganda 6 teorema ga ko’ra P ¹
x
ekanligi kelib


_{1 1} 2 ₍ ^{1 1} ₎ 2
₂ ²
0 0 0
1 1

^k _k
x x ^y
k
R R

e  x dx e k kx dx e  y dy  y dy

( ) ( ) ( ) ( ) 1

1 1
_ ^
_  _  _ _  (5)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.Bu esa tenglikka ko’ra k   da

1

 _e  x dx  f  
1 ^x _k ( ) ( , _k ) 0

1
R

ziddiyatga olib keladi
4.Umumlashgan funksiyalarda o’zgaruvchilarni almashtirish.
f (x) L ¹(G)



^ _ va ^{x  Ay  b,det A  0} shu ^G₁ ochiq to’plamni akslantiruvchi maxsusmas chiziqli almashtirish bo’lsin.U holda ixtiyoriy ^{  D(G}₁⁾ uchun

f Ax  b   _ f Ax  b  y dy 

( ( ), ) ( )
G
 
1


¹ ( ) ( ¹( ) ¹ ( , ( ¹( ))

_{det A} G f x  A x b dx _{det A} f  A x b
_ ^ _{ } ^ _

1
Amali D(G₁) fazoni D(G ) fazoga chiziqli va uzluksiz akslantiruvchi funksional bo’lib (5) tenglikning o’ng tomoni bilan aniqlanadigan f (Ay  b) funksional ^D'(G₁⁾ fazoga tegishli bo’ladi.
Hususan,agar Aburish ya’ni A^T  A^1 va b  0 bo’lsa, u holda ( f (Ay),)  ( f ,(A¹x)) tenglik o’rinli bo’ladi.Agar A o'xshash (aks ettirish
bilan birgaa) almashtirish, ya’ni A  cI,c  0 va b  0 bo’lsa u holda

( f (cy), ) _n f , ( ^x)

_{ }<sup> 

</sup> _c ^ _n
1


 

tenglik o’rinli bo’ladi.Agar A I bo’lsa ,u holda
( f (y  b),)  ( f ,(x b))
bo’ladi. Odatda f (x  b) umumlashgan funksiyaga f (x) umumlashgan
funksiyaning b vektorga siljitilgani deyiladi.
Masalan, a)  (x) funksiya aks ettirish umumlashgan funksiyasi bo’lib
 (x)umumlashgan funksiyaga teng,ya’ni

((x),(x))  ((x),(x)) (0)  ((x),(x))
Formula orqali aniqlanadi.Bundan (x) (x) kelib chiqadi.
b) (x  x₀) umumlashgan funksiya  (x)umumlashgan funksiyaning x₀
nuqtadagi siljitilganligi bo’lib
((x  x₀),(x))  ((x),(x  x₀)) (x₀)
formula orqali aniqlanadi.
Shuningdek bunday kiritish transliutsion-invariant,sferik simmetrik, markaziy-simmetrik, bir jinsli, davriy, Lorens-invariant va boshqa umumlashgan funksiyalarni aniqlashga imkon beradi.
Masalan, agar Lorens gruppasidagi ixtiyoriy A almashtirish uchun f (Ax)  f (x) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda f umumlashgan funksiyasi Lorens
gruppasiga nisbatan invariant deyiladi.
Bevosita (5) ta’rifdan o’zgaruvchilarni chiziqli almashtirish amali D(G₁)
fazoni D(G ) fazoga chiziqli va uzluksiz akslantiruvchi funksional bo’lishi bevosita kelib chiqadi.Shunga ko’ra ixtiyoriy f (g),g(x)D'(G ) uchun
( f  g)(Ay  b)   f (Ay  b)  g(Ay  b)
bo’lib, agar D'(G ) fazoda k   da f_k (x)  0 bo’lsa, u holda D'(G₁) fazoda k  da f_k (Ay  b)  0 bo’ladi.
a(x)C¹(R¹) bo’lsin. (a(x)) umumlashgan funksiyani D'(c,d) fazodagi

 



(a(x)) lim _ (a(x))



0
 (6)

Limit formulasi bilan aniqlaymiz, bunda _ ''shapkacha''funksiyasidir. a(x)funksiya aniqlangan va x_k ,k 1,2,... oddiy nollarga ega bo’lsin.Bu

holda

 


(a(x)) lim _ (a(x))



0
 (7)
yig’indi orqali tasvirlanadi.
Bo’laklarni yamash haqidagi teoremaga ko’ra, (7) tenglikni lokal isbotlash,
ya’ni har bir nuqtasining yetarlicha kichik atrofida isbotlash yetarlidir.
 D(x_k _k,x_k ) bo’lib, bunda (x_k _k,x_k )intervalda a(x)funksiyani
monoton funksiya bo’ladigan qilib yetarlicha kichik tanlangan bo’lsin.U holda




x

k


     

( ( ( )), ) lim( ( ( )) ( )) lim ( ( ( )) ( ))

a x a x x a x x

  _ 

 

0 0



x
_ ^ _ ^

k




x





_ ^


 _ 
^{ } _{ 
}^ _^ _{ }

 
  

( ) ( )
lim ( ( ) ( ( )) ,
_{( )} ( ) ( )

dy x x x

k


 ^


¹ _{1 1 1 1}

k k
_x k k

y a y

_{a a y} a x a x

0


k
tenglikni yozamiz.Agar  D(,) bo’lib, bunda (,)interval a(x) funksiyaning x_k ,k 1,2,... nollarini saqlamasa , u holda



_ ^


 _ 

( (a(x)), ) lim ( (a(x)) (x)) 0

0
   



 

( )
( )

x x
a x

k
bo’ladi. Ko’rinib turibdiki, (x_k _k,x_k )intervaldagi lokal elementlar ₁

k
teng va (,) intervaldagi lokal element nol bo’ladi.Bo’laklarni yamash haqidagi teoremaga ko’ra (7) formula isbot bo’ldi.
Misol.

 x  a  _2a  x  a   x  a
a) ( ^{2 2} ) ¹ _ ( ) ( )_



 _ 

 x  x k
b) (sin ) ( )


k

_tengliklar o’rinli.

Umumlashgan funksiyaga ko’paytirish f (x)L_loc¹(G) va a(x)C¹(R¹)
bo’lsin. U holda ixtiyoriy  D(G) uchun
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
G

af   _a x f x  x dx  a f
tenglik o’rinli bo’ladi.Bu tenglikni biz  D'(G)umumlashgan funksiyaning
_a(x)C¹_(R¹_{) cheksiz defferensiallanuvchi funksiyaga a  f ko’paytmasining} ta’rifi sifatida qabul qilamiz,ya’ni ixtiyoriy  D(G) uchun
(af ,)  (a, f )
tenglik o’rinli bo’ladi.Ma’lumki ,ixtiyoriy a(x)C^ (G )uchun  a amal
D(G) sinfni D(G) sinfga akslantiribchiziqli va uzluksiz bo’ladi. Shuning uchun (7) tenglik bilan aniqlangan a(x) f (x) funksional D'(G) fazodagi umumlashgan funksiyani ifoda qiladi.
Bu (7) formula bilan aniqlangan ixtiyoriy a(x)C^ (G )funksiyaning f (x)D'(G) umumlashgan funksiyaga a(x) f (x)ko’paytirish amali D'(G) fazoni
D'(G) fazoga akslantiruvchi chiziqli va uzluksiz akslantirish bo’ladi,ya’ni ixtiyoriy f (x),g(x)D'(G)uchun
a( f  g)  (af )  (ag)
bo’lib, agar D'(G) fazoda k   da f_{k }x_  0 bo’lsa u holda D'(G) fazoda
k   da a(x) f_k (x) 0bo’ladi.
Bundan tashqari,
sup p(a(x) f (x))  sup p(a(x)) sup p( f (x))
munosabat o’rinlidir ,chunki O_af  O_a  O_f va
sup p(a(x) f (x))G \ O_af  G \ (O_a O_f ) 

G \ O_a  G \ (O_f )  sup p(a(x)) sup p( f (x))

bo’ladi.

Agar f (x)D'(G) bo’lsa, u holda

f  f (8)
Tenglik o’rinli bo’ladi, bunda  C^ (G )ixtiyoriy funksiya bo’lib, f (x) D(G ) umumlashgan funksiyaning tashuvchisiatrofida birga teng bo’ladi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy (x) D(G ) uchun f (x) va (x)funksiyalarning
tashuvchisi umummiy nuqtaga ega emas.Shuning uchun
( f ,(1))  0  ((1) f ,)
bo’ladi, bu esa (8) tenglikka teng kuchlidir.
Misollar:a) a(x)(x)  a(0)(x) tenglik o’rinlidir. Haqiqatan ham, ixtiyoriy
(x) D(G ) uchun
(a,)  (,a)  a(0)(0)  (a(0)(x),)
bo’ladi, ya’ni a(x)(x)  a(0)(x)tenglik o’rinlidir.

b)

_x ^

1
xP 1

tenglik o’rinlidir .Haqiqatan ham ,ixtiyoriy (x) D(G ) uchun

1 1
( , ) ( , ) ( ( ) \ ) ( ) (1, ( ))
R R

_x   _x    _   _  

bo’ladi, ya’ni xP ¹ 1

xP P x V p x x x dx x dx x



_x  tenglik o’rinlidir.
Savol tug’iladi: ixtiyoriy umumlashgan funksiyaning ko’paytmasini shunday
kiritish mumkinmi? bunda ko’paytma ham umumlashgan funksiya bo’lsin. Lokol integrallanuvchi funksiyalarning ko’paytmasi yana lokal integrallanuvchi

bo’lmasligi mumkin, masalan R¹ fazoda


₁ ²

 
 
^ _x ^₂ ^ _{ x} ^

1

funksiya lokal

integrallanuvchi bo’lmaydi. Bunda o’xshash holat umumlashgan funksiyalar uchun

hm o’rinli bo’ladi. L.Shvarts tomonidan ko’paytirishning assotsiativlik va
kommutativlik hossalari o’rinli bo’lgan bunday ko’paytmani aniqlash mumkin
emasligi ko’rsatilgan.
Haqiqatan ham, agarda bunday ko’paytma mavjud bo’lsa, u holda a) va b)
misollardan foydalanib
0 0P ¹ (x (x)P ¹ ( (x),x)P ¹ ( (x),(xP ¹ ,x) (x)

 _x   _x   _x   _x  
tenglikka ega bo’lar edik.Bu qarama –qarshilik bunday ko’paytmani aniqlash mumkin emasligini ko’rsatadi.
f umumlashgan funksiya va g umumlashgan funksiyani ko’paytmasini aniqlash uchun ixtiyoriy nuqtaning atrofida f umumlashgan funksiya va qanchalik “regulyar”bo’lmasa u holda g umumlashgan funksiya shu nuqtaning atrofida shunchalik “regulyar” bo’lishligi kerak bo’ladi va aksincha.
Masalan, agar a  b bo’lsa , u holda (x  a)(x b)  0 bo’ladi deb, agar a(x) funksiya 0 nuqta atrofida uzluksiz bo’lsa, u holda a(x)(x)  a(0)(x)
bo’ladi deb hisoblash tabiiydir.