Fibonachchi sonlari

k=0 k=0
uchun, darajali qatorlarni hadlab qo'shib (ayirib),
f(x) = £ (a_k ± b_k)x^k= £ a_kx^k ± £ b_kx^k= f_a(x) ± f_b(x)
k=0 k=0 k=0
munosabatni hosil qilamiz. ■
2-xossa. Agar a₀, a_va₂,...,a_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f_a(x) va b₀,b_vb₂,..., b_n,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi
funksiyasi f.(x) bo'lsa, иholda elementlari "« ⁼ ^^flA-i
!=0
(n=0,l,2,...) sonlardan iborat bo'lgan d₀,d_v,d₂,...,d_n,... ketma-ket­likning hosil qiluvchi funksiyasi f(x)=f_a(x)f_b(x) bo'ladi.
Haqiqatan ham, ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi ta'rifiga ko'ra,

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini awal-dan ma'lum bo'lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin. Bu masalani yechish jarayonida Fibonachchi dastlabki yilning har bir oyi uchun quyonlar juftlari sonini aniqlagan. Bu sonlar 1-jadvalda keltirilgan. «Liber abaci»dan bu masala yechimi bayoni-ning so'nggi satrlarini keltiramiz: «...Oxirgi oyda tug'ilgan yangi 144 juft quyonlar qo'shiha 377 juft quyon hosil bo'ladi. Shuncha juft quyon bir yil davomida bir juft quyondan ko'payar ekan».Quyonlar haqidagi masalada uchragan sonlar Fibonachchi qatorining dastlabki sonlari ekanligi yaqqol ko'rinib turibdi.

Fibonachchining o'zi Fibonachchi qatorining xossalarini o'rganish bilan shug'ullanmagan deb hisoblashadi (har ehtimolga qarshi, bizgacha yetib kelgan bunday izlanishlar haqida ma'lu-motlar yo'qligini ta'kidlaymiz). XIX asr boshlarida Fibonachchi qatorining turli xossalariga bag'ishlangan ilmiy ishlar soni «Fibonachchi quyonlari sonidek o'sgan».
Eduard Lyuka ixtiyoriy u_xva u₂sonlardan boshlanuvchi hamda ^u_n^=un~i^+un-2 (ⁿ-3) rekurrent tenglik bilan aniqlanuvchi sonlar qatorini umumlashgan Fibonachchi qatori, deb nomlagan.


Hosil qiluvchi funksiyalarning ta'rifl.

Hosil qiluvchi fanksiyalarning ta'rifi uchun zarur bo'lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo'lsin: