Fizika fakulteti nazariy fizika va kvant elektronikasi

 
Majburiy tebranish. Rezonans. 
 
Sistemaga tashqi davriy o’zgaruvchi  
                                                        
t
F
F
ω
cos
0
=
                                             (1)        
kuch ta’siri ostida bo’lsin. U holda harakat tenglamasi  
                                       
  
t
F
kx
x
x
m
ω
β
cos
0
=
+
+ 


                              (2) 
ko’rinishga ega bo’ladi. Erkin tebranish chastotasi 
m
k
=
2
0
ω
  ni  kiritsak, (2) ni qayta 
quydagicha yoza olamiz: 
                                                  
t
F
x
x
m
x
ω
ω
β
cos
0
2
0
=
+
+



                                (3) 
Bu tenglamani integrallashda chiziqli differensial tenglamalar nazaryasidagi 
quydagicha teoremadan foydalanamiz: Agar 
)
(t
g
  bir jinsli bo’lmagan (3) 
tenglamaning xususiy yechimi, 
)
,
,
(
B
A
t
f
 
                                                 
0
0
=
+
+
x
x
m
x
ω
β



                                            (4) 
Bir jinsli tenglamaning yechimi bo’lsa,  
                                          
)
,
,
(
)
(
B
A
t
f
t
g
+
 
yig’indi bir jinsli bo’lmagan tenglama integrali hisoblanadi. 
       O’tgan temada (4) tenglamaning yechimini topgan edik: 








−
+
−
=
−
t
m
m
k
B
t
m
m
k
A
e
B
A
t
f
t
m
2
2
2
2
2
4
sin
4
cos
)
,
,
(
β
β
β
 
        (5) 
Sistemaga ta’sir etuvchi kuch 
ω
  chastotalik davriy funksiya bo’lgani uchun  
)
(t
g
 
xususiy yechim ham 
ω
  chastota bilan tebranuvchi davriy bo’lmog’i zarur. (3) 
tenglamaga 
x
  va 
x

  hosilalar kiritilgani uchun  
)
(t
g
  yechimni birgina sinus yoki 
birgina kosinus  funksiyali yechim bo’la olmaydi. Shu sababli 
)
(t
g
  yechimni 
quydagicha tanlab olamiz: 
                                                  
t
q
t
t
x
t
g
ω
ω
ρ
sin
cos
)
(
)
(
+
=
=
                       (6) 
bundan  
                                                 
[
]
t
q
t
t
x
ω
ω
ρ
ω
cos
sin
)
(
−
−
=

 
                                                  
[
]
t
q
t
t
x
ω
ω
ρ
ω
sin
cos
)
(
2
+
−
=


                          (7) 
(7) ni (3) ga quyamiz: 
[
]
[
]
[
]
t
m
F
t
q
t
t
q
t
m
t
q
t
ω
ω
ω
ρ
ω
ω
ω
ρ
ω
β
ω
ω
ρ
ω
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
0
2
2
=
+
+
−
−
+
−
 
t
ω
cos
 va 
t
ω
sin
 funksiyalar oldidagi koeffisentlarni alohida-alohida yozamiz: 

m
F
p
q
m
0
2
0
2
=
+
+
ω
ω
β
ρω
 
yoki  
                                     
0
2
0
2
=
+
−
−
ω
ω
β
ω
q
p
m
q
                                              (8) 
                                     
m
F
q
m
p
0
2
2
0
)
(
=
+
−
ω
β
ω
ω
                    
                                    
0
)
(
2
2
0
=
−
+
−
q
m
p
ω
ω
ω
β
                                            (9) 
(9) dan q ni topamiz: 
                                        
ρ
ω
ω
ω
β
2
2
0
−
=
m
q
                                                       (10) 
va (8)ga quyamiz: 
                                      
[
]
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
0
)
(
ω
β
ω
ω
ω
ω
+
−
−
=
m
mF
p
                                         (11) 
(11) dan foydalanib, (10) ni qayta yozamiz : 
                                                     
2
2
2
2
2
0
2
0
)
(
ω
β
ω
ω
βω
+
−
=
m
F
q
 
Agar (6) da quydagicha almashtirish  
                                               
,
cos
ϕ
a
p
=
                 
ϕ
sin
a
q
=
 
kiritsak, (6) ni qayta yozishimiz mumkin: 
                                                         
)
cos(
)
(
ϕ
ω
−
=
t
a
t
g
   
Bu yerda  
                                       
)
(
2
2
0
ω
ω
βω
ϕ
−
=
=
m
arctg
m
q
arctg
                                  (12) 
                                     
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
)
(
ω
β
ω
ω
+
−
=
+
=
m
F
q
p
a
                 (13) 
Bundan bir jinsli bo’lmagan (2) tenglama yechim quydagicha ko’rinishga yega 
bo’ladi: 
    
)
cos(
)
(
)
4
cos(
)
(
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
ϕ
ω
ω
β
ω
ω
γ
β
ω
β
−
+
−
+
−
−
=
−
t
m
F
t
m
Ce
t
x
t
m
       (14) 
Yechimning birinchi hadi so’nuvchi davriy tebranishni ikkinchi hadi 
ω
 chastotalik 
stasionar tebranishlarni ifodalaydi. 
         Stasionar holatga to’g’ri keluchi xususiy yechim vektorli diagrammadan 
foydalanib oson topish mumkin. Bunig uchun tashqi davriy kuchni   
t
i
e
F
F
ω
0
=
 
ko’rinishda yozib, yechimni  
                                                      
)
(
ϕ
ω
−
=
t
i
ae
x
     
tariqasida axtaramiz. U holda (2) tenglama  
                                                      
m
F
x
x
m
x
0
2
0
=
+
+
ω
β


 

uning yechimi  
                                                     
t
i
t
i
e
m
F
e
i
m
a
ω
ϕ
ω
ω
ω
β
ω
0
2
0
2
)
(
=
+
+
−
−
                 (15) 
ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan ko’rinadiki 
ϕ
  majburiy tebranuvchi kuch va 
majburiy tebranish o’rtasidagi fazalar farqi hasoblanadi.(15) ni yoza olamiz: 
                                      
ϕ
βω
ω
ω
i
e
m
F
m
i
a
0
2
2
0
)
(
=




+
−
                                     (16) 
Bu tenglamaning nominal qo’shimchasi quydagicha bo’ladi: 
                                     
ϕ
βω
ω
ω
i
e
m
F
m
i
a
−
=




−
−
0
2
2
0
)
(
                              (17) 
(16) va (17) larning chap tomonlarini va o’ng tomonlarini mos ravishda o’zaro 
ko’paytirib olamiz. 
                                                 
2
2
2
2
2
0
2
0
)
(
ω
β
ω
ω
+
−
=
m
F
a
           
Diagrammadan  
                                               
)
(
2
2
0
2
2
0
ω
ω
βω
ω
ω
βω
ϕ
−
=
−
=
m
m
tg
                          (18) 
Shunday qilib ko’ramizki, (13) da ampilituda ham, (18) da faza ham 
2
2
0
ω
ω −
 
ayirmaga bog’liq bo’lar ekan. Juda sekin tebranishlar, ya’ni 
0
ω
ω ≤
  uchun 
0
→

ϕ
tg
  demak  
0
=
ϕ
  juda tez tebranishlar 
)
(
0
ω
ω =
  uchun 
0



→

n
manfittomo
tg
ϕ
 
demak  
π
ϕ
=
 chastotalar o’zaro teng 
)
(
0
ω
ω =
 bo’lganda 
2
π
ϕ =
 bo’ladi.  
  Agar majburiy tebranish chastotasi so’nmovchi tebranishning xususiy 
chastotasiga teng bo’lsa 
ω
ω =
0
 rezonans hodisasi paydo  bo’ladi. So’nish tamoman 
mavjud bo’lmaganda 
)
0
(
=
β
edi rezonans paytida ampilituda cheksiz katta 
qiymatga ega bo’lar edi. Bu holat rezonans harakati deyiladi. Ishqalanish mavjud 
bo’lganda ampilitudaning maksimal qiymati (
)
(
0
ω
ω =
bo’lganda ) 
0
0
max
βω
F
a
=
 
Bundan  
                                             
     
max
0
0
a
F
βω
=
                                              (19) 
U holda  (13) ni kvadratga ko’tarib, (19) dan foydalanamiz: 
     
       
max
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
2
2
max
2
0
2
2
)
(
)
(
)
(
a
m
m
a
a
ω
ω
β
ω
ω
ω
β
ω
β
ω
ω
ω
β
+
−
=
+
−
=
           (20) 
Rezonans yaqinida 
x
=
−
0
ω
ω
 almashtirish o’tkazsak va  
                   
x
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
2
)
)(
(
)
(
,
2
,
1
0
0
2
2
0
0
0
−
=
−
+
=
−
=
+
=
 

Ekanligini hisobga olsak, (20) quydagicha yoziladi:  
                         
 
2
2
2
2
2
max
4
β
β
+
=
x
m
a
a
                                                          (21) 
Bu yerda 
2
1
2
max
2
=
a
a
   bo’lganda 
2
1
4
2
2
2
2
=
+
β
β
x
m
    yoki  
m
x
2
β
=
    bo’ldi, ya’ni  
                                             
0
0
2
1
2
2
2
ω
π
ω
π
β
β
ω
ω
Λ
=
=
=
−
T
m
T
T
m
 
Bundan  
                                              
  
π
ω
ω
ω
2
0
0
Λ
=
−
                                                 (22) 
Shunday qilib quydagi natijalarga ega bo’lamiz: majburiy tebranishda ampilituda 
kvadratining o’zgarishi maksimal qiymatining yarmiga teng bo’ladigan nuqtada 
chastota va xususiy chastota o’rtasidagi ayirmaning xususiy chastotaga nisbati 
logarifmik dikrimentning 
π
2
ga nisbatiga teng bo’ladi. 
       Sistemada majburiy kuch ta’siri ostida hosil bo’luvchi stasionar tebranish 
paytida uning energiyasi o’zgarmaydi. Chunki sistema tomonidan tashqi kuch 
manbaidan uzluksiz yuritib turadigan energiya o’zgarmaydi. Chunki sistema 
tomonidan tashqi kuch manbaidan uzluksiz yutulib turadigan energiya 
ishqalanishini yengishga sarf bo’ladi. Agar vaqt birligi ichida sistema tomonidan 
yuritiladigan energiyani 
)
(
ω
I
 desak, u  
                                                     
φ
ω
2
)
(
=
I
 
Formula  bilan  aniqlanadi.  Bu  yerda 
φ
-  tebranish  davri  bo’yicha  o’rtachlangan 
dispersiya  funksiyasi.  Bu funksiya bir o’lchamli harakat uchun quydagicha 
aniqlanadi: 
                                                         
2
x
m
β
φ
=
 
Agar tebranish  
                                                       
)
cos(
ϕ
ω
−
=
t
a
x
 
qonun bilan o’zgaradi desak, 
                                                     
)
sin(
ϕ
ω
ω
−
=
t
a
x
 
bo’ladi. Agar 
)
(
sin
2
ϕ
ω −
t
funksiya o’rtacha qiymatining 
2
1
 teng ekanligini hisobga 
olsak  
                                                     
2
2
)
(
ω
β
ω
ma
I
=
 
bo’ladi. Rezonans yaqinida  
                                                 
2
2
2
0
2
2
0
4
)
(
λ
λ
ω
β
+
=
=
x
m
F
a
m
x
I
                           (23) 
bu yerda  
                                                
0
,
2
ω
ω
β
λ
−
=
=
x
m
 
Energiyaning sistema tomondan yutilishini ifodalovchi  (23)  bog’lanish dispersiya 
qonuni deyiladi.  

    Rezanons egrilikning yarim kengligi deb 
x
  ning shunday qiymati aytiladiki, 
)
(x
I
ning o’zining 
0
=
x
 nuqtadagi qiymatiga nisbatan ikki marta kamayadi. 
    (23) dan ko’ramizki 
2
1
)
0
(
)
(
=
I
x
I
  qiymati 
λ
±
=
x
  nuqtalarga mos keladi. 
λ
1
~
)
0
(
I
 
bo’lganidan 
λ
  qancha kichik bo’lsa, rezonans egrilik shuncha keskin va baland  
bo’lladi. Lekin egrilik o’rab olgan yuza o’zgarmas qoladi. Haqiqatdan,  
 
                                       
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
=
+
=
m
k
x
dx
m
F
dx
x
I
4
4
)
(
2
0
2
2
0
π
λ
λ
  
 
bu yerda  
                                                          
∫
∞
∞
−
=
+
λ
π
λ
2
x
dx
 
ekanligini hisobga oldik. 
 
 
Nazorat savollari 
1.  Barqaror (turg’un) muvozanat holati deganda nimani tushunasiz 
2.  Erkin tebranishlar tenglamasini yozing. 
3.  Kichik tebranishlarda to’la energiya nimaga teng ? 
4.  So’nuvchi tebranishlarda kuch qanday bo’ladi ? 
5.  Davriy tebranishlarda amplitude nimaga teng ? 
6.  Majburiy tebranishni tushuntiring 
7.  Rezonans  nima?  
 

16-ma’ruza: KO’P ERKINLIK DARAJASIGA EGA BO’LGAN  
 SISTEMADA  TEBRANISHLAR 
 
REJA 
  Bunday sistema uchun Lagranj funksiyasi. 
  Harakat tenglamasi va uning yechimi. 
  Normal koordinatalar. 
 
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Sistemaning erkinlik darajasi soni, sistema potensial energiyasi, 
sistema kinetik energiyasi, sistema Lagranj funksiyasi, Lagranj tenglamasi. 
 
 
Sistemaning erkinlik darajasi soni 
S
-ga teng b
o’lsin. Bunday sistemaning 
erkin tebranishlari nazariyasi bir 
o’lchami tebranishlar nazariyasiga  o’xshash 
b
o’ladi. 
 
Agar sistema potensial energiyasi 
(
)
S
i
q
q
i
i
,...,
2
,
1
0
=
=
  nuqtasida minimumga 
ega b
o’lsa, 
0
i
i
i
q
q
x
−
=
  kichik siljish kiritib, oldin k
o’rganimizdek, potensial 
energiyani katorga yoyish asosida yozishimiz mumkin: 
∑
=
k
i
ik
x
x
k
U
2
1
 
Bu yerda koeffisiyent 
k
 indekslar b
o’yicha simmetrik bo’ladi: 
ki
ik
k
k
=
 
Shu asosda kinetik energiyani ham 
∑
=
k
i
ik
x
x
m
T


2
1
 
K
o’rinishda yozib, Lagranj funksiyasini 
(
)
∑
−
=
k
i
ik
k
i
ik
x
x
k
x
x
m
L


2
1
   
 
 
(1) 
deb yoza olamiz. 
 
Harakat tenglamasi va uning yechimi 
 
 
Lagranj funksiyaning t
o’liq differensialini yozamiz: 
(
)
∑
−
−
+
=
i
k
ik
k
i
ik
i
k
ik
k
i
ik
dx
x
k
dx
x
k
x
d
x
m
x
d
x
m
dL




2
1
 
k
i
→
 almashtirish  
o’tkazsak 
(
)
∑
−
=
i
k
ik
i
k
ik
dx
x
k
x
d
x
m
dL


 
Bundan 
∑
∑
−
=
∂
∂
=
∂
∂
k
ik
i
k
ik
i
x
k
x
L
x
m
x
L



,
 
Lagranj tenglamasi esa 
∑
∑
=
+
0
k
ik
k
ik
x
k
x
m 

  
 
 
 
 
(2) 
kabi yoziladi. Bu 
S
-ta chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini 
olamiz. Ularning  umumiy yechimi 

t
i
k
k
e
A
x
ω
=
 
tariqasida axtaramiz. U holda (2) 
o’rnida  
(
)
∑
=
+
−
0
2
k
ik
ik
A
k
m
ω
 
 
 
 
 
(3) 
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bu sistemaning noldan farqli 
yechimi 
ik
ik
m
k
2
ω
−
 
determinantning nolga tengligi bilan aniqlanadi: 
0
2
=
−
ik
ik
m
k
ω
 
 
 
 
 
(4) 
Bu  determinantni ochib chiqsak, 
2
ω
-ga nisbatan 
S
-chi darajadagi tenglamani 
olamiz. U esa 
(
)
S
,...,
2
,
1
2
=
α
ω
α
  haqiqiy ildizlarga ega b
o’ladi. Shu yul bilan 
aniqlangan 
α
ω
  kattaliklar sistemasining xususiy chastotalari deyiladi. Topilgan 
ildizlarni (3) tenglamaga q
o’yib, har bir 
α
ω
-ga mos keluvchi 
α
A
  koeffisiyentlarni 
topamiz. Agar barcha ildizlar bir-biridan farq qiluvchi b
o’lsa, 
α
A
  ildizlar (4) 
aniqlovchining minorlariga proporsional b
o’ladi va bu minorda 
α
ω
ω,
  ildizlarga 
almashtirilgan b
o’ladi. 
 
U holda  yechim 
t
i
k
k
e
C
x
α
ω
α
α
∆
=
 
bu yerda  
α
C
-ixtiyoriy koeffisiyent, 
α
k
∆
- (5) ning minori. Umumiy  yechim  
∑ ∆
≡



 ∑∆
=
=
α
α
α
α
ω
α
α
θ
α
k
S
t
i
k
k
e
C
x
1
Re
   
 
(5) 
bu yerda  
{
}
t
i
e
C
α
ω
α
α
θ
Re
=
 
Shunday qilib, sistema koordinatalari har birining vaqt b
o’yicha o’zgarishi ixtiyoriy 
amplitudali va fazali, aniq chastotaga ega b
o’lgan 
S
-ta oddiy davriy tebranishlar 
S
θ
θ
θ
,...,
,
2
1
lar t
o’plamidan iborat bo’ladi.