Fizika matematika fakulteti matematika kafedrasi

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz dеyilаdi vа Dy=0 kabi yozilаdi. x=x<sub>0</sub>+Dx, Dx=x-x<sub>0</sub>, Dy=f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>), Dy=f(x)-f(x<sub>0</sub>)
Dy= (f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x<sub>0</sub>+x-х<sub>0</sub>)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x)-f(x<sub>0</sub>))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+Dy=2(x+Dx)+1, ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx
Dy= 2Dx =0
2) y=x³
y+Dy=(x+Dx)³
Dy=x³+3x²Dx+3x(Dx)²+Dx³ Dy=x³+3x²Dx+3xDx²+Dx³-x³
Dy=Dx(3x²+3xDx+Dx²)
Dy= (3x²+3xDx+Dx²)Dx=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning "x₀ÎR nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. "x₀ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x₀+Dx)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -p<Dx<p bo`lganda
|Dy| = |cos(x₀+Dx) - cosx₀|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) lar mavjud, lekin f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x<sub>0</sub> nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x<sub>0</sub> nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)¹f(x<sub>0</sub>) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x<sub>0</sub>=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.
Yechish. Demak,  [x]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.

Xulosa

Kurs ishida sonli ketma-ketlik chegarasining ketma-ketligi, ta'riflari, turlari, asosiy ta'riflari, ketma-ketlik chegarasining asosiy tushunchalari haqida umumiy ma'lumotlar berilgan, ketma-ketlik chegaralarining asosiy xossalari aks ettirilgan, bularning amaliy qo'llanilishi. xossalari, va ketma-ketlikning chegarasi, shuningdek, ular bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar iqtisodiyot, fizika va geometriyada ancha keng amaliy qo'llanilishini ko'rsatadi.
Chegara nazariyasini yaratishda I.Nyuton, G.Leybnits, J.Dalamber, L.Eyler qatnashdilar. Limitning zamonaviy nazariyasi chegaraning O. Koshi tomonidan berilgan qat’iy ta’rifiga asoslanadi va 19-asr matematiklari K.Veyershtras va B.Bolzanoning ishlari bilan sezilarli darajada ilgari surildi.