Fizika matematika fakulteti
Boshlang'ich tushunchalar
Download 0.93 Mb. Pdf ko'rish
|
2 5224263026168826472
- Bu sahifa navigatsiya:
- Maydonning qoshimchasi va multiplikativ guruhi
- Subfields va asosiy maydonlar
|
Boshlang'ich tushunchalar
Ushbu
bo'limda F ixtiyoriy maydonni bildiradi va a va b F ning ixtiyoriy elementlari hisoblanadi . Ta'rifning natijalari Ularda a · 0 = 0 va - a = (-1) · a mavjud . Xususan, bir kishi bilishi bilanoq har bir elementga teskari qo'shimchani chiqarishi mumkin - 1 . [9]
– 1
–1 ( ab ) = a –1 -0 = 0 bo'ladi . Bu shuni anglatadiki, har bir soha ajralmas domen hisoblanadi . Bundan tashqari, quyidagi xususiyatlar har qanday a va b elementlari uchun amal qiladi : -0 = 0
1 -1 = 1 (- (- a )) = a ( a –1 )
−1 = a (- a ) · b = a · (- b ) = - ( a · b )
[ tahrirlash ] F maydonining aksiomalari uning abel guruhi ekanligini qo'shimcha qiladi. Ushbu guruh maydonning qo'shimchalar guruhi
deb nomlanadi va ba'zan shunchaki F chalkashtirib yuborishi mumkinligi sababli uni ( F , +) bilan belgilaydi . Xuddi shunday, F ning nolga teng bo'lmagan elementlari ko'paytma ostida abeliya guruhini hosil qiladi, ko'paytirish guruhi deb nomlanadi va ( F \ {0}, ·) yoki shunchaki F \ {0 } yoki F * bilan belgilanadi .
Shunday qilib, maydon qo'shimcha sifatida ko'rsatilgan ikkita operatsiya va ko'paytma bilan jihozlangan F to'plami sifatida aniqlanishi mumkin , chunki F - qo'shilish ostida abeliya guruhi, F \ {0 } - ko'paytiriladigan abeliya guruhi (bu erda 0 - identifikatsiya elementi ko'paytma), va ko'paytma qo'shimcha ustiga taqsimlovchi hisoblanadi . [nb
2] Shuning uchun dalalar haqidagi ba'zi bir oddiy bayonotlarni guruhlarning umumiy
dalillarini qo'llash orqali olish mumkin . Masalan, qo'shimchalar va ko'paytma teskari tomonlari - a va a- 1 noyob tarzda a bilan aniqlanadi . 1 ≠ 0 talabidan kelib chiqadi, chunki 1 - bu 0 ga ega bo'lmagan guruhning identifikatsiya elementi. [10] Shunday qilib, bitta elementdan iborat ahamiyatsiz halqa
maydon emas. Maydonning multiplikativ guruhining har bir cheklangan kichik guruhi tsiklikdir .
Xarakterli Ikki elementlar ko'paytirish tashqari F , u mahsulot aniqlash mumkin n ⋅ bir tasodifiy element ning A ning F ijobiy tomonidan to'la-son
⋅⋅⋅ + a (bu F elementidir). Agar shunday musbat tamsayı bo'lmasa
u holda F 0 xarakteristikaga ega
deyiladi. [11]
Masalan, Q ratsional sonlar
maydoni 0 xarakteristikaga ega, chunki n ning musbat tamsayılari nolga teng emas. Bor bo'lsa Aks holda, bo'lib musbat butun n , bu tenglama qondirish, eng kichik bunday musbat butun bir bo'lishi ko'rsatilgan bo'lishi mumkin , bosh soni . Odatda bilan
belgilanadi p va dala
xususiyati bor,
deyiladi p keyin. Misol uchun,
maydon F 4 yildan buyon (yuqorida Kiritilgan jadval namoyish bilan) xususiyati 2 bor , men + i = Ö . Agar F xususiyati bor p , keyin p ⋅ bir = 0 , barcha uchun A yilda F . Bu shuni anglatadiki ( a + b )
= a p + b p ,
chunki binomial formulada paydo bo'lgan barcha boshqa binomial koeffitsientlar
: = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( p faktorlar) - bu p - kuch, ya'ni a elementning p - katlama hosilasi . Shuning uchun, Frobenius xaritasi
Fr: F → F , x ⟼ x p
qo'shilishi bilan mos keladi F (va shuningdek, ko'paytma bilan) va shuning uchun maydon homomorfizmi. [12] Ushbu
gomomorfizm mavjudligi p xarakterdagi maydonlarni 0 xarakterli maydonlardan ancha farq qiladi. Subfields va asosiy maydonlar A
E maydon F bir kichik majmui bo'lgan F dala operatsiyalari nisbatan bir maydon bo'ladi F . Ekvivalentsiyali E - bu 1 ni o'z ichiga olgan va nolga teng bo'lmagan elementni qo'shish, ko'paytirish, qo'shish teskari va multiplikativ teskari
ostida yopilgan F ning kichik to'plami . Bu chora 1 ε E , barcha uchun A , B ε E ikkala bir + b va a · b mavjud E , va bu hamma uchun bir ≠ 0 ichidaE , har ikki - bir va 1 / a mavjud E . Dala homomorfizm xaritalar bor f : E → F ikki sohalarda o'rtasida shunday f ( e 1 + e 2 ) = f ( e 1 ) + f ( e 2 ) , f ( e 1
2 ) = f ( e 1 ) f ( e 2 ) , va f (1 E ) =
1 F , bu erda e 1 vae 2 o'zboshimchalik elementlardir E . Barcha dala
homomorfizmlari in'ektsiondir . [13]
Agar f ham sur'ektiv bo'lsa , u izomorfizm deb ataladi (yoki E va F maydonlariizomorf deyiladi). Agar tegishli (ya'ni, kichikroq) pastki maydonlar bo'lmasa, maydon asosiy maydon deb ataladi . Har qanday F maydoni asosiy maydonni o'z ichiga oladi. Xos bo'lsa F bo'lgan p (a bosh soni), bosh maydon cheklangan maydon izomorf bo'lgan F p quyida taqdim etdi. Aks holda asosiy maydon Q uchun izomorfdir . Sonli maydonlar Sonli maydonlar ( Galois maydonlari deb ham ataladi ) bu sonli elementlarga ega bo'lgan maydonlar bo'lib, ularning soni maydon tartibi deb ham yuritiladi. Yuqoridagi kirish misol F 4 to'rtta elementdan iborat maydon. Uning kichik novdasidir F 2 ta'rifi
bilan bir maydon kamida ikki alohida elementlari bor, chunki, eng kichik maydon 1 ≠ 0 . Oddiy sonli maydonlarga, asosiy tartibda, modulli arifmetik yordamida to'g'ridan- to'g'ri kirish
mumkin . Belgilangan musbat n soni uchun "modul n " arifmetikasi raqamlar bilan ishlashni anglatadi Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}. Ushbu
to'plamga qo'shish va ko'paytirish amaldagi amallarni butun sonlarning Z to'plamida bajarish, n ga bo'lish va natijada qoldiqni olish orqali amalga oshiriladi. Ushbu qurilish maydonni aniq beradi, agar n oddiy son bo'lsa . Masalan, asosiy n = 2 ni olish yuqorida aytib o'tilgan F 2 maydoniga olib keladi . Uchun n = 4 va yana umuman, har qanday uchun murakkab soni (ya'ni, har qanday raqam n mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin n = r ⋅ s ikki qat'iy kichik tabiiy sonlar), Z/ n Z maydon emas: Z / n Z da r the s = 0 bo'lganligi sababli nolga teng bo'lmagan ikkita
elementning hosilasi nolga teng ,
bu yuqorida
aytib o'tilganidek , Z / n Z ning maydon bo'lishiga to'sqinlik qiladi . Shu tarzda qurilgan p elementlari ( p asosiy bo'lgan) bo'lgan Z / p Z maydon odatda F p bilan belgilanadi . Har cheklangan maydon F ega q = p
qaerda, elementlar p bosh va n ≥ 1 . Ushbu bayonot, chunki F o'zining asosiy maydonidagi vektor maydoni sifatida qaralishi mumkin . Kattalik ,
bu vektor
makon deb,
cheklangan majburiy hisoblanadi n ta'kidlagan bayonot ko'zda tutuvchi. [15]
Bilan bir maydon q = p n elementlar sifatida qurilgan bo'lishi mumkin kuchli sohasida
ko'phadning f ( x ) = x q - x . Bunday kuchli
maydon bir
kengaytmasi F p ko'phad bo'lgan f ega q nol. Bu chora f buyon imkon qadar ko'p nol ega darajasi bo'yicha f hisoblanadi q . Uchun Q = 2 2
holatda tekshirish mumkin F 4 tenglama qondirish x 4 = x , ular nol bo'ladi, shuning uchun f . Aksincha, F 2 da f faqat ikkita nolga ega (ya'ni 0 va 1), shuning uchunf bu
kichik sohada chiziqli omillarga bo'linmaydi. Asosiy dala-nazariy tushunchalarni batafsil ishlab chiqib, bir xil tartibli ikkita cheklangan maydon izomorf ekanligini ko'rsatishi mumkin. [16] Bu gapirish shunday odat bo'lganbilan cheklangan maydon q tomonidan belgilanadi elementlar, F Q yoki GF ( Q ) . Tarixiy jihatdan uchta algebraik fan sohani kontseptsiyasiga olib keldi: polinomial tenglamalarni echish, algebraik sonlar nazariyasi va
algebraik geometriya .
[17] A
tomonidan 1770 yilda qabul qilingan bir maydon tushunchasiga tomon birinchi qadam
Yusuf-Louis Lagrange , nol permuting kuzatildi kim x 1 , x 2 , x 3 bir
kub ko'phadning ifodasi ( x 1 + ω x 2 + ω
2 x 3 ) 3
( birlikning uchinchi ildizi bo'lgan ω bilan ) faqat ikkita qiymat hosil bo'ladi. Shu tarzda, Lagranj noma'lum x uchun kub tenglamani x 3 ga kvadrat tenglamaga kamaytirish yo'li
bilan davom
etadigan Skipion
del Ferro
va Fransua Vietning klassik echim
usulini kontseptual ravishda tushuntirdi . [18] 4-darajali tenglamalarni xuddi shunday kuzatish bilan birga Lagranj natijada maydonlar tushunchasi va guruhlar tushunchasiga aylangan narsani bog'ladi. [19]
Vandermonde , shuningdek 1770 yilda va to'liqroq Karl Fridrix Gauss
o'zining " Diskvizitsiya Arithmeticae" asarida (1801), tenglamani o'rgangan x p = 1
asosiy p uchun va yana zamonaviy tildan foydalanib, natijada Galois guruhining tsikli paydo bo'ldi . Gauss , p = 2 2 k + 1 bo'lsa , muntazam p -gonni qurish mumkin degan xulosaga keldi . Lagranj ishiga asoslanib, Paolo Ruffini (1799)
kvintik tenglamalarni (5-darajali polinom tenglamalari) algebraik usul bilan echib bo'lmaydi, deb da'vo qildi; ammo, uning dalillari noto'g'ri edi. Ushbu bo'shliqlarni 1824 yilda Nils Henrik Abel to'ldirdi. [20]
Évariste Galois , 1832 yilda polinom tenglamasining algebraik tarzda echilishi uchun zarur va etarli mezonlarni ishlab chiqdi va shu bilan bugungi kunda Galua nazariyasi deb ataladigan narsani o'rnatdi . Hobil ham, Galua ham bugungi kunda algebraik sonlar maydoni deb ataladigan narsalar bilan ishladilar , lekin na maydon, na guruh haqida aniq tushunchalarni tasavvur qildilar.
1871 yilda Richard Dedekind to'rtta arifmetik amallar ostida yopiq bo'lgan haqiqiy yoki murakkab sonlar to'plamiga nemischa
"tan" yoki "korpus" degan ma'noni anglatuvchi Körper so'zini (organik ravishda yopiq mavjudlikni taklif qilish uchun) kiritdi. Inglizcha "maydon" atamasi Mur
tomonidan kiritilgan (1893)
. [21]
Maydon deganda biz o'zimizga shunchalik yopiq bo'lgan va har qanday ikkala sonni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'linish yana bir qator tizimni hosil qilishini ta'minlaydigan har qanday cheksiz haqiqiy yoki murakkab sonlar tizimini nazarda tutamiz. - Richard Dedekind, 1871 yil [22]
Leopold Kronecker u deb
atagan belgilangan rasyonalitenin domen bir maydon
bo'lib, ulardan
oqilona kasrlar
zamonaviy nuqtai
nazaridan. Kronecker tushunchasi barcha algebraik sonlar maydonini qamrab olmagan (bu Dedekindning ma'nosidagi maydon), lekin boshqa tomondan Dedekindnikidan ko'ra mavhumroq bo'lgan, chunki u maydon elementlarining tabiati to'g'risida aniq taxmin qilmagan. Kroneker Q (π) kabi maydonni mavhum ravishda Q ( X ) ratsional funktsiya maydoni sifatida talqin qildi . Bundan oldin, transandantal raqamlarning namunalari Jozef Liovilning 1844 yilda ishlaganidan, Charlz Hermitga (1873) qadar ma'lum bo'lgan va Ferdinand fon Lindemann (1882) o'z navbatida e va π ning transsendentsiyasini isbotladi . [23]
maydonning birinchi aniq ta'rifi
Weber (1893)
bilan bog'liq
. [24]
Xususan, Geynrix
Martin Weber
tushunchasiga F p maydon
kiradi . Juzeppe Veronese (1891) Hensel (1904) ning p -adik sonlar maydonini joriy etishiga olib kelgan rasmiy kuchlar qatori sohasini o'rgangan . Shtaynits (1910) shu
paytgacha to'plangan mavhum maydon nazariyasi haqidagi bilimlarni sintez qildi. U maydonlarning xususiyatlarini aksiomatik ravishda o'rganib chiqdi va ko'plab muhim dala-nazariy tushunchalarni belgilab berdi.
Galois nazariyasi , Qurilish maydonlari va bo'limlarida aytib o'tilgan teoremalarning aksariyati Elementar tushunchalarni Shtaynitsning ishlarida uchratish mumkin.
Artin va
Shrayer (1927) sohadagi buyurtmalar tushunchasini va shu tariqa tahlil sohasini sof algebraik
xususiyatlar bilan bog'lagan . [25]
Emil Artin Galois nazariyasini 1928 yildan 1942 yilgacha qayta ishlab, ibtidoiy element teoremasiga bog'liqlikni yo'q qildi . Download 0.93 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|