Fizika matematika fakulteti

Raqamli maydon asoslari 

Butun asos  

N darajali F sonli maydonning butun asosi  bu to'plamdir 

B = { b 

1

 , ..., b 

n

 } 

ning n maydon  butun  sonlari  halqasida  elementlarini F shunday  butun  sonlari 

halqasida 

har 

qanday 

element O 

F

 sohasida F noyob 

bir 

tarzda 

yoziladigan Z elementlarini 

-linear 

kombinatsiyasi B ; ya'ni O 

F

 dan har 

qanday x uchun noyob parchalanish mavjud 

x = m 

1 

b 

1

 +… + m 

n

 b 

n

 , 

bu  erda m 

i

  oddiy  tamsayılar. Bunda F  ning har  qanday  elementi quyidagicha 

yozilishi mumkin 

m 

1 

b 

1

 + ... + m 

n

 b 

n

 , 

bu 

erda m 

i

  ratsional 

sonlar. Shundan 

so'ng, F ning tamsayı 

elementlari, bularning  barchasi m 

i

 butun  sonlar bo'lgan  elementlar  ekanligi  bilan 

ajralib turadi . 

Lokalizatsiya va Frobenius  endomorfizmi kabi  vositalardan  foydalanib ,  har 

qanday  raqamlar  maydoni  uchun  shunday  asos  yaratilishi  mumkin. Uning 

konstruktsiyasi ko'plab kompyuter algebra tizimlarida o'rnatilgan funktsiyadir . 

Quvvat asoslari  

F  daraja n darajali  sonli  maydon bo'lsin . F  ning barcha  mumkin  bo'lgan 

asoslari  orasida ( Q -vektor  fazosi  sifatida)  quvvat  asoslari,  ya'ni  shaklning  asoslari 

mavjud 

---

 

 

B 

x

  = {1, x , x 

2

 ,…, x 

n -1

 } 

ba'zi x 

∈ F  uchun . Ko'ra ibtidoiy  element  teoremasiga  uchun ,  masalan, x har 

doim mavjud, u deyiladi ibtidoiy element bu uzaytirish. 

 

An algebraik soni maydon bir emas cheklangan-o'lchovli vektor kosmik ustida

 (biz  uning  o'lchamini  belgilaymiz 

),  va  maydonning  ixtiyoriy  elementi  bilan 

ko'paytirish bu  bo'shliqning chiziqli  o'zgarishi  hisoblanadi . Ruxsat  bering

 -  ba'zi 

bir  asos F ,  keyin  transformatsiya

 matritsaga  mos  keladi 

shart  bilan 

belgilanadi 

 

Ushbu 

matritsaning 

elementlari 

asosni 

tanlashga 

bog'liq, 

ammo 

barcha matritsali invariantlar , 

masalan, determinant va izlar unga 

bog'liq 

emas . Algebraik  kengaytmalar  kontekstida  elementga  ko'paytirish  matritsasining 

determinantiga ushbu 

elementning normasi deyiladi (belgilanadi

); matritsaning izi - element izi (belgilanadi

). 

Boshlang'ich  asos  sifatida,  siz  butun  son  asos  tanlash  mumkin 

[⇨]

 tomonidan 

oshirish bir  butun  son  algebraik  sonning (butun  sonlari  halqasida  bir  element 

tomonidan, 

bo'lib 

[⇨]

 bilan 

matritsasi 

mos 

keladi, 

bu 

asosda) butun 

son elementlar. Shuning  uchun  butun  sonlar  halqasining  istalgan  elementining  izi  va 

normasi butun sonlardir. 

Normadan foydalanish misoli  

Ruxsat 

bering 

 - natural 

son , kvadratsiz , 

keyin

 - kvadratik 

maydon (xususan, bu raqamli  maydon). Keling, ushbu sohada butun asosni tanlaymiz

 (

 -  tamsayıli  element,  chunki  u  kamaytirilgan  polinomning  ildizi 

). Shu 

asosda ko'paytirish

 matritsaga mos keladi.

 

---

 

 

Shuning  uchun, 

... Halqa  elementlarida

bu  norma  butun  qiymatlarni 

oladi. Norma  bir  bo'lib bo'lgan  homomorfizmaları ,  ayirish  guruhi

 multiplikativ 

guruh  uchun 

,  shuning  uchun  halqaning  qaytariladigan  elementlari  normasi  faqat 

teng  bo'lishi  mumkin 

 yoki 

... Hal  qilish  uchun Pell  tenglama 

,  butun 

sonlar  halqasining  barcha  qaytariladigan  elementlarini  topish  ( halqa  birliklari deb 

ham  ataladi )  va  ularning  orasidan  me'yorga  ega  bo'lganlarni  tanlash  kifoya.

... Ko'ra Dirichlet  birlik  teorema  uchun ,  berilgan  halqa  barcha  invertible  elementlari 

ayirish  bir  element  (up  vakolatlari  tomonidan  bo'lgan

),  shuning  uchun  Pell 

tenglamasining barcha echimlarini topish uchun bitta asosiy echimni topish kifoya.