Φфм1 соответствующее наклону вектора u

S_ЧМн(t) = A_mcos[ω_нt + ∆φ(t)],
где ∆φ(t) – приращение фазы, обусловленное приращением частоты ∆ω(t).

Этот вид манипуляции предполагает использовать один источник колебаний, частота которого изменяется посредством управляемой реактивности (в этом случае фаза изменяется непрерывно – без разрыва).

Спектральный состав ЧМн сигнала без разрыва фазы можно получить,

раскрывая выражение для S_ЧМн(t):


S_ЧМн (t) A_m [cos_нt + cos (t) - sin_нt  sin (t)].

Из этой формулы следует, что для нахождения спектра ЧМн сигнала необходимо определить спектр функций cosΔφ(t) и sin Δφ(t) разложив их в ряд Фурье:

Из спектральной характеристики видно, что для спектра при m_ЧМн << 1 энергия колебания находится вблизи f_н. Спектр ограничен несущей и двумя боковыми частотами, а ширина спектра равна ширине спектра АМн сигнала:
По мере увеличения индекса частотной модуляции энергия концентрируется вблизи частот f₁ и f₂. Рассмотрим спектры колебаний при различных m_ЧМн.

Ширина спектра определяется по общей формуле:

ΔF_ЧМн = 2(∆f_m + ∆F) = 2F(m – 2) = 2∆f_m(1 + 2/m),
либо по формулам для различных m_ЧМн:

где V – скорость телеграфирования в бодах.

Каждое телеграфное сообщение передаётся с определённой скоростью. Скорость телеграфирования измеряется количеством элементарных телеграфных посылок, передаваемых в одну секунду. Единицей измерения скорости является бод. Если за одну секунду передаётся 50 элементарных посылок, то скорость телеграфирования составляет 50 бод. Продолжительность одной элементарной посылки в этом случае равна:

V = 50 Бод t₀ = 1 / 50 = 0,02 с. = 20 мс;

Следовательно, скорость телеграфирования связана с длительностью элементарной посылки соотношением:
V = 1 / t₀ ; t₀ = 1 / V


СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ
СИГНАЛОВ
Наиболее простой является бинарная ФМн, при которой изменение фазы несущего колебания происходит скачком в определенные моменты первичного сигнала на 0 или 180^o; при этом его амплитуда и частота несущей остаются неизменными. ФМн сигнал имеет вид последовательности радиоимпульсов (отрезков гармонических колебаний) с прямоугольной огибающей:
S_ФМн (t) A_m cos[_нt (1x_c (t))  _m ],

где x_c(t) – нормированная функция, принимающая значения -1 и 1, и повторяющая изменения информационного сигнала; ∆φ_m – девиация фазы (максимальное отклонение фазы от начальной).

Величина ∆φ_m может быть любой, однако, для лучшего различения двух сигналов на приеме целесообразно, чтобы они максимально отличались друг от друга по фазе, т.е. на 180^o (∆φ_m = π).
Таким образом, одни из ФМн колебаний будут синфазны с колебаниями
несущей, а другие противоположны по фазе на 180^o.
Такой сигнал можно представить в виде суммы двух АМн сигналов, с противофазными несущими 0^o и 180^o:


Структурная схема модулятора в этом случае реализуется с помощью двух самостоятельных источников колебаний(генераторов) с разными начальными фазами, выходы которых управляются информационным сигналом с помощью ключа.
Спектр ФМн колебания находится суммированием спектров колебаний