Formal yig'indini yozib, uni ikki karrali qator deb ataymiz

§9.4. Ikki karrali qatorlar
Haqiqiy sonlarning ko'rinishdagi ikki karrali ketma-ketligini qaraymiz, bu yerda va indekslar barcha natural qiymatlarni qabul qiladi. Ushbu
(2.2.1)
formal yig'indini yozib, uni ikki karrali qator deb ataymiz.
Oddiy sonli qatorlardan farqli ravishda ikki karrali qator yig'indisi turli usullarda aniqlanishi mumkin. Matematik tahlilning tadbiqlarida (2.2.1) ikki karrali qatorni takroriy qator deb qarash, ya`ni qator vig'indisi sifatida
(2.2.2)
sonni olish ayniqsa ko'p uchraydi.
Bunday aniqlashda yig'indi olish tartibi muhim ahamiyatga ega, chunki boshqa tartibda olingan
(2.2.3)
yig'indi sonidan farq qilishi, yoki umuman mavjud bo'lmasligi mumkin.
2.2.1 - misol. Qator hadlari ko'rinishda aniqlangan bo'lsin, bunda orqali Kroneker del'ta-simvoli deb ataluvchi quyidagi kattalik belgilangan:

U holda istalgan nomer uchun
(2.2.4)
tenglik bajariladi, chunki (2.2.4) cheksiz yig'indida faqat ikki had noldan farqli bo'lib, bulardan biri ( bo'lgan holda) 1 ga teng bo'lsa, ikkinchisi esa ( bo'lgan holda) -1 ga teng. Demak, (2.2.2) qator yaqinlashadi va bo'ladi.
Ammo istalgan toq nomer uchun

tenglik bajariladi, ya'ni bu yig'indi da nolga intilmaydi va shu sababli (2.2.3) qator uzoqlashadi.
Shuni aytish kerakki, agar (2.2.1) qatorning barcha hadlari musbat bo'lsa, (9.4.2) va (2.2.3) yig'indilar ustma-ust tushadi.
2.2.1 - teorema. Ikki karrali (2.2.1) qatorning barcha hadlari manfiy bo'lmasin, ya'ni bo'lsin. U holda, agar (2.2.2) takroriy qator yaqinlashsa, (2.2.3) takroriy qator ham yaqinlashadi
(2.2.5)
tenglik bajariladi.
Isbot. Teorema shartiga ko'ra, istalgan uchun
(2.2.6)
ko'rinishdagi qatorlar va, bundan tashqari,
(2.2.7)
qator yaqinlashadi.
Shundan foydalangan holda biz istalgan uchun
(2.2.8)
ko'rinishdagi qatorlarning va quyidagi
(2.2.9)
qatorning yaqinlashishini ko'rsatib,
(2.2.10)
tenglikni isbotlashimiz kerak.
Avval shuni qayd etamizki, qatorning hadlari manfiy bo'Imagani sababli, (2.2.6) tenglikdan istalgan uchun
(2.2.11)
tengsizlik kelib chiqadi.
Bundan, xususan,

tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik va (2.2.7) qatorning yaqinlashishiga ko'ra esa, istalgan uchun (9.4.8) qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi.
Ikki takroriy yig'indilardan biri chekli bo'lgan holda, 2.1.2 - tasdiqqa ko'ra, yig'indi tartibini o'zgartirish mumkin. Bundan chiqdi. (2.2.11) tengsizlikka asosan,

munosabatga ega bo'lamiz.
Ravshanki, qator hadlari manfiy bo'lmagani uchun, o'sganda chap tomondagi yig'indining monoton o'sishi kelib chiqadi. Shunday ekan, (2.2.9) qator (demak, (2.2.3) takroriy qator ham) yaqinlashadi va

tengsizlik bajariladi.
Endi yuqoridagi mulohazalarni (2.2.3) qatorga qo llasak, teskari tengsizlikni, ya`ni

munosabatni olamiz. Demak, talab qilingan (2.2.10) tenglik bajarilar ekan.
Agar berilgan qator hadlarining ishorasi o'zgaruvchi bo'lsa, yuqorida qayd etilganidek, (2.2.5) tenglik, umuman aytganda, bajarilmaydi. Ammo qator absolyut yaqinlashsa, navbatdagi teorema qayd etilgan tenglikning o'rinli bo'lishini ko'rsatadi.
2.2.2 - teorema. Agar quyidagi
(2.2.12)
takroriy qator yaqinlashsa, u holda har ikkala (2.2.2) va (2.2.3) takroriy qatorlar ham yaqinlashadi va ularning yig'indilari o'zaro teng bo 'ladi.
Isbot. Quyidagi

belgilashlarni kiritamiz.
Ravshanki, bunda
(2.2.13)
tengsizliklar va

tengliklar bajariladi. Shartga ko'ra
(2.2.14)
qator absolyut yaqinlashadi. Bundan chiqdi, 2.2.2 - tasdiqqa asosan,
(2.2.15)
tenglik o'rinli, chunki (2.2.13) tengsizlikdan o'ng tomondagi qatorlarning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Demak,
(2.2.16)
Boshqa tomondan, 2.2.1 - teoremaga asosan, (2.2.12) qatorning yaqinlashishidan quyidagi

takroriy qatorning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi mulohazalarni takrorlasak,

tenglikka ega bo'lamiz.
Endi 2.2.1 - teoremani qo'llasak. (2.2.16) va (2.2.15) tengliklarning o'ng tomonidagi qatorlarning o'zaro tengligini olamiz. Shunday ekan, qayd etilgan tengliklarning chap tomonlari ham o'zaro tengdir. Natija. Ikki karrali ketma-ketlik indekslari tengsizlikni qanoatlantirganda aniqlangan bo'lsin. Agar

qator yaqinlashsa, u holda chap va o'ng tomonlari yaqinlashuvchi qatorlardan iborat bo'lgan quyidagi

tenglik bajariladi.
Bu tasdiqni isbotlash uchun bo'lganda ikki karrali ketmaketlik hadlarini deb aniqlab, (2.2.5) tenglikni qo'llash yetarli.
Eslatma. Agar qator absolyut yaqinlashmasa, xatto (2.2.5) tenglikning har ikkala tomonida yaqinlashuvchi qatorlar tursa ham, bu tenglikning bajarilishini kafolatlab bo'Imaydi.
2.2.2 - misol. Hadlari ko'rinishda aniqlangan ikki karrali ketma-ketlikni qaraymiz. Aniqroq tassovur qilish maqsadida bu ketma-ketlik qiymatlarini quyidagi

cheksiz matritsa ko'rinishida yozib olamiz.
Bu matritsa bosh diagonalida joylashgan barcha elementlar 1 ga teng bo'lib, undan yuqoridagi diagonalda joylashgan barcha elementlar -1 ga teng. O'z-o'zidan ko'rinib turibdiki, bunda har bir satr elementlari yig'indisi ham, ikkinchi ustundan boshlab, har bir ustun elementlari yig'indisi ham nolga teng. Birinchi ustun elementlari yig indisiga kelsak, rarshanki, u 1 ga teng. Shunday qilib, qaralayotgan holda

ya'ni har ikki takroriy qator yaqinlashsada. ularning yig'indisi o'zaro teng bo'lmas ekan.