Fraktallar üadeéÇ Z.Ç. Kelishdikmi aloqa VV jikov ú ú ú¸fl ô ô ô ‡ ‡ ì ˜ ˜ î î ùÿ ùÿ í

FRAKTALLAR
©
ÜËÍÓ‚ Ç.Ç.,
1996
Z. Z. Uadeéz
109
Xulosa e.ch. ã·‰‚‡-èÓÎflÌÒÍÓ„Ó
Machine Translated by Google

---

ZÖdénékõÖ
E'tibor bering, o'lchamlarni hisoblash har doim bir oz zukkolikni
talab qiladi. Hausdorff o'lchamining qat'iy ta'rifi juda og'ir va
hisoblashlarda qo'llash oson emas.
a =
lo "haqiqiy" Hausdorff o'lchamidan oshib ketadi.
Maqolada bunday holatlar ko'rib chiqilmaydi.
A0 , A1 , …, An , … barcha toÿplamlarga
tegishli elementlar toÿplami kesmani tashkil qiladi.
1,
mil. {1, 2, 3, …} natural sonlar toÿplami cheksizdir. Cheksiz A
to'plami deyiladi
, …
Maqolada klassik fraktallar tasvirlangan, ularning
Hausdorff o'lchami hisoblangan, shuningdek, o'ziga
o'xshashlik xususiyatining matematik formulasi berilgan.
Ikkinchisi yangi fraktal ob'ektlarni qurishga imkon beradi.
A0 ÿ A1 ÿ A2 ÿ
,,,
To'plamlar chekli va cheksizdir
agar uning elementlarini raqamlash mumkin bo'lsa, hisoblanishi mumkin
cheksiz qatorga qo'yish mumkin: A = {x1 , x2 , …, xn , …}.
Keling, son-sanoqsiz to'plamlarga ikkita misol keltiramiz.
…
1, ÿ1, 1, 1, ...
T to'plamning sonsiz ekanligini isbotlaylik . Faraz
qilaylik, biz telegrammalarning to'liq ro'yxatini tuza
oldik; bu telegrammalar bo'lsin
a = a1 , a2 , a3 , …,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Shunga o'xshash dalillar [0, 1] oralig'i hisoblab
bo'lmaydiganligini isbotlaydi; bu yerda x ÿ [0, 1] sonining
cheksiz o'nli kasr sifatida ko'rinishidan foydalanishimiz
kerak.
…
1) [0, 1] segmenti hisoblanmaydi,
sanaladigan.
-1.
A = ÿ An = A0 ÿ A1 ÿ
bu ro'yxatda bo'lishi mumkin emas. U a1 bilan (birinchi
holatda ular turli xil belgilarga ega), a2 bilan (ikkinchi
holatda ular turli xil belgilarga ega) va boshqalar bilan
mos kela olmaydi . Telegrammalarning to'liq ro'yxatini
tuzish mumkin emas, T to'plamini sanab bo'lmaydi.
,,,
Quyida biz to'plamlarda ba'zi amallardan
foydalanamiz. Agar A to'plamning har bir elementi
ham B to'plamning elementi bo'lsa , u holda biz A ÿ
B yozamiz va A ni B ning bir qismi yoki kichik
to'plami deb aytamiz. A0 , A1 , ... to'plamlar ketma-
ketligi kamayuvchi deyiladi, agar bo'lsa .
Differensiallanuvchi funksiya grafigi. Agar biz
mikroskopni ushbu grafikning qaysidir nuqtasiga
yo'naltirsak, tasvirni kattalashtirganda, biz to'g'ri chiziqni
ko'ramiz - bu nuqtada tangens. Boshqacha qilib
aytganda, klassik ob'ektlar tasvir kattalashtirilganda
soddalashtiriladi, "kichikda" ular chiziqli (chiziq, tekislik
va boshqalar), "ichki cheksizlik" esa fraktallarga xosdir.
bu erda ustun belgisi telegramma raqamini bildiradi. Lekin,
tushunish oson bo'lganidek, telegramma
Umuman olganda, cheksiz telegramma shaklga ega
ÿ
– – –
bu to'plamlar:
=
Cheksiz telegramma ikki belgining cheksiz ketma-ketligidir
(nuqta va tire yoki 1 va -1). Mana shunday telegramma misoli:
,,,
…
3 , a3
…
natural sonlar, boshqacha aytganda, elementlar
2) barcha cheksiz telegrammalarning T to'plami emas
ny. Fiziklar o'lchovlilikni bir nechta tasviriy formulalar
bilan hisoblashni afzal ko'rishadi va biz asosan bu
an'anaga amal qilamiz. To'g'ri, ba'zida bunday tasviriy
ta'riflar raqamlarni berishi mumkin
Qayerda
Biz asosan haqiqiy eksa yoki tekislikdagi
to'plamlarni ko'rib chiqamiz. To'plamlar bosh harflar
bilan, ularning elementlari kichik harflar bilan
belgilanadi, masalan: A = [0, 1] - segment, 1/2 soni -
bu to'plamning elementi, 1/2 ÿ A.
Shuningdek, biz yopiq to'plam tushunchasini
eslaymiz. A haqiqiy chiziqdagi to‘plam bo‘lsin . X
nuqta A to'plamning chegara nuqtasi deyiladi, agar
xn xn ÿ A nuqtalar ketma-ketligi uchun lim
bo'lsa. A to'plam o'zining barcha chegara nuqtalarini
o'z ichiga olgan bo'lsa, yopiladi . Segment [0, 1]
yopiq, interval (0, 1) yo'q. Har qanday raqamning kesishishi
…
Mana, B. Mandelbrot klassik geometriyani yangi - fraktal
geometriya bilan taqqoslab, shunday yozgan: “Nima uchun
geometriya ko'pincha sovuq va quruq deb ataladi? Buning
sabablaridan biri uning bulut, tog', daraxt yoki dengiz qirg'og'ining
shaklini tasvirlay olmasligidir. Bulutlar shar emas, qirg'oqlar doira
emas va qobiq silliq emas, chaqmoq esa to'g'ri chiziqda harakat
qilmaydi. Tabiat bizga nafaqat yuqori darajani, balki butunlay
boshqacha murakkablik darajasini ko'rsatadi. Tuzilmalardagi turli
uzunlikdagi o'lchovlar soni doimo cheksizdir. Ushbu tuzilmalarning
mavjudligi bizni Evklid shaklsiz deb rad etgan shakllarni o'rganish,
amorf morfologiyasini o'rganish vazifasi bilan bizni qiyinlashtiradi.
imo-ishoralar:
110
a2 = 2a1
a1 = 1a1
ai
1 a2
2a2
2a3
3a1
3a2
3a3
1 2 a1 ,
a2
a3 =
n ÿ ÿ
1a3
=
x