Fraktallar üadeéÇ Z.Ç. Kelishdikmi aloqa VV jikov ú ú ú¸fl ô ô ô ‡ ‡ ì ˜ ˜ î î ùÿ ùÿ í

UZOQ MUDDATLI VA DECÇÖK
Guruch. 2. Sierpinski salfetkasi.
n ÿÿ
e ÿ 0
e ÿ 0
n ÿÿ
n
e ÿ 0
n
Lékélézdav YÅKÄBéZÇÄãúçõv UmkçÄã, ‹12, 1996 yil
112
Machine Translated by Google

---

Guruch. 3. Sierpinski gilami.
n ÿ uchburchaklar perimetrlari yig'indisi, kirish
--
lim
1
log e
Qurilish jarayoni tekislikdagi S0 birlik segmentidan boshlanadi . Biz
uni uchta teng qismga ajratamiz va o'rta oraliqni shaklda ko'rsatilganidek,
uzunligi 1/3 bo'lgan ikkita bog'langan segment bilan almashtiramiz. 4.
Natijada, siniq chiziq hosil bo'ladi S1 , uzunligi 1/3 bo'lgan to'rtta aloqa.
Keyingi bosqichda ushbu to'rttasining har biriga bir
xil operatsiya qo'llaniladi
L(e) = eN(e),
L( ) e
lim = L
---
Sierpinski gilami xuddi shunday tarzda qurilgan. F0 birlik kvadrat
bo'lsin ; biz uni 1/3 tomoni bilan to'qqizta bir xil kvadratga ajratamiz va
markaziy kvadratning ichki qismini tashlaymiz. F1 qolgan sakkiz kvadratni
belgilaylik . Keyin bu amalni F1 dan kvadratlar bilan takrorlaymiz (3-
rasm). Yoniq
peh havolalari alohida. Biz singan chiziqlarni olamiz S0 , S1 , …, Sn , …
va har birining uchlari keyingisining uchlari bo'lib qoladi (shu ma'noda
har bir siniq chiziq keyingisiga yozilgan). Bu barcha singan chiziqlar
chizilgan S chegaraviy egri chizig'ini Xelge fon Kox 1904 yilda kashf
etgan. Koch egri chizig'i chegaralangan bo'lsa-da, u cheksiz uzunlikka
ega. Haqiqatan ham, Sn siniq chizig'i
1/3n uzunlikdagi 4n segmentdan iborat va uning perimetri (4/3)n ga
teng . Demak, Koch egri chizig'ining uzunligi cheksiz, Hausdorff o'lchami
esa aniq
ln3
Bu erda N(e) - havolalar soni. Bunda egri chiziq sirkul yordamida e
eritmasi bilan o'lchangan deyiladi. Agar egri chiziq cheklangan L uzunlikka
ega bo'lsa , u holda
----------
S o'lchamini hisoblash uchun biz tekislikni kvadrat kataklarga emas,
balki e tomoni bo'lgan muntazam uchburchaklar shaklidagi kataklarga
ajratamiz. Keyin Sn to'plami S ning qoplamasi bo'ladi va bundan tashqari,
e = (1/2) n , N (e) = 3n . Shunung uchun
---------
ln2
Tabiiy ob'ektlar, albatta, so'zning aniq ma'nosida fraktallar emas.
Biroq, ular bilan bog'liq fraktallar uchun amaliy qiziqish uyg'otadigan
aniq hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin.
--------.
--
dan iborat
da Sn cheksizlikka intiladi va ularning maydonlari yig'indisi nolga intiladi.
Shunday qilib, ramkaning umumiy uzunligi cheksiz, peçete maydoni esa
nolga teng.
=
ln 3
dim S =
ln4
> 1.
n-bosqichda Fn = (8/9)n uchun tomonlari 3ÿn ,
Fn ÿ Fn ÿ 1 boÿlgan Fn , 8n kvadrat toÿplamini olamiz .
Sierpinski gilami F - to'plamlarning kesishishi Fn , F = ÿFn . Shubhasiz,
Fn - N(e) = 8n sonli kvadratlar va e = 3 - n tomonlari bo'lgan F gilamining
qoplamasi . Bu yerdan
Gilam o'ziga o'xshashlik xususiyatiga ega. Haqiqatan ham, uni sakkiz
qismga bo'lish mumkin, ular F dan uch marta qisqarish va siljish orqali
olinadi.
lim = 1 = egri chiziqning o'lchami.
--
,
va N(e) bog'lanishlar soni e ga L/e ga oshadi
dan tashkil topgan
Tekislikdagi egri chiziq uzunligini taxminan qanday topish mumkinligi
ma'lum. Buni amalga oshirish uchun biz egri chiziqning cho'qqilari va
uzunligi e ning bir xil bo'g'inlari bilan siniq chiziqni olishimiz kerak.
1
log e
log N( )
e d = lim
e
-----------------
ln3
--------
ln8
dim F =
=
Lln _
1
log e
--------.
log N( ) e
va sal
birdan katta bo'lishi mumkin: d > 1. Bu holda egri chiziq fraktal deyiladi .
Tabiatdagi fraktal egri chiziqqa misol qilib dengiz qirg'og'i
chizig'ini keltirish mumkin. Sohil chizig'i odatda juda buziladi va
kartograflar aniqroq miqyosda o'lchanganda dengiz qirg'og'i uzunligining
sezilarli darajada oshishi ta'sirini uzoq vaqtdan beri bilishadi. Misol uchun,
o'lchovlarga ko'ra, Angliya qirg'oq chizig'i Hausdorff o'lchamiga ega d =
1,3.
Cheksiz uzunlikdagi egri chiziq uchun N(e) bog'lanishlar soni e-1 dan e 0
ga nisbatan tezroq o'sadi . Shuning uchun Hausdorff o'lchami chegara
sifatida aniqlanadi.
shunday plo
ln 4n
d = lim
0.
-----------------
yopiq to'plamlar ketma-ketligi Sn , fetka S - ularning kesishishi.
Sn to'plami tomonlari uzunligi 1/2n bo'lgan va konstruktsiyasi bo'yicha S
ga tegishli bo'lgan 3n muntazam uchburchaklardan iborat (ular ramkaning
bir qismini tashkil qiladi). Buni qachon ko'rish oson
log 3n