Фредголм ва Волтерра интеграл тенгламлари. Ажралувчи ядроли интеграл тенгламалар

Фредголм ва Волтерра интеграл тенгламлари.Ажралувчи ядроли интеграл тенгламалар
Функционал фазода (масалан, тенглама берилган бўлиб, номаълум элемент функциядан иборат бўлса, бундай тенглама функционал тенглама дейилади. Агар функционал тенгламада номаълум функция интеграл остида бўлса, у ҳолда тенглама интеграл тенглама дейилади. Масалан,

тенглама га нисбатан интеграл тенгламадир, бу ерда берилган функциялар.
Интеграл тенгламадаги ифода номаълум функцияга нисбатан чизиқли бўлган ҳолда тенглама чизиқли интеграл тенглама дейилади. Қуйидаги тенгламалар чизиқли интеграл тенгламаларга мисол бўлади:
_(15.1)
. _(15.2)
Бу ерда номаълум функция, ва маълум функциялар. (15.1) ва (15.2) тенгламалар мос равишда биринчи ва иккинчи тур Фредҳолм тенгламалари дейилади.
Хусусан, функция қийматлар учун шартни қаноатлантирса, у ҳолда (15.1) ва (15.2) тенгламалар мос равишда
_{(15.3)
(15.4)}
кўринишларга эга бўлади. Бундай тенгламалар биринчи ва иккинчи тур Волтерра тенгламалари дейилади. Волтерра тенгламалари Фредҳолм тенгламаларининг хусусий ҳоли бўлса-да, улар алоҳида ўрганилади, чунки Волтерра тенгламалари ўзига хос бўлган хоссаларга эга.
Агар (15.1)-(15.4) тенгламаларда функция нолга тенг бўлса, бу тенгламалар бир жинсли дейилади.
15.1-мисол. Қуйидаги

тенглама номаълимга нисбатан Абел тенгламаси дейилади. Бу тенглама Волтерра тенгламаларининг хусусий ҳоли бўлиб, 1823 йилда Н. Абел томонидан қаралган, унинг ечими

кўринишга эга.
Биз бу ерда фақат иккинчи тур Фредҳолм тенгламасини қараймиз. комплекс Гильберт фазосида иккинчи тур Фредҳолм тенгламасини, яъни (15.2) тенгламани оламиз. Бу тенгламада маълум, номаълум функциялар бўлиб, улар фазонинг элементларидир.
(15.2) тенгламанинг ядроси деб номланувчи функциядан қуйидагиларни талаб қиламиз, у – ўлчовли ва
_(15.5)
шартни қаноатлантирсин, яъни квадрати билан интегралланувчи функция. фазода аниқланган
_(15.6)
операторни қараймиз. Бу оператор ядроли Фредҳолм оператори деб аталади. (15.2) тенгламани ўрганиш шу операторнинг хоссаларини текширишга келтирилади.
Навбатдаги теоремаларни исботлашда биз интеграллаш тартибини алмаштириш ҳақидаги Фубини теоремасининг натижасидан фойдаланамиз. Фубини теоремаси натижасининг қуйидаги баёни биз учун қулайдир.