Фредголм ва Волтерра интеграл тенгламлари. Ажралувчи ядроли интеграл тенгламалар

15.3-мисол. 15.2-мисолда қаралган (15.12) интеграл тенгламага бўлган ҳолда 15.4-теоремани қўлланг ва (15.12) интеграл тенгламани ечинг.
Ечиш. Агар бўлса, у ҳолда оператор учун бир хос қиймат эмас, 15.4-теоремага кўра, (15.12) интеграл тенглама ягона ечимга эга. (15.14) белгилашдан фойдалансак, (15.12) тенгламани қуйидагича ёзишимиз мумкин:
_(15.18)
(15.18) ни (15.14) га қўйиб, (15.16) тенгликлардан фойдалансак, ва ларга нисбатан қуйидаги тенгламалар системасини оламиз:

Бу система да ягона ечимга эга ва

ва ларнинг бу қийматларини (15.18) га қўйиб, (15.12) тенгламанинг ечимини оламиз:
_(15.19)
15.4-мисол. 15.2-мисолда қаралган тенгламани бўлган ҳолда, яъни
_(15.20)
тенгламани ечинг.
Ечиш. Агар бўлса, у ҳолда оператор учун бир хос қиймат бўлади. 15.4-теоремага кўра, (15.20) тенглама ечимга эга бўлиши учун функция тенгламанинг барча ечимларига, яъни га (15.2-мисолга қаранг) ортогонал бўлиши зарур ва етарли. Демак, (15.20) тенглама ечимга эга бўлиши учун
_(15.21)
шартнинг бажарилиши зарур ва етарли. Агар биз (15.14) белгилашдан фойдалансак, (15.20) тенгламани қуйидагича ёзишимиз мумкин:
_(15.22)
(15.22) ни (15.14) га қўйиб, (15.16) ва (15.21) тенгликлардан фойдалансак, ва ларга нисбатан қуйидаги тенгламалар системасини оламиз:

Бу ердан кўриниб турибдики, сифатида ихтиёрий сонни олиш мумкин. Бу қийматларни (15.22) га қўйиб, (15.20) тенгламанинг умумий ечимини ҳосил қиламиз:

Бу ерда ихтиёрий ўзгармас сон.