Фредголм ва Волтерра интеграл тенгламлари. Ажралувчи ядроли интеграл тенгламалар

15.3-теорема. ядро билан аниқланувчи Фредҳолм оператори бўлсин. У ҳолда унга қўшма бўлган оператор ядро билан аниқланади.
Исбот. Фубини теоремасидан фойдаланиб, қуйидагига эга бўламиз.


Бу ердан

тенглик, яъни теореманинг тасдиғи келиб чиқади.
Хусусан, (15.6) кўринишдаги оператор фазода ўз-ўзига қўшма, яъни бўлиши учун
(15.8)
шартнинг бажарилиши етарли ва зарурдир. Ҳақиқий Гильберт фазоси (ва демак ҳақиқий ядро) қараладиган ҳолда ўз-ўзига қўшмалик шарти бўлиб, тенглик хизмат қилади.
(15.8) шартни қаноатлантирувчи ядролар симметрик ядролар дейилади. Энди (15.8) шартни қаноатлантирувчи ядроли интеграл тенгламани ўрганамиз. Юқорида айтилганидек, бу ҳолда

ўз-ўзига қўшма компакт оператор. Демак, бу операторга Гильберт-Шмидт теоремасини қўллаш мумкин. (15.2) тенгламани қисқача
_(15.9)
кўринишда ёзамиз. Гильберт-Шмидт теоремасига асосан, оператор учун хос қийматларга мос келувчи хос функцияларнинг шундай ортонормал системаси мавжудки, ихтиёрий элемент ягона усул билан

кўринишда ифодаланади. Шундай қилиб,
_(15.10)
деймиз ва (15.9) тенгламанинг ечимини
_(15.11)
кўринишда излаймиз. (15.10),(15.11) ёйилмаларни (15.9) га қўйиб,

тенгламага келамиз, яъни

Бундай ёйилма ягона бўлганлиги сабабли

Агар бўлса, у ҳолда ва бўлса,
Кўриниб турибдики, ҳолда шарт (15.9) тенгламанинг ечимга эга бўлиши учун етарли ва зарурдир. Бундай учун ихтиёрий. Шу билан қуйидаги теорема исботланди.
15.4-теорема. Агар сони оператор учун хос қиймат бўлмаса, у ҳолда (15.9) тенглама ихтиёрий учун ягона ечимга эга. Агар сони оператор учун хос қиймат бўлса, у ҳолда (15.9) тенглама ечимга эга бўлиши учун функция сонига мос келувчи барча хос функцияларга ортогонал бўлиши етарли ва зарурдир. Бу ҳолда (15.9) тенглама ечимларининг сони чексиздир.
15.2-мисол. Гильберт фазосида
_(15.12)
интеграл тенглама берилган. Параметр нинг қандай қийматларида учун бир сони хос қиймат бўлади?
Ечиш. Қаралаётган интеграл тенгламанинг ядроси

ҳақиқий қийматли ва симметриклик шартини қаноатлантиради, яъни

Енди хос қиймат учун тенглама ни қараймиз, яъни:
_(15.13)
Агар биз (15.13) да
ва _(15.14)
белгилашларни киритсак, у ҳолда учун қуйидаги ифодани оламиз:
_(15.15)
(15.15) ни (15.14) га қўйиб,
_(15.16)
тенгликлардан фойдалансак, ва ларга нисбатан қуйидаги тенгламалар системасини оламиз:

Бу тенгламалар системаси нолмас ечимга эга бўлиши учун унинг детерминанти
_(15.17)
бўлиши зарур ва етарли. (15.17) дан ёки ларни оламиз. Демак, параметрнинг ва қийматларида учун 1 сони хос қиймат бўлади. Энди ва тенгламаларни ечамиз. Юқорида баён қилинганлардан бу тенгламаларнинг ечимлари мос равишда ва ( ) эканликлари келиб чиқади.