Фредголм ва Волтерра интеграл тенгламлари. Ажралувчи ядроли интеграл тенгламалар

15.1-теорема (Фубини). Агар функция квадратда интегралланувчи бўлса, у ҳолда деярли барча ларда

интеграл мавжуд ва қуйидагилар ўринли

15.2-теорема. Агар ядро (15.5) шартни қаноатлантирса, у ҳолда фазода (15.6) тенглик билан аниқланувчи оператор чизиқли, компакт ва
(15.7)
тенгсизлик ўринли.
Исбот. Аввало шуни таъкидлаймизки, Фубини теоремаси ва (15.5) шартга кўра, деярли барча лар учун

интеграл мавжуд. Бошқача айтганда, функция нинг функцияси сифатида деярли барча ларда фазога қарашли. Квадрати билан интегралланувчи функцияларнинг кўпайтмаси интегралланувчи бўлгани учун, (15.6) нинг ўнг томонидаги интеграл деярли барча лар учун мавжуд, яъни функция деярли ҳамма ерда аниқланган. эканлигини кўрсатамиз. Коши-Буняковский тенгсизлигига кўра, деярли барча лар учун

тенгсизликни оламиз. Охирги ифодани дан гача бўйича интеграллаб ва дан такрорий интегрални икки каррали интегралга алмаштириб, қуйидаги тенгсизликка эга бўламиз
.
Бу ердан нинг интегралланувчанлиги ва (15.7) тенгсизлик келиб чиқади. Энди операторнинг компактлигини кўрсатиш қолди. система фазода тўла ортонормал система бўлсин. У ҳолда кўпайтмалар системаси фазода тўла ортонормал системани ташкил қилади ва демак,

ёйилма ўринли. Энди

деймиз. Бу ядрога мос Фредҳолм операторини билан белгилаймиз. Бу оператор компакт, чунки у чегараланган ва фазони чекли - ўлчамли қисм фазога акслантиради. Ҳақиқатан ҳам, ихтиёрий учун

бу ерда . Демак, оператор фазони функцияларнинг чизиқли қобиғи бўлган - ўлчамли қисм фазога акслантиради.
функция функциянинг система бўйича Фуръе қаторининг қисмий йиғиндисидан иборат. Шунинг учун, да

Енди (15.7) тенгсизликни операторга қўлласак,

Шундай қилиб, компакт операторлар кетма-кетлиги норма бўйича операторга яқинлашади. Компакт операторларнинг асосий хоссаларига асосан ҳам компакт оператор бўлади.