Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Практическое занятие-12.
Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Область сходимости функционального ряда

Значение х, при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Для всех значений х области сходимости функционального ряда сумма этого ряда имеет вполне определенное конечное значение, она будет функцией от х и поэтому, обозначив ее через ƒ(x), можно записать:
ƒ(x)=u₁(x)+u₂(x)+...+u_n(x)+...,
причем это равенство справедливо только для значений х, принадлежащих области сходимости ряда. Так, например, ряд:
1+x+x2+...+xn+...
для │x│<1есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма этого ряда функция от х, и для всех значений
│x│< 1 будет иметь место следующее равенство:

Для значения │x│>1равенство (1") нарушается; действительно, если х = 2, то правая часть равенства (1") будет равна в левой части получим расходящийся ряд:
1+2+2²+2³+2⁴+...+2ⁿ+... .
Также как над сходящимися числовыми рядами, можно производить действия сложения, вычитания функциональных рядов.
Пример 1. Найти область сходимости ряда .
Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд , который сходится, и притом абсолютно, при и расходится при . Область сходимости ряда определяется двойным неравенством .
Пример 2. Найти область сходимости ряда .
Для данный функциональный ряд сходится абсолютно, так как для этих сходится ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда. Для каждого из промежутка он сходится условно, как знакочередующийся и удовлетворяющий признаку Лейбница; при - расходится, как неудовлетворяющий необходимому признаку сходимости. Таким образом, область сходимости данного ряда характеризуется неравенством .
Пример 3. Найти область сходимости ряда .
Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как прогрессия сходится лишь при , то он сходится, и притом абсолютно, при , т.е. при , и, следовательно, неравенства определяют область сходимости данного ряда.
Пример 3.
Найти область сходимости ряда .
Исследуем ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Коши. Так как , то

_{для любого .
Следовательно, ряд сходится абсолютно в бесконечном промежутке . Этими неравенствами и определяется область сходимости данного ряда.}