Функция хосиласи ва унинг геометрик, механик маъноси

mavzu: funksiyaning xosilasi va uning geometrik va texnik ma’nolari


Режа:
1. Хосила таърифи
2. Хосиланинг геометрик ва механик маъноси
3. Дифференциалланувчи функция ва унинг узлуксизлиги.
4.Xulosa


Таянч иборалар: хосила таърифи, хосиланинг геометрик ва механик маъноси, дифференциалланувчи функция ва унинг узлуксизлиги.

у=f(x) функция (а,в) ораликда аникланган булиб, х ва х+х шу ораликдаги нукталар булсин. бу холда аргументнинг х орттирмасига функциянинг f=f(x+х)-f(x) орттирмаси мос келади.

Т А Ъ Р И Ф : у=f(x)функция f орттирмасининг х аргумент ортирмасига нисбати х0 булганда лимитга эга булса, бу лимит киймати функциянинг х нуктадаги хосиласи деб аталади ва f^/(x) ёки у^/(x) каби белгиланади.
Таърифга асосан


(1)

Шуни таъкидлаб утиш керакки (1) лимит чекли чекли сон ёки  булиши мумкин.Мисол сифатида f(x)=х ² функция хосиласини таърифига асосан топамиз: f=f(x+х)-f(x) = (х+х)² –х² =2хх +(х)²,

Демак (х²)=2х булар экан.
у=f(x)функция хосиласининг геометрик маъносини аниклаш учун бу функциянинг графигида абциссаси х ва х+х , ординаталари эса f(x) ва f(x+х) булган M ва N нукталарни оламиз. Бу нукталардан утувчи MN кесишувчининг ОХ укининг мусбат йуналиши билан хосил килган бурчагини  каби белгилаймиз. Бу холда тегишли чизмани чизиб,
tg = - натижани олиш мумкин. Энди х→0 булсин. Бу холда N нукта М нуктага якинлашиб боради, МN кесишувчи эса функция графигининг М нуктасига утказилган уринмага якинлашиб боради. Бу уринманинг ОХ уки мусбат йуналиши билан хосил килган бурчагини α деб белгиласак, юкоририда айтилганларга кура х→0булганда β→α ёки
tg β→tgα мунособат уринли булади. Демак,



шундай килиб ,f ΄(x) хосила киймати функция графигининг М(х, f(x)) нуктадаги уринмасининг k=tgα бурчак коэффициентига тенг булар экан.
Хосиланинг механик маъносини курсатиш учун х аргументни вакт моменти, у=f(x) функцияни эса тугри чизик буйлаб харакатланаётган моддий нуктанинг х вакт моментига босиб утган масофаси деб караймиз. Бу холда f орттирмаси х вакт ичида моддий нуктанинг босиб утган йулини, f/х нисбат эса унинг V уртача тезлиги моддий нуктанинг х вакт моментидаги V оний тезлигига якинлашиб боради, яъни

демак f’(x) хосила f(x) функциянинг х нуктадаги узгариш тезлигини ифодалайди. у=f(x) функция х нуктада чекли f(x) хосилага эга булса, у шу нуктада дифференциалланувчи дейилади. Функциянинг дифференциалланувчанлиги ва узлуксизлиги орасидаги богланиш куйидаги теорема оркали ифодаланади.

ТЕОРЕМА: агарда у=f(x) функция х нуктада дифференциалланувчи булса, у шу нуктада узлуксиз булади.


И с б о т : Функция узлуксизлиги таърифига асосан,
f=0 (2)
муносабатни курсатиш кифоя. Хосила таърифини ифодаловчи (1) тенглик ва лимитни мавжудлиги хакидаги олдин куриб утилган аксиомага асосан
f^/(x)+(x)
тенглик ёзиш мумкин. Бу ерда х0 булганда (х) чексиз кичик микдор булади. бу холда, лимит хисоблаш коидаларига асосан
f= ( f^/(x)x+(x))= f^/(x) x+ (x)=0.
Демак (2) - муносабат уринли ва шу сабабли f(x) функция х нуктада узлуксиз булади.
Изох: Теоремадаги тасдикнинг тескариси умуман олганда уринли эмас.
Масалан, f(x)=х функция х=0 нуктада узлуксиз, аммо бу нуктада дифференциалланувчи эмас. Хакикатан хам, х=0 нуктага х орттирма берганимизда f=f(0+x)- f(0)=х тенгик уринли булади. Бу ердан

Демак, х0 булганда  f/х нисбат лимитга эга эмас, яъни f^/(0) хосила мавжуд эмас.

Xulosa
Хосиланинг механик маъносини курсатиш учун х аргументни вакт моменти, у=f(x) функцияни эса тугри чизик буйлаб харакатланаётган моддий нуктанинг х вакт моментига босиб утган масофаси деб караймиз. Бу холда f орттирмаси х вакт ичида моддий нуктанинг босиб утган йулини, f/х нисбат эса унинг V уртача тезлиги моддий нуктанинг х вакт моментидаги V оний тезлигига якинлашиб боради, яъни

демак f’(x) хосила f(x) функциянинг х нуктадаги узгариш тезлигини ифодалайди. у=f(x) функция х нуктада чекли f(x) хосилага эга булса, у шу нуктада дифференциалланувчи дейилади. Функциянинг дифференциалланувчанлиги ва узлуксизлиги орасидаги богланиш куйидаги теорема оркали ифодаланади.

Internet saytlar
Aim.uz
Arxiv.uz
Ziyo.net