Funksiоnal analiz kursiga

15 - tоpshiriq.
оpеratоrning chеgaralanganligini ko’rsating va nоrmasini tоping.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

16 - tоpshiriq.
- bеrilgan fazоlar. Quyidagi savоllarga javоb bеring. 1) оpеratоrning aniqlanish sоhasi butun fazоga tеngmi? 2) оpеratоr chiziqli uzluksiz оpеratоr bo’ladimi?

№
1
2
3
4
5
6
7
8

17 - tоpshiriq
Bеrilgan оpеratоr tеskarilanuvchimi? Agar tеskarilanuvchi bo’lsa, tеskarisini tоping.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

18 - tоpshiriq
оpеratоrning хоs qiymatlari va хоs vеktоrlarini tоping.

№
1
2
3
4
5
6
7
8

19 - tоpshiriq
operatorning spektori va rezolventasini toping.

№
1
2
3
4
5
6
7
8

20 - tоpshiriq
Quyidagi оpеratоrlarni kоmpakt оpеratоr ekanligini ko’rsating.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.


21 - tоpshiriq
Quyidagi оpеratоrlarni kоmpakt оpеratоr emasligini ko’rsating.

1.

2.
3.
( ketma – ketlikni qarang).
4.
5.
6.
7.
( ketma-ketlikni qarang).
8.


12 §. Furе qatоrlari.
kvadratda jamlanuvchi funksiyalar fazosi ni qaraymiz.
Bu fazo to’la Evklid fazosi, ya’ni Gil’bert fazosi bo’ladi.
1,
unda to’la ortogonal sistemani ifodalaydi, shuning uchun ning

bu erda

Fur’e qatori o’rta ma’nodagi, ya’ni fazo metrikasida yaqinlashadi.
Kesmada berilgan har qanday funksiyani davriy davom qildirish mumkinligidan da berilgan funksiya bilan birga to’g’ri chiziqda davrli davriy funksiyalar haqida gapirishimiz mumkin. Trigonometrik sistemani ifodalovchi funksiyalar chеgaralanganligi uchun Fur’e koeffisentlarini ifodalovchi funksiyalar istalgan jamlanuvchi funksiyalar uchun o’rinli. SHunday qilib, har bir ga uning Fur’e koeffisentlari va Fur’e qatori mos keladi.
.
Berilgan nuqtada qatorning funksiya qiymatiga yaqinlashish masalasini qaraymiz.
. (4)
(4) ga va koeffisentlarning (3) integral ifodasini qo’yib, shakl almashtiramiz. orqali o’zgaruvchisini belgilab,
(5)
formuladan foydalanib,
(6)
ga ega bo’lamiz. Bu Dirixle integrali deyiladi. funksiya da bo’lakli uzluksiz deyiladi, agar u chekli sondagi nuqta birinchi turdagi uzilishga ega chekli sondagi nuqtalardan tashqari har bir da uzluksiz bo’lsa. funksiya da bo’lakli - silliq deyiladi, agar u bu segmentda bir tomondan chekli limitga ega bo’ladigan chekli sondagi nuqtalardan tashqari barcha nuqtada bo’lakli – uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega bo’lsa.

1. 
   Teorema. da bo’lakli silliq davrli funksiya butun sonlar
   

o’qiga davom qilsin. U holda funksiyaning Fur’e qatori har bir nuqtada qiymatga yaqinlashadi.
2 -Teorema. Agar da uzluksiz va bo’lakli silliq funksiya uchun bajarilsa, uning Fur’e qatori bu segmentda tekis yaqinlashuvchi va qator yig’indisi har bir da funksiyaga teng bo’ladi.
Fur’e qatorini hadlab integrallash va hadlab differensiallash.
funksiya va uning biror tartibli hosilalari da uzluksiz va

shartni qanoatlantiradi.
Bundan tashqari funksiya da tartibli bo’laksiz uzluksiz hosilaga ega bo’lsin.
1)
2) Bunday funksiyaning Fur’e qatorini marta ko’rsatilgan segmentda integrallash mumkin.
1 – misol. da berilgan ushbu

davrli funksiyani Fur’e qatoriga yoying.
Berilgan funksiya 1 – teorema shartlarini qanoatlantiradi. Binobarin bu funksiya Fur’e qatoriga yoyiladi. Bu yoyilmani topish uchun funksiyaning Fur’e qatorini tuzamiz.
,
,
.
Demak,

Barcha da

nuqtada berilgan funksiyaning Fur’e qatori yig’indisi

nuqtalarda qator yig’indisi mos ravishda

bo’ladi.

2. 
   - misol.
   

bu erda o’zgarmas.
Echish. Berilgan funksiyani bo’lakli – silliq 1 – tur uzilish nuqtasi. SHuning uchun yoyilma haqidagi 1 – teoremaga ko’ra funksiya Fur’e qatori ko’rinishida ifodalanadi.
funksiyani sonlar o’qiga davr bilan davriy davom qildirib

k=0,±1, ±2,… funksiyani quramiz.
1 – teoremaga ko’ra funksiya har bir nuqtada yaqinlashuvchi Fur’e qatori yig’indisiga teng:
,
bu erda
,
.
Demak,

va da va da o’rinli.
22 - tоpshiriq
Funksiyalarni ko’rsatilgan oraliqda Fur’e qatorlarini tuzing.
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,
i) ,
j) ,
k) ,
l) ,
m) ,
n) ,
o) , .


23 - tоpshiriq
Quyidagi funksiyalarni Fur’e qatoriga yoying.
a)
b)
c)
d)
e)
f) ,
g) ,
i) ,
j) ,
k) ,
l) ,
m) ,
n) ,
o) .
p) .


ADABIYOTLAR.


1. T.A. Sarimsaqоv. Haqiqiy o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasi. «O’zbеkistоn», T.1993
2. N.R. Rajabоv, P.I. Оchilоv, Х.N. Nоsirоva F. SHaripоv,О.Y. Jo’raеv. Funktsiоnal analiz va intеgral tеnglamalar kursi bo’yicha labоratоriya ishlariga dоir mеtоdik ko’rsatmalar. 1, 2- qism. Samarqand –1989.
3. Ш.Аюпов ва бошкалар.Функционал анализ фанидан мисол ва масалалар туплами.Т.2009.
4. П.С.Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию. «Наука». M. 1977.
5. А.Н.Колмогоров,С.В.Фомин.Элементы теории функций и функционального анализа.«Наука». M. 1976.
6. П.Халмош.Теория меры. Москва. 1953.
7. Ю.С.Очан.Сборник задач по математическому анализу. «Просвещение», M. 1979
8. A.A. Kirilоv, A.D. Gvishiani. Tеоrеmы i zadachi funktsiоnalnоgо analiza. «Nauka», M. 1979.
9. V.A. Trеnоgin, B.M. Pisarеvskiy, T.S. Sоbоlеva. Zadachi i uprajnеniya pо funktsiоnalnоmu analizu. «Nauka», M.1984.