Funksional analiz

3-teorema. Aytaylikf(x,y) funksiya G={(x,y): a<x<b, -^^)} sohada x bo‘yicha uzlujsiz va y bo‘yicha musbat, chegaralangan hosilaga ega
bo‘lsm:0<f_y’<M. U holda f(x,y)=0 tenglama [a;b] kesmada yagona uzluksiz yechimga ega.
Isboti. C[a;b] fazoni o‘z-o‘ziga aks ettiruvchi Ay=y-Мf(x,y) akslantirishni
qaraymiz. Bu akslantirishning qisqartirib akslantirish ekanligini ko‘rsatamiz. Agar y1 va y2 funksiyalar C[a;b] fazoning elementlari bo‘lsa, u holda
pAwAn ^1АУ1^-АУ2^{1 ,y} -1I'x.V'/i'y -1I'xy'./i
ММ
^ly\^y--1Г'^Уу'^У'^у \^yyyyl < ¹ ‘m_f ¹_^y y2 f^pyyy.')
ММ
bo’ladi. Bu yerda O<0<1.
Demak, ixtiyoriy y₀eC[a;b] nuqta uchun y₁=Ay₀, y₂=Ay_1t ... ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi va limyn=y funksiya f(x,y)=0 tenglamaning [a;b] n ^^
kesmadagi yagona uzluksiz yechimi bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Tekshirish savollari

1. 
   Differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani ayting. Qanday qilib differensial tenglamani taqribiy yechish mumkin?
   
2. 
   n noma’lumli n ta tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining yetarli sharti Rⁿ fazodagi metrikalarga qanday bog‘liq?
   
3. 
   Oshkormas funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teoremani isbotlang.
   

Mashqlar

1. 
   Berilgan a musbat sonning kvadrat ildizini hisoblashda ixtiyoriy x₀> Oa foydalanish mumkinligini isbotlang.
   

formula bilan qurilgan ketma-ketlik yaqinlashishidan

+—
xn-1 )

1 x= n₂

uchun

2. 
   Quyidagi rekurrent formulalar bilan berilgan ketma-ketliklarning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang va limitini hisoblang:
   

x

1. 
   xn = ~ ^n- , (xo =1);
   

2+x
n-1
x

2. 
   xn = _Q n^— , ⁽xo=^-5)
   

3-x n -1

3. 
   f(x) eC[a;b] bo’lsin. y(x)+¹/2siny(x)+f(x)=o tenglama yagona
   

y(x) eC[a;b] yechimga ega ekanligini isbotlang.

www.ziyouz.com kutubxonasi
II-BOB. SEPARABELLIK VA KOMPAKTLILIK
Ushbu bobda metrik fazolarning, sonlar o‘qidagi kabi o‘xshash xossalarini o‘rganamiz.
1-§. Separabel fazo. R ⁿ, C[a,b] va l_p fazolarning separabelligi.
1-ta’rif. (X,p) metrik fazoda M, N to’plamlar uchun M оN bo’lsa, M to‘plam N to‘plamda zich deyiladi. Xususan, agar M to‘plam X da zich bo‘lsa, u holda M hamma yerda zich to‘plam deyiladi.
1-misol. Agar (R ,p) metrik fazoda M = [0,1] n Q, N = [0,1] bo’lsa, u holda
M = [0,1] о N bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra Mto‘plam Nto‘plamda zich.
2-misol. Yuqoridagi misolda N sifatida [0,1] n J to‘plamni qaraymiz. Bu holda ham M to‘plam N=[0,1] nJ da zich bo‘ladi.
3-misol. Agar (R ,p) metrik fazoda M = [0,1] n J, N = [0,1] n Q (yoki N = [0,1], yoki N = [0,2]) bo‘lsa, ravshanki M о N bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra M to‘plam N da zich bo‘ladi.
2-ta’rif. Agar M to‘plam hech bir sharda zich bo‘lmasa, u holda M to‘plam hech qaerda zich emas deyiladi. Ya’ni, agar ixtiyoriy S sharning ichida M to‘plam bilan kesishmaydigan S1 shar topilsa, M to‘plam hech qaerda zich emas deyiladi.
4-misol. (Rⁿ,p) metrik fazoda M = {e1,e₂,...,en} to‘plam, bu yerda e_k = (0,0,...,1,0,...,0) hech qaerda zich emas.
5-misol. (R ⁿ,p) metrik fazo ixtiyoriy chekli to‘plam, hech qaerda zich bo‘lmagan to‘plamga misol bo‘ladi.
3-ta’rif. Agar (X,p) metrik fazoning hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli yoki chekli to‘plam mavjud bo‘lsa, u holda X separabel fazo deyiladi.
6-misol. R ⁿ separabel fazo bo‘ladi. Haqiqatdan ham, R ⁿ fazoda koordinatalari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan nuqtalar to‘plami sanoqli bo‘lib, Rⁿ ning hamma yerida zich.
7-misol. C[a,b] metrik fazo separabel fazo bo‘ladi. Haqiqatdan ham, koordinatalari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan ko‘phadlar to‘plami Pr sanoqli to‘plam va bu to‘plam ko‘phadlar to‘plami P da zich, P esa matematik analizdagi Veyershtrass teoremasiga ko‘ra C[a,b] da zich. Bu esa C[a,b] ning separabel fazo ekanligini ko‘rsatadi.
Endi l_p fazoning separabel ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun D= l_p
X
bo‘ladigan D={x=(x₁,x₂,...), E xk <^X} sanoqli to‘plamning mavjudligini k=1
isbotlash yetarli.
Aytaylik, x e l_p bo’lsin. Bu elementga lp fazoda ushbu ko’rinishdagi sanoqli to‘plamni mos qo‘yamiz:
x⁽¹⁾ = (x1,0,0,...),
x⁽²⁾ = (x₁,x₂,0,0,...),
x⁽ⁿ⁾=(x₁,x₂,...,x_n,0,...),
X 1
Bunda p(x, x⁽ⁿ)) = ( E xk^P) p bo’lib, u etralicha katta n ni tanlash evaziga oldindan k =n+1
berilgan s musbat sondan kichik qilib olinishi mumkin.
x⁽ⁿ) nuqtalar to‘plami bilan bir qatorda quyidagicha aniqlanadigan x⁽ⁿ) musbat nuqtalar to‘plamini qaraymiz:
x⁽¹⁾ = (r₁,0,0,...),
x⁽²⁾ = (r₁,r₂,0,0,...),
x⁽ⁿ⁾ = (r₁,r₂,...,r_n,0,...), bu yerda r₁, r₂,..., r_n ratsional sonlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
i^xi - d < -^, 2 p
x₂-r₂< ₂
1+­
2^p
x_n-r_n<
2^p
Bunday tanlashni har doim bajarish mumkin.
n-мХ n 1 n pP I pP r*
p x-n ⁾_> x < n))=(Si x,-<) p < p s 8+ < P I.=2. i=1 V i=12 V ^{2 2}
Ikkinchi tomondan, yetarlicha katta n-larda p(x,x⁽n)) < o’rinli. Demak, p(x,x⁽n)) < p(x,x⁽ⁿ)) + p(x⁽ⁿ),x⁽n)) < 8 yetarlicha katta n larda o‘rinli. Bundan x nuqtaning ixtiyoriy 8 atrofida x⁽n) nuqtalar mavjud. Bunday nuqtalar to‘plami l_p fazo, demak, l₂ fazo ham separabel fazo ekan.
2-§. L_p fazoning separabelligi Quyidagicha aniqlangan chegaralangan o‘lchovli funksiyalar to‘plamini qaraymiz:
x(t), agar |x(t)| < N, N,agarx(t)> N
Ravshanki, ixtiyoriy e > 0 va ixtiyoriy x(t) e Lp uchun yetarlicha katta N larda x_N (t) funksiyani topish mumkinki, b ¹
P^(X(t), ^XN ⁽t)) = ⁽J|^X(t) - ^XN ⁽t)|p ^dt)p < 3 ⁽¹⁾
a
bo‘ladi. C[a,b] fazoning xossasiga ko‘ra ixtiyoriy s va ixtiyoriy x_N(t) funksiya uchun y(t) e C[a,b] mavjud bo‘lib,
e
p( Xn (t), y (t)) < 3 (2)
o‘rinli bo‘ladi.
O‘z navbatida [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy y(t) funksiya uchun ratsional koeffitsientli p(t) ko‘phad mavjud bo‘lib,
p⁽y⁽t), p⁽t) )< e (3)
o‘rinli bo‘ladi. (1), (2), va (3) munosabatlardan p(x(t), p(t)) < e ekanligi kelib chiqadi.
Ma’lumki, P(t) ko‘phadlar to‘plami sanoqli demak, yuqoridagi mulohazalardan bu to‘plam L_p da sanoqli zich to‘plam bo‘ladi. Bu esa L_p ning separabel fazo ekanligini isbotlaydi.
3-§. Separabel bo‘lmagan fazoga misol
Endi m fazoning separabel emasligini isbotlaymiz. Buning uchun
M={x=(x₁, x₂,...), x_i =0 yoki 1} to‘plamni qaraymiz. M to‘plamning har bir elementi m fazoga tegishli ekanligi ravshan. M to‘plamning ixtiyoriy ikkita elementi orasidagi masofa 1 ga teng. M to‘plamning quvvati kontinuumga teng, haqiqatdan ham, har bir M to‘plamdan olingan har bir x = (x₁, x₂,..., x_i...) nuqtaga 0, x₁, x₂,..., x_i... ikkilik kasrni mos qo‘yamiz. Bu moslik o‘zaro bir qiymatli.
Ravshanki, barcha ikkilik kasrlar to‘plamining quvvati kontinuumga teng.
Endi m separabel bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda m ning hamma erida zich bo‘lgan A to‘plam mavjud bo‘ladi. A to‘plamning har bir elementi atrofida radiusi e = 3 ga teng bo’lgan sharni olamiz. U holda bu sharlarning birlashmasida m fazoning hamma elementlari joylashgan bo‘ladi. Ammo sharlarning soni ko‘pi bilan sanoqli bo‘lganligi sababli M to‘plamning kamida ikkita x va u elementi bitta sharga tegishli bo‘ladi. Shu sharning markazi х nuqtada bo‘lsin. U holda
1 z x z - - , 1 1 2
1 = p( x, y) < p( x, x) + p( x, y) < 3 + 3 = з ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat m to‘plamning separabel emasligini isbotlaydi.
Teorema. Aytaylik, (X,p) separabel metrik fazo bo‘lsin. U holda bu fazoning ixtiyoriy X0 qism to ‘plami ham p metrikaga nisbatan separabel metrik fazo bo‘ladi.
Isboti. (X, p) separabel fazo bo‘lganligi uchun A = {^₁,^₂,...,^_n,...} sanoqli to‘plam mavjud bo‘lib, А =X bo‘ladi.
Ushbu belgilashni kiritamiz:
an = inf p(g_n,x), n = 1,2,3,...
x e X о
Ixtiyoriy n, k natural sonlar uchun infimumning xossalariga ko‘ra shunday
x _me X_o nuqta topiladiki, p(g_n,x _л) < a + — bo’ladi. Biror e > 0 sonni olaylik va k
1 -
u — < — shartni qanoatlantirsin. A to plam X ning hamma yerida zich bo Iganligi k3
sababli ixtiyoriy x0 e X0 uchun shunday n topiladiki,
-
!^p- , x0) < у ^{bo ladi}-
Demak,
11r r2r
p(^, x ,) < a_n + - < p(^, x₀) + - < - + - < —
n^, n,k n n^,0
kk33 3
U holda
- - -
P⁽x0 , xn,,k ) < P⁽x0 £n ) ⁺ P⁽^n, xn,k ) < 3 ⁺ у = ^- •
Shunday qilib, ixtiyoriy x₀e X₀ nuqtaning ixtiyoriy atrofida x_n,k e X₀ ko‘rinishdagi nuqta mavjud. Ya’ni {x_n,k} ko‘rinishdagi to‘plam X₀ fazoning hamma yerida zich. Demak, X₀ separabel metrik fazo.
4-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar

1. 
   Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar.
   

To‘g‘ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har qanday cheksiz to‘plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano- Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasini topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda bunday sodda natija, umuman aytganda, o‘rinli emas. Shuning uchun quyidagi savolning qo‘yilishi tabiiy: Metrik fazoda qanday to‘plamlar sinfi uchun Bolsano- Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? savol munosabati bilan quyidagi muhim ta’rifni kiritamiz.
1-ta’rif. X metrik fazodagi M to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin bo‘lsa, u holda M to‘plam X da kompakt deyiladi.
Misollar. 1) Yuqorida keltirilgan, to‘g‘ri chiziqdagi har qanday kesma;

2. 
   Tekislikdagi r>0 radiusli yopiq shar;
   
3. 
   Tekislikda koordinatalari a<x<b, c<y<d shartlarni qanoatlantiruvchi (x;y) nuqtalar to‘plami kompakt to‘plamlar bo‘ladi.
   

2. 
   To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari.