Funksional analiz

Teorema. Berilgan T: X -> Y chiziqii operator uzluksiz bo ‘lishi uchun uning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Berilgan T chiziqli operator uzluksiz, ammo chegaralanmangan bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda ixtiyoriy n natural son uchun shunday xn e Х element topiladiki, ||Txn||> n||xn|| tengsizlik bajariladi.
Ravshanki, xn Ф 0 . Ushbu у = xn elementni olsak, ko‘rinib turibdiki
nllxnll
llylI = — ^ 0 , ya’ni yn ^ 0. Tuzluksiz bo‘lgani uchun Tyn ^ 0 bo‘ladi. Ammo n
^i|TkI1=4xj 'I ^|Tx^nl1 > 4xj'ⁿ '1^1X111 = ¹¹
Demak , ||TVn|| > 1 . Bu esa Ty_n ^ 0 ekaniga zid.
Yetarliligi. Aytaylik T chegaralangan chiziqli operator bo‘lsin. U holda ta’rifga ko‘ra shunday M topiladiki, ||Tx|| < M -||x|| bo’ladi. Agar {xn} ketma - ketlik 0 ga intilsa, u holda ||xn| | ^ 0 bo’lishi ravshan. Demak,
||Txn 11 < M ■ ||xn |p 0, ya’ni T^Xn ^ 0.
Bundan T operatorning 0 nuqtada va, demak fazoning har bir nuqtasida uzluksizligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Endi normalangan fazolarda operatorning normasini aniqlaymiz.
3-ta’rif. T chiziqli operatorning normasi deb
||T|| = inf{M > 0: ||Tx|| < M ||x||, Vx e X}.
kabi aniqlanadigan songa aytiladi:
Operator normasini hisoblash uchun turli formulalar bor.
Lemma. Normalangan fazo X da aniqlangan T operator uchun tengliklar o‘rinli.
Isboti. Ixtiyoriy M>||t|| son va ||x|| < 1 bo’lgan x element uchun ||Тх|| Tx|| Tx|| < ||t||, ya’ni lx < lx <
sup| |Tx|| < sup| |Tx|| <| |Т|| (*)
Ixl 1=1 lx |<1
bo‘lishi tushunarli.


y₀ = ^x0 elementni olsak, u ll^x oil
Agar ||T||>0 bo‘lsa, u holda 0<b<||T|| tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy b sonni olamiz. Ta’rifga asosan ||TX₀||> b||x₀|| shartni qanoatlantiruvchi, noldan farqli(x₀ Ф 0) x₀ element topiladi. Demak,


>b bo‘ladi va bundan
^holda II У oil =^{1 va} ||T> o| 1 = Exo x₀
sup | |tx|| > b munosabatga ega bo‘lamiz. Olingan b son ||T|| dan kichik ixtiyoriy lx |=1
son bo‘lgani uchun oxirgi tengsizlikdan sup| |Tx|| > ||Т|| tengsizlik hosil bo‘ladi. Bu l|x| 1=1
tengsizlikni yuqoridagi (*) tengsizlik bilan solishtirib kerakli munosabatni olamiz.
Misollar. 4) Nol operator 0x=0 (X ning ixtiyoriy x elementi uchun) tenglik bilan aniqlanadi. Bu holda, ko‘rinib turibdiki ||0|| = 0.

5. 
   Birlik operator I ni qaraymiz. Ixtiyoriy x element uchun Ix=x bo‘lganligi sababli
   

Ml = sup| |2x|| = sup| x | = 1
lx |=1 ||x| 1=1
tenglik o‘rinli. Demak, ||I|| =1.

5. 
   Normalangan X fazoda T chiziqli operatorni quyidagicha aniqlaymiz: Tx = Ax, X- haqiqiy son. U holda
   

|| T|| = sup|| Tx || =sup||Ax || = sup|A|-|| x || =|A|, Ixl И Ixl И Ixl И
ya’ni, ushbu operator uchun ||T|| = |A| ekan.

5. 
   X = Rⁿ, Y = R^m bo‘lsin. n - o‘lchamli X fazoda {e₁,e₂,...,e_n } bazisni, m - Y fazoda { f₁, f₂,..., f_m } bazisni olamiz.
   

Ravshanki, T: X-^Y chiziqli operatorni {e1,e2.....en} bazis elementlarida aniqlash yetarli. Natijada, T operator (ajj) matritsa yordamida aniqlanib, u

x=
£_n) elementga ushbu ko’rinishda qo’llanadi:

a₁₂
a₂₂

a
m2
a
1n


a mn
a
fazolarda Evklid normasini qarasak, u holda T chegaralangan chiziqli operator bo‘ladi, hamda uning normasi
l|T|| = , El a* |² у i, k
kabi hisoblanadi.
Xususan, agar X va Y chekli o‘lchamli fazolar Evklid normasi bilan qaralsa, u holda ixtiyoriy T: X ^ Y chiziqli operator uzluksiz bo’ladi.

2. 
   Chiziqli operatorlar fazosi
   

X normalangan fazoni Y normalangan fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilaymiz.
Har qanday ikki T va S chiziqli operatorlar uchun ularning yig‘indisi T+S va T operatorni л songa ko’paytmasi лT operator quyidagicha aniqlanadi:
4-ta’rif. T va S operatorlarning T+S yig‘indisi deb, shunday N operatorga aytiladiki, u har bir x elementga
N(x)=T(x)+S(x)
elementni mos qo’yadi. Shuningdek, (Л T)(x )= Л T(x).
Ravshanki, N=T+S, Л T operatorlar ham chiziqli operatorlar bo’ladi.
Shunday qilib, X ni Y ga aks ettiruvchi chiziqli operatorlar to‘plami L(X,Y) bu amallarga nisbatan chiziqli fazo bo‘lar ekan.
Operatorlar normasi uchun quyidagi xossalar o‘rinli.
1°. |T|| = 0 ^ T = 0;
2°. ||2T|| = |Х| ||t||, X-haqiqiy son, T: X^Y;
3°. IT1 + T2II<|Till + |TH, T1 : X^ Y; T2 : X^ Y.
Bu xossalarning isboti yuqorida keltirilgan lemma yordamida isbotlanadi.


sup I|T1 x + T₂x|| < sup(|Tx|| + ||T₂x||) < lx l<1 l|x| |<1
Masalan, 3- xossani isbotlaylik:
||T + T2II < sup||(T+T2)( x )||= l|x| <


Demak, L(X,Y) chiziqli fazo yuqorida kiritilgan normaga nisbatan normalangan fazoga aylanar ekan.
Ikki uzluksiz operatorning yig‘indisi va uzluksiz operatorning songa ko‘paytmasi, uzluksiz operator bo‘lishi normalangan fazolardagi amallarning uzluksiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi.
Agar X = Y bo‘lsa, L(X,Y) o‘rniga L(X) yozamiz.
Endi L(X) chiziqli fazoda ko‘paytma kiritamiz. Ko‘paytma sifatida operatorlarning kompozitsiyasi T° S ni olamiz:
TS = T ° S, ya’ni (TS)(x) = T ° S(x) = T(S(x)).
Bu yerda operatorlar tengligini, ya’ni T = S ni X ning ixtiyoriy x elementi uchun bajariladi deb qaralishi kerak: Tx = Sx Vx eX.
Ravshanki, T(SH)=(TS)H; T(S+H)=TS+TH; (S+H)T=ST+HT munosabatlar o‘rinli.
Demak, L(X) algebra ekan. Bu algebrani chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi.
L(X) algebrada ko‘paytmaga nisbatan birlik element mavjud. Bu element I birlik operatordir. Birlik operator, ixtiyoriy x element uchun Ix=x munosabat orqali aniqlanadi.
Har bir T operator uchun TI=IT=T tengliklar bevosita kelib chiqadi.
Misollar. 8) L (R²) - ikki o'lchamli fazodagi chiziqli operatorlar algebrasi bo'lsin. Yuqoridagi ikkinchi misolda aytilganidek bu algebra 2x2 -o'lchamli matritsalar algebrasidan iborat. Algebra kursidan ma’lumki, umuman T va S

matritsalar uchun TS matritsa ST matritsaga teng emas.


Masalan, agar T = I 0


matritsalarni qarasak,


bo’ladi. Demak, TS ф ST.


b
9) L(C[a,b]) - operatorlar algebrasida Tx = jtsx(s)ds, Sx=tx(t) deb olsak, TSx
a


bb


= T(Sx) = j ts(sx(s))ds = t j s²x(s)ds,


bb


STx = S(Tx) = t -j tsx (s) ds = t² j sx (s) ds,


ya’ni, bu holda ham TS ф ST ekan.


Tekshirish savollari

1. 
   Chiziqli funksionalga ta’rif bering.
   
2. 
   Uzluksiz funksionalga ta’rif bering.
   
3. 
   Chiziqli funksionalning uzluksizligi haqida nima deyish mumkin?
   
4. 
   Chiziqli funksionalning normasi qanday aniqlanadi?
   
5. 
   Chiziqli funksionallar to‘plamining chiziqli fazo ekanligi qanday ko‘rsatiladi?
   
6. 
   Berilgan fazoga qo‘shma fazo qanday aniqlanadi?
   
7. 
   Qanday ketma-ketlik sust yaqinlashuvchi deyiladi?
   
8. 
   Sust yaqinlashuvchi ketma-ketlikning qanday xossalari mavjud?
   
9. 
   Qanday operatorga chiziqli operator deyiladi?
   
10. 
    Chiziqli operatorning uzluksizligi haqida nima deyish mumkin?
    
11. 
    Chiziqli operatorning normasi qanday aniqlanadi?
    
12. 
    Chiziqli operatorlar fazosi qanday aniqlanadi?
    

Mashqlar

1.