Funksional analiz

F(x0) > F(x) (1)
tengsizlik bajarilsa, u holda F funksional x0 nuqtada maksimumga ega deyiladi.
Shunga o’xshash, agar x₀ nuqtaning O§(x0) atrofi mavjud bo’lib, bu atrofdan olingan ixtiyoriy x uchun
F(x0)<F(x) (2)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda F funksional x0 nuqtada minimumga ega deyiladi.
Matematik analizdagi kabi, funksional maksimumga yoki minimumga ega nuqtalar ekstremum nuqtalar deb ataymiz.
(1) va (2) tengsizliklardan funksional ekstremumini topishda funksionalning x0 nuqtadagi orttirmasi muhim ahamiyatga ega:
AF = F (x 0) - F (x ).
Ravshanki, agar x 0 nuqtaning shunday O§(x 0) atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofda funksional orttirmasi o‘z ishorasini saqlasa, u holda x0 funksionalning ekstremum nuqtasi bo‘ladi.
Matematik analizdagi kabi orttirmaning bosh qismini ajratib olish masalasini qarash mumkin. Ma’lumki, orttirmaning bosh qismi orttirmaning ishorasini aniqlar edi.
Ta’rif. Agar F funksionalning x₀ nuqta Og(x0) atrofidagi
AF(x)=F(x)-F(x₀)=F(x₀+h)-F(x₀) orttirmasini
AF(x)=L(x₀,h)+r(x₀,h)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, u holda F funksional x0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Bu yerda L(x0,h) funksional h ga bog‘liq chiziqli funksional, r(x0,h) esa h ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik: |r(x0, h)| = o(||h||).
Uning bosh chiziqli qismi bo‘lgan L(x0,h) funksional esa, F funksionalning x0 nuqtadagi differensiali, ko‘p hollarda funksionalning x0 nuqtadagi variatsiyasi deyiladi va 8F (x 0, h) kabi belgilanadi.
Differensiallanuvchi funksionalga misol sifatida C[a,b] fazoda aniqlangan
b
F(x) = jf (t, x(t))dt funksionalni qarash mumkin, bu yerda f(t,x) uzluksiz xususiy
a

b
h(t)dt +jr(t,x,h)dt
a
hosilaga ega bo‘lgan uzluksiz funksiya. Uning orttirmasi quyidagiga teng:

NF =
F (x + h) - F (x) = j (f (t, x (t) + h (t)) - f X t, x (t))) dt =j f— д d dx
aa
Orttirmaning bosh qismi, F(x) funksionalning variatsiyasi
b df (t, x )
= Ht-² h (t) dt
dx
a
д • d • д d • • д д df . , , .
Orttirma ifodasidagi ikkinchi qo shiluvchining moduli — ning uzluksiz dx
bo‘lganligi sababli, ||h|| ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik bo‘ladi.
2-§. Differensiallanuvchi funksionalning ekstremumi
F(x) funksionalning x0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy shartini aniqlash maqsadida bu funksionalni f (t)= F(x₀ +th) ixtiyoriy tayin h da t o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida qarash qulay bo‘ladi. Ma’lumki, f(t) funksiyaning t=0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy sharti f '(t) hosila mavjud bo‘lganda f(0)=0 dan iborat edi. Buni e’tiborga olib, quyidagi teoremani isbotlaymiz.
1-teorema. Agar differensiallanuvchi F(x) funksionalning x0 nuqtada ekstremumga ega bo ‘Isa, u holda uning SF(x0, h) variatsiyasi x₀ nuqtada normasi yetarlicha kichik bo‘lgan barcha h larda nolga teng bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik F(x) funksionalning x0 nuqtada differensiallanuvchi va shu nuqtada ektremumga ega bo‘lsin. Bu f (t)= F(x₀ + ht) funksiya t=0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiyaning ixtiyoriy h da ekstremumga ega bo‘lishiga teng kuchli. t=0 da f '(t) ning mavjud ekanligini isbotlaymiz.
f(t)-f(0) F(x₀+th)-F(x₀) SF(x₀+th)+r(x₀,th)
tt t




tSF(x₀,h)₊r(x₀,th)
tt

=SF(x₀h)+

r(x₀,th)
t


bu yerda F(x₀,th)= tF(x₀,h) chiziqli funksionalning bir jinsli ekanligidan foydalandik. t ^ 0 intilganda r(xt,t^) nolga intiladi, chunki |r(x0, th)| = o||th||.
r(x₀,th)
Demak, t ^ 0 va ixtiyoriy h da —г—л—!• ^ 0 .
Ithll
Shunday qilib, funksionalning ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy sharti ixtiyoriy h da f'(0) =SF(x₀h) =0 (h norma jihatdan yetarlicha kichik) bo‘ladi.
Yuqoridagi shart bajariladigan nuqtalar, matematik analizdagi kabi, statsionar nuqtalar deb ataladi. Bu nuqtalarda ekstremum mavjud bo‘lishi mumkin. Ammo bu topgan shart faqat zaruriy shart bo‘lganligi sababli, statsionar nuqtalarda funksional ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin va funksional orttirmasi bunday statsionar nuqtaning istalgan atrofida turli ishoralarni qabul qiladi.
www.ziyouz.com kutubxonasi
3-§. Eyler tenglamasi
Funksional analizning turli tatbiqlarda ushbu
b
F (У) = J f (x, У, У ‘) dx
a
ko‘rinishdagi funksional tez-tez uchrab turadi. Bu yerda f funksiya xOy tekislikning biror G sohasida ixtiyoriy y‘ uchun, hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan uch o‘zgaruvchili funksiya.
F(y) funksional chiziqli normalangan differensiallanuvchi funksiyalar fazosi S ning biror M qism to‘plamida aniqlangan.
Bu funksionalning differensiallanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun funksionalning y nuqtadagi orttirmasini qaraymiz:
b
AF (y) = J (f (x, y (x) + h (x), y ‘(x) + h ‘(x)) - f (x, y, y ‘)) dx =
a
A b
h‘(x) dx + J r(x, y, y', h, h')dx
a
bu yerda birinchi qo‘shiluvchi h(x) ga nisbatan chiziqli, so‘nggi integral esa xususiy hosilalarning uzluksizligi evaziga max{|h(x)), h'(x)} ga nisbatan yuqori tartibli chiksiz kichik.
Funksional variatsiyasi quyidagiga teng:
8F (y, h) = J (—h (x) + f^—h'(x)) dx
a ^ду ^дy y
M to‘plam [a,b] kesmaning uchlarida teng qiymatlar qabul qiladigan y(x) funksiyalardan iborat bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni geometrik nuqtai nazardan funksionalni A(a,y(a)) va B(b,y(b)) nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziqlar to‘plamida qaraymiz.
Funksional variatsiyasini nolga tenglashtiramiz:
^f ( d f


(1)
J 7-h⁽x)⁺
J Я1?
va ikkinchi qo‘shiluvchini bo‘laklab, integrallaymiz: bdf_/V4л df... bd dff_v/
I —h( x) dx = —h (x) -I —(—) h (x) dx. a^dу ^дy a i^{dx д}y
fhh(x) ^b = 0, chunki h(b) = h(a) = 0. dy'
Demak,


(2)
I f h'(x)dx = -1—(—)h'(x)dx д d y‘ d dx d y'
aa

1. 
   va (2) dan funksional variatsiyasi uchun quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz: