Funksional analiz

R2, £2, C [a,b] fazolarda aniqlangan funksionallarga misollar keltiring.

y=ax+b chiziqli sonli funksiya additiv funksional bo‘ladimi?

R²₂ tekislikda aniqlangan z=ax+by funksional additiv bo‘ladimi?

C [0,1] da aniqlangan ushbu funksionallar additiv bo‘ladimi?

1. 
   F (f f ) = f (2)
   

2. 
   F (f) = | f (1)|
   

c) F (f) = max f (x) d) F (f) = f (1) + f (1) + f' (1)
0< x <1 2 3 4

5. 
   Ixtiyoriy additiv funksional uchun Vx e E da F(0) = 0, F(-x) = -F(x) ekanligini isbotlang.
   
6. 
   Ixtiyoriy additiv funksional, Vx e E va ixtiyoriy A ratsional son uchun F (Ax) = AF (x) ekanligini isbotlang.
   
7. 
   Aytaylik, F funksional R² normalangan fazoda aniqlangan bo‘lsin. U holda
   

F (x) = Y ax,
i=1
formula, bu yerda x_t (i = 1,2,...,n) -x vektorning biror bazisga nisbatan koordinatalari, ai (i = 1,2,...,n) ixtiyoriy haqiqiy sonlar, Rⁿ da additiv bir jinsli funksionallarning umumiy ko‘rinishini aniqlashini isbotlang.

8. 
   Additiv, ammo uzluksiz bo‘lmagan funksionalga misol keltiring.
   
9. 
   Ixtiyoriy additiv va uzluksiz funksional bir jinsli ekanligini isbotlang.
   
10. 
    Agar F additiv funksional E fazoning 0 elementida uzluksiz bo‘lsa, u holda u E da uzluksiz ekanligini, ya’ni chiziqli ekanligini isbotlang.
    

X

11. 
    Aytaylik, Y_ioc_kx_k (x_k e E, a_k e R) yaqinlashuvchi bo’lsin. E da chiziqli k=1
    

funksional F uchun quyidagi munosabat o‘rinli ekanligini (sanoqli distributivlik xossasi) isbotlang:

(o‘quv qo‘llanma) 1
KIRISH 2
I-BOB. METRIK FAZOLAR 6
1.1.Metrik fazoning ta’rifi. 6
1, agar х ф у bo'lsa, 7
0, agar х= у bo'lsa 7
I x + y 9
2-§. Metrik fazoda ba’zi bir geometrik tushunchalar 10
2.1. Ochiq va yopiq sharlar, nuqtaning s atrofi 10
2.2.Chegaralangan to‘plam. 11
2.3.To‘plamning urinish, limit nuqtalari 11
2.4.To‘plamning yopilmasi 12
3-§. Metrik fazodagi ochiq va yopiq to‘plamlar 16
3.1.Yopiq to‘plam va uning xossalari, misollar. 16
3.2.Ochiq to‘plam va uning xossalari, misollar. 16
x+ y >5; 18
4-§. Metrik fazoda yaqinlashish tushunchasi 18
4.1.Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar. 18
4.2.Yaqinlashuvchi ketma-ketlik xossalari. 19
4.3.Ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nolari. 22
5-§. Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar 24
4.3.Uzluksiz akslantirishning xossalari. 25
6-§. To‘la metrik fazolar. To‘ldiruvchi fazo 28
6.2.To‘la metrik fazoning ta’rifi, misollar. 28
6.3.Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi 29
6.4.To‘ldiruvchi fazo haqidagi teorema 30
7-§. Qisqartirib akslantirish prinsipi 34
7.1.Akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi. 34
^ y = x + y + 1 34
7.2.Qisqartirib akslantirish. 34
7.3.Qisqartirib akslantirish prinsipi. 35
8-§. Qisqartirib akslantirishning tatbiqlari 37
8.1.Differensial va integral tenglamalarga tatbiqi 37
8.3.Matematik analizdagi tatbiqi. 40
i^xi - d < -^, 2 p 46
e 48
3-§. Separabel bo‘lmagan fazoga misol 49
1 - 49
- 49
!^p- , x0) < у ^{bo ladi}- 49
11r r2r 50
p(^, x ,) < a_n + - < p(^, x₀) + - < - + - < — 50
- - - 50
4-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar 51
4.1.Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar. 51
4.2.To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari. 51
4.3.n-o‘lchamli fazoda kompakt to‘plamlar 52
5-§. Kompaktlik kriteriyasi 56
s 56
6-§. C[a,b] fazodagi to‘plamning kompaktligi 59
^{f( (x} )| < k 59
|x₁ - x 2| < 8 59
-- - 60
+ —< k + — < k, k = max k +—, 60
- 60
- 61
\f⁽x)^- )| = |^{f (}x)^{- f (}x_k) + ^{f (}x_k)^- ) + ^И xk)^{- И} x )| < < I^{f (}x)^{- f (}xk )|⁺1^{f (}xk)^- ^⁽ xk )|⁺И xk)^- ^⁽ x )| 61
7-§. Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar 63
7.1.Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida. 63
7.2.Uzluksiz funksionalning xossalari. 63
7.3.Kantor teoremasi. 64
|^f(x2 ⁾ — ^f(x 1 ) < ^ 64
1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari 66
2-§. Normalangan fazolar 70
s 73
s 73
+ | ^fm ⁽x 0) - ^{f (}x 0)| ^| |^f - ^fm\ |+ J + | |^f - ^fm\|< 3^ + 3^ + 3^ = ^S 73
3-§. Evklid fazolari 74
0 < ф < п. 76
cosф = 76
|^(X,у) -^(Xn,у_п) < |⁽X,у -у_п) + |⁽X-^Xn,у_п) <||^X|| ||у -у_п\| + |I^х- ^Xn|| ||уп|| 76
||х + у| |² +1 |х - у| |² = 2 (| |x| |² +1 |у| |²) 76
4-§. Gilbert fazolari 78
H = ^lim|Ixnll = ^limV⁽xn , xn 78
5 - §. Chiziqli funksionallar 83
2.1.Chiziqli funksional uzluksizligi. Normalangan fazolardagi chiziqli funksionallar. 83
2.2.Chiziqli funksional normasi. Qo‘shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi. 85
6-§. Chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning uzluksizligi, xossalari 87
6.1. Chiziqli fazolardagi chiziqli operatorlar 87
6.2.Normalangan fazolardagi chiziqli operatorlar 88
^holda II У oil =^{1 va} ||T> o| 1 = Exo x₀ 90
6.3.Chiziqli operatorlar fazosi 91
IV BOB. FUNKSIONAL ANALIZNING VARIATSION HISOBDAGI TATBIQI 103
1-§. Differensial, funksionalning variatsiyasi 103
д • d • д d • • д д df . , , . 105
2-§. Differensiallanuvchi funksionalning ekstremumi 106
3-§. Eyler tenglamasi 109
J 7-h⁽x)⁺ 110
J Я1? 110
4-§. Braxistoxron haqidagi masalaning yechimi 112
ds 1+ + У % 112
¹⁺^’²^-y, ^y = C=-U-. 113
^y1⁽¹+y^,2) VCI 113
y^,2 = — ^y 113
01 - sin 01 _ x funksiyalar, to‘plamida qarab, boshqa statsionar nuqta topganimiz yo‘q. Demak, bu holda masala bir qiymatli yechiladi. 114
5-§. Eng kichik yuzli aylanma sirt haqidagi masala 116
6-§. Funksional analizning variatsion hisobdagi boshqa tatbiqlari haqida 118
1-§. Banax algebralari 120
(x,a) + (y, в) = (x + У,a + в), /(x,a) = ( yx, ya), 121
(x ,a )•( y, в ) = ( xy + a y + ex ,яв), 121
||( x ,a)-( y, в )|| = || (xy + a y + fix ,a0) || = || xy + a y + fix || + |a^| < 121
xnyy,- - xy|| = ||(^xn — ^x) У_п + ^x (У_п — У )|| ^- 122
-I l^y 1’1 l^{x - x}ll+1 l^xl I ’I\n—^{- y}ll ^ 0 122
ь * я=1 kl=1 126
- X XIxn41у^ 126
2-§. Involyutiv algebralar 127
3-§. Spektr va rezolventa 129
xlln⁺¹ 130
<^x 130
^<1-H 130
(Ле - x)^-1 = (Ле - x” )-1 (Л^-1e + Л-2x + ••• + xⁿ-1) 132
4-§. Gilbert fazosida aniqlangan operatorlar 132

tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli ekanligini isbotlang.

12. 
    (*) shartni qanoatlantiruvchi barcha K lar ichida eng kichigi mavjudligini isbotlang.
    
13. 
    C[a,b] fazoda d(f)=f(x0), bu yerda x 0e[ a,b ], funksional berilgan. Uning chiziqli funksional ekanligini ko‘rsating va normasini toping.
    

n

14. 
    C[a,b] fazoda F(f)= ^f(xk), bu yerda x 1, x2, ..., xn nuqtalar [a,b]
    

k=1
kesmaning tayinlangan nuqtalari, funksional aniqlangan. Bu funksionalning chiziqli ekanligini ko‘rsating va normasini toping.

15. 
    Aytaylik, x1, x2, ., xn nuqtalar [a,b] kesmaning tayinlangan nuqtalari,
    

n
X1, X2, ..., X_n ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo’lsin. U holda F(f)= ^ Akf (xk) funksional k=1
n
C[a,b] fazoda chiziqli va uning normasi || F ||= ^| Ak | ekanligini ko’rsating. k=1
b

16. 
    F(y) = jy(x)dx funksional C[a,b] fazoda chiziqli ekanligini ko’rsating. a
    

Bu funksionalning normasi nimaga teng?
1

17. 
    F(y)=j(1-x²)y(x)dx funksional C[0,1] fazoda chiziqli ekanligini 0
    

ko‘rsating. Bu funksionalning normasi nimaga teng?

18. 
    C[-1,1] fazoning 0 nuqtada differentsiallanuvchi bo‘lgan funksiyalaridan
    

iborat bo‘lgan C’ qism fazosida
F(y)=y’(0)
funksilnalni qaraylik. Bu funksional chiziqlimi?
Yechish. Funksionalning additivligi o‘z-o‘zidan ravshan. Bu funksional uzluksizmi? Bu savolga javob berish maqsadida grafigi 4-rasmda berilgan yn(x) funksiyani qaraymiz, bu erda a_n burchak uchun tgan=n (n e N) tenglik bajariladi. Bu funksiya uchun F(yn )=Уп ’(0)= tga n=n.
||yn(x)||=1 bo‘lganligi sababli
yuqoridagi tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin: |F(yn)|=n||yn||.
Bundan har qanday K>0 son olmaylik, shunday yn(x), n>K funksiya topilib, |F(yn)|=n||yn||> K||yn|| o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Boshqacha aytganda barcha y lar
uchun 4- rasm
|F(y)|<K||y||
shartni qanoatlantiruvchi K sonini topib bo‘lmaydi. Bu esa funksional uzluksiz emasligini, demak chiziqli emasligini bildiradi.

19. 
    Aytaylik, x=(x 1, x₂, ..., x_n)e R2 bo'lsin. Ushbu formula
    

n
F⁽x)E^{ax (1)}
i =1
bu erda, a1, a₂, ..., an -ixtiyoriy haqiqiy sonlar, Rⁿn fazodagi chiziqli funksionalning umumiy ko‘rinishini aniqlashini va uning normasi uchun quyidagi formula o‘rinli ekanligini isbotlang.

20. 
    R²₂ fazoda aniqlangan chiziqli funksional (1,1) va (1,0) nuqtalarda mos ravishda 2 va 5 qiymatlarni qabul qiladi. Bu funksionalning (3,4) nuqtadagi qiymatini toping. Bu funksionalning normasi nimaga teng?
    
21. 
    R2 fazoda aniqlangan chiziqli funksionalning normasi л/13 ga , uning (1,1) nuqtadagi qiymati -1 ga teng. Bu funksionalning (0,1) nuqtadagi qiymatini toping.
    
22. 
    (1) formula R₁ⁿ fazodagi chiziqli funksionalning umumiy ko‘rinishini ifodalashini va uning normasi
    

|| F ||= m^ax^{{| a}i^|}
1< i < n
formula bilan hisoblanishini isbotlang.

23. 
    R₁² fazodagi chiziqli funksionalning normasi 6 ga teng, uning (1,2) nuqtadagi qiymati 2 ga teng. funksionalning (-1,2) nuqtadagi qiymatini toping.
    
24. 
    (1) formula R” fazodagi chiziqli funksionalning umumiy ko’rinishini ifodalashini va uning normasi
    

n
||F||=£|a«|
i=1
formula bilan hisoblanishini ko‘rsating.

25. 
    R2 fazodagi chiziqli funksionalning normasi 4 ga teng, uning (2,1) nuqtadagi qiymati 5 ga teng. funksionalning (1,1) nuqtadagi qiymatini toping.
    
26. 
    Ixtiyoriy E fazo uchun uning E* qo‘shma fazosi to‘la ekanligini isbotlang.
    
27.