Funksional analiz

R 2	Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej) x = (X1, x 2,..., xn)	II^x 11=^
n Z xk k=1
R	Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej) x = (X1, x 2,..., Xn )	n H = ZI x-kl k=1
r x	Haqiqiy sonlarning tartiblangan chekli ketma-ketligi (kortej) x = (x1, x 2,..., xn)	llxll=maxlxk-l
^ 2	X Ushbu Z xk ^2 sharti k=1 qanoatlantiruvchi x = (x1, x 2,..., xn...) cheksiz sonlar ketma-ketligi.	И=J		X Z xt^2 k=1
A	X Ushbu sharti Z |xk| < x k=1 qanoatlantiruvchi a = (xp x 2,..., xn,...) cheksiz sonlar ketma-ketligi.	X И = ZI xkl k=1
m	Chegaralangan ketma-ketliklar	llxll = sup l^xkl 1< k
C2[ a,b ]	[ a,b ] da uzluksiz funksiyalar	llfl1=^	b j* f ^2( x ) dx a
C1[ a,b ]	[ a,b ] da uzluksiz funksiyalar	b llfl |=л f^(^x) dx a
C[a, b]	[ a,b ] da uzluksiz funksiyalar	Ilf 1 = ^maxl f^(^x )l ^11 11 a < x < b ^1 1
Dn [ a,b ]	[ a,b ] da barcha n-chi tartibli xosilalarigacha uzluksiz bo‘lgan funksiyalar.	I fl 1 = max fk(x) k = 1,2,...,n a < x < b ^1

3-§. Evklid fazolari
Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini ko‘rib chiqamiz.
Ta’rif. Haqiqiy E chiziqli fazoning ikki x va y elementlari uchun aniqlangan, (x,y) ko‘rinishida belgilanuvchi va quyidagi

1. 
   (x, y) = (y,x) ;
   
2. 
   (x₁ +x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y);
   
3. 
   (Ax,у) = A(x,y), Ae R ;
   
4. 
   (x,x) > 0;(x,x) = 0 <=> x = 0
   

to‘rt shartni (aksiomalarini) qanoatlantiruvchi funksiya skalyar ko‘paytma deyiladi: Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi. Skalyar ko‘paytma yordami bilan Evklid fazosida norma quyidagicha kiritiladi:
M=7( х, х).
Bu yerda arifmetik ildiz nazarda tutilgan.
Normaning birinchi sharti skalyar ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan bevosita kelib chiqadi. Normaning ikkinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi aksiomasi natijasidir.
Haqiqatan, ||Лх|| = ^{Ax, Лх) = Jd²( х, х) = |Л| • | |х| |.
Normaning uchinchi shartini isbotlash uchun biz oldin, quyidagi Koshi- Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz:
|( x, у )| <| Ixllllyll ⁽¹⁾
Isboti. Ixtiyoriy Л son olib quyidagi ifodani tuzamiz:
p(a) = (Ax + у, Ax + у) = A (x, x) + 2A(x, у) + (у, у) = ||x||² A + 2(x, у)A +1|y||².
Ushbu ^(A) = ||Ах + y||² > 0 munosabatiga ko‘ra ^(A) kvadrat uchhadning diskriminanti (х, у)² -||х|| J|y|| musbat emas, ya’ni (х, у)² < ||х||²||у||².
Bu tengsizlikdan kerak bo‘lgan (1) tengsizlik kelib chiqadi. Shunday qilib,
|х + у|f = ^(1) = ||х|I² + 2(X^,у) + ||у|I² <||х|f + —|х|||у||+||у|f = (||х|| + ||у||)2. Ya’ni normaning uchunchi aksiomasi ||х + у || < | |х| | +1 |у|| isbotlandi.
Skalyar ko‘paytma yordami bilan, Evklid fazosida ikki element orasidagi burchak tushunchasini kiritish mumkin:




cosф =

(x, y)
ИН

0 < ф < п.


Bu tenglikning o‘ng tomonidagi ifodaning absolyut qiymati Koshi- Bunyakovskiy tengsizligiga binoan birdan katta emas, ya’ni har qanday noldan farqli x va y uchun ф aniqlangan.
Agar (x,y)=0 bo‘lsa, u holda ф = — bo‘ladi. Bu holda x va y elementlar ortogonal deb ataladi.
Agar x element A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lsa, u holda x element A to’plamiga ortogonal deyiladi va x±A kabi belgilanadi.
A1 to‘plamining har bir elementi A— to‘plamining ixtiyoriy elementiga ortogonal bo'lsa, A₁ va A2 to'plamlar ortogonal deyiladi va A ₁1A2 bilan belgilanadi.
Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz.

1. 
   Agar х_п ^ x, у_п ^ у norma ma’nosida yaqinlashsa, u holda
   

(х_п, у_п) ^ ( x , у) bo'ladi (skalyar ko'paytmaning uzluksizligi).
Isboti. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
|^(X,у) -^(Xn,у_п) < |⁽X,у -у_п) + |⁽X-^Xn,у_п) <||^X|| ||у -у_п\| + |I^х- ^Xn|| ||уп||
Yaqinlashuvchi {у_п} ketma-ketlikning normasi chegaralangan bo‘lgani uchun oxirgi ifoda nolga intiladi.

2. 
   Evklid fazosining ixtiyoriy x, y elementlari uchun
   

||х + у| |² +1 |х - у| |² = 2 (| |x| |² +1 |у| |²)
tenglik o‘rinli (parallelogramm formulasi).
Haqiqatan,
х+у²+х-у²=(х+у,х+у)+(х-у,х-у)=(х,х)+(х,у)+(у,х)+
+(у, у) + (х, х) - (х, у) - (у, х) + (у, у) = ² (| |х| |² +1 |у| |²)

3. 
   а) х 1 у1 va х 1 у2 munosabatlaridan х 1 (Лу1 + llv2) munosabat kelib chiqadi (Л, ^-haqiqiy sonlar).
   

2. 
   х 1 у_п (n=1,2,...) bo’lib, {y_n} ketma-ketlik y elementga yaqinlashsa, u holda x1y bo’ladi.
   

Darhaqiqat, х ± у_п bo’lgani uchun (х,у_п) = 0, y_n ^ y dan 1-xossaga asosan (х,у_п) ^ (x,У)• Demak, (х,у) = 0, ya’ni х ± у bo'ladi.

2. 
   х ± А bo'lsa, u holda х ± L[A] bo'ladi.
   
3. 
   A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan barcha elementlar to'plamini A¹ bilan belgilaymiz.
   

a) xossasiga asosan A¹ to'plam E ning vektor qism fazosi bo'ladi. b) ga asosan A¹ yopiq. Demak, A¹ to‘plam normalangan E fazosining qism fazosi ekan.

4-§. Gilbert fazolari
Evklid fazosini normalangan fazo sifatida qarasak, u to‘la bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar E Evklid fazosi to‘la bo‘lmasa, u holda uning to’ldiruvchisi bo’lgan Banax fazosini E bilan belgilaymiz.