Funksional analiz

R to‘g‘ri chiziqdagi musbat sonlar to‘plami chiziqli fazo bo‘lmaydi. Chunki, a musbat son uchun qarama - qarshi element - a bu to’plamga kirmaydi. Bu to‘plamni R dagi konus deyish mumkin.

Elementlari funksiyalar yoki sonli ketma-ketliklar bo‘lgan chiziqli fazolar funksional fazolar deyiladi. Shunday fazolarga ham misollar keltiramiz.

2. 
   l2 haqiqiy fazo. Uning elementlari
   

X
El хп1² <^X (1)
п=1
shartni qanoatlantiruvchi x=(x1, x2, . . . , xn, . . .) ketma-ketliklardan iborat. Bu fazoda amallar quyidagicha kiritiladi:
(x1, x2, . . . , xn, . . .)+(y1, y2, . . . , yn, . . .) = (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn, . . .),
a(x1, x2, . . . , xn, . . .) = (ax1, ax2, . . . , axn, . . .).
l2 fazo chiziqli fazo bo‘lishi uchun yuqoridagi kabi kiritilgan, ikki element yig‘indisi ham shu fazoda yotishi kerak. Bu esa (1) shartni qanoatlantiruvchi ikki ketma - ketlik yig‘indisi ham shu shartni qanoatlantirishidan, bu tasdiq esa (a1+a2)² <2a1² + 2a2² sodda tengsizlikdan kelib chiqadi.

2. 
   Biror [a,b] oraliqda aniqlangan uzluksiz haqiqiy funksiyalar to‘plami C[a,b] ni qaraylik. Funksiyalarni odatdagi qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan C[a,b] chiziqli fazo hosil qiladi.
   

2-§. Normalangan fazolar
Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo’yuvchi ||-||:X^R akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish

1. 
   Har doim ||x||>0. Shuningdek, x=0 uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x||=0 bo’lsa, u holda x=0;
   
2. 
   Ixtiyoriy X son uchun ||Xx ||=|X|-|| x ||;
   
3. 
   Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||<||x||+1|y|| shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
   

Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart uchburchak aksiomasi deyiladi.
Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son x elementning normasi deyiladi. Agar p(x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda p(x,y) metpika ekanligi bevosita ko’rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi.
Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin.
Ta’rif. Nol, 0 elementning s>0 atrofi deb, U={x: ||x||<S to’plamga aytiladi.
Bu kiritilgan U to‘plam, norma yordamida aniqlangan metrika tilida, markazi 9 nuqtada, radiusi s bo’lgan ochiq shar deyiladi.
Shuningdek, xeX elementning s atrofi deb x+U to’plamga aytiladi.
Eslatib o’tish lozim, V={x: ||x|| to’plam markazi 9 nuqtada, radiusi s bo‘lgan yopiq shar deyiladi.
Kelgusida, X1={x: ||x||<1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari deyiladi.
Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun, normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin.
Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi:
Aytaylik X normalangan fazoda {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar biror x element uchun {||xn-x||} sonli ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo’lsa, u holda {x_n} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va xn^x kabi belgilanadi.
Shuningdek, agar {||xn-xn+m||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik fundamental deyiladi.
Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi.
To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi.
Misollar. 1) Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda R ¹ chiziqli fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi.

2. 
   n o‘lchamli Rⁿ haqiqiy fazoda x=(x1, x2, . . . , xn) element uchun normani quyidagicha kiritamiz:
   

П П 2
И=V21I xj (1)
Bunda normaning 1, 3 shartlari bajarilishi ravshan, 2 shart esa Koshi - Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.
Shu Rⁿ fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin: n
llxl I=Ё1 xj ⁽²⁾ ii x ii«>=max i xk | ³
k=1 ⁿ

4. 
   m chiziqli fazoda x=(x1, x2, . . . , xn . . .) elementining normasi deb
   

|| x||= sup | x_n | songa aytamiz. Bu misol uchun norma aksiomalari bevosita 1< n <^rs-
tekshiriladi.
Normalangan X fazoning X0 vektor qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda X0 ni normalangan X fazoning qism fazosi deyiladi.
Uchinchi misoldagi С[а,b] fazoda olingan P(x) ko’phadlar to’plami yopiq bo‘lmagan vektor qism fazoga misol bo‘ladi. Demak, normalangan fazo ma’nosida P(x) fazo С[а,b] ning qism fazosi emas.
Normalangan X fazoda biror A to‘plamning chiziqli qobig‘i bo‘lgan L[A] vektor qism fazoni olamiz. L [ A] ni A to‘plamning chiziqli yopilmasi deyiladi.
Agar elementlarning biror {xn} sistemasi uchun, uning chiziqli yopilmasi X fazoning o‘ziga teng bo‘lib qolsa, u holda {xn} sistema to‘la sistema deyiladi.
Yuqoridagi R ¹, Rⁿ, C[a,b] fazolarning to‘laligini ko‘rsatish mumkin, (masalan [1,2,3] kitoblarga qarang). Demak, ular Banax fazolaridir.
Yana misollar ko‘ramiz.

4. 
   C2[ a, b ] - kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar fazosida
   

normani quyidagicha kiritamiz:
Norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. Uchburchak aksiomasi umumiy holda isbotlangan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Bu fazoning to‘la emasligi [3] da ko‘rsatilgan.

4. 
   l2 haqiqiy fazoda normani
   

l|x| 1= \|E X² , x=(x 1, x2, • • • ,Xn, • • •)
V n = 1
ko’rinishida kiritsak, 12 fazo B - fazoga misol bo’ladk
Banax fazosiga muhim bir misol ko’ramiz^ X kompakt to’plam bo’lib, C(X) fazo X da aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi bo’lsiin Ravshanki, C(X) chiziqli fazo bo’ladk
Bu fazoda normani quyidagicha kiritamiz: ||/| | = sup | f (x )|.
xG X
Bu sonning chekli ekanligi II bob 7-paragrafdagi 2-teoremadan kelib chiqadi. Normaning xossalari esa bevosita tekshiriladi.
Teorema. C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik { f_n(x)} fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni, ixtiyoriy s > 0 uchun shunday N natural son topiladiki, ixtiyoriy m, n > N uchun \f_n (x) - fm (x)| < ^s tengsizlik hamma x nuqtalarda bajariladi. Bitta х g Х nuqtani tayinlab, { f_n(x)} conli ketma-ketlikni qarasak u fundemental bo‘ladi. Demak, { f_n (x)} biror f (x) songa yaqinlashadi.
Yuqoridagi tengsizlikda t bo‘yicha limitga o‘tsak,
\f_n^(x)^{- f (x})| ^ ^s, ya’ⁿⁱ ||^fn ^{- f} 11 ^ ^s
munosabat hosil bo'ladi. Demak, {f_n (x)} ketma-ketlik f(x) funksiyaga yaqinlashadi. Endi f (x) ning uzluksizligini isbotlash kifoya.




Ixtiyoriy s> 0 uchun shunday m con

topiladiki, ||^f - ^fm||

s
<₃ tengsizlik

o‘rinli bo‘ladi. Ushbu m conni tayinlab olsak, f_m(x) funksiya ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksiz bo‘ladi, ya’ni x0 nuqtaning shunday U_x0 atrofi topiladiki, ixtiyoriy х GU_x0

^nuqt^ada |^fm ^(x) ^{- f}_m ^(x0)|
s
<₃ tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy х GU_x0
nuqta uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
|^{f (x}) — ^{f (x}0 )| ^ I^{f (x}) ^{- f}m ^(x)| + I ^fm ^(x) ^{- f}m ⁽x0 )| +
+ | ^fm ⁽x 0) - ^{f (}x 0)| ^| |^f - ^fm\ |+ J + | |^f - ^fm\|< 3^ + 3^ + 3^ = ^S
ya’ni, f(x) uzluksiz funksiya.
Ushbu paragraf so‘ngida asosiy normalangan fazolarni jadval shaklida keltiramiz:

Belgilash

Fazo elementlari

Norma uchun formula