Funksional analiz

Teorema. Agar SF(x,h) = 0 bo‘lsa, u holda


(3)
df d df
= о
dx dx dy'
bo‘ladi.
Isboti. Haqiqatdan ham, agar biror [ a1, b1 ]c[ a, b ] kesmada
df d df
— >- > 0 (< 0) bo Isa, u holda [a 1,b 1] da musbat, bu segment tashqarisida
dy dx dy y
nolga teng bo‘lgan uzluksiz h(x) funksiyani olamiz.
Bu holda SF(x,h) >0(<0) bo‘lgan bo‘lar edi. Bu ziddiyat (3) tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlaydi.
(3) tenglik Eyler tenglamasi deyiladi. Shunday qilib, berilgan funksionalning statsionar nuqtasini, Eyler tenglamasini qanoatlantiruvchi y(x) funksiyani amalda topish usulini bilamiz.
Eyler tenglamasining umumiy yechimi ikkita ixtiyoriy o‘zgarmasni o‘z ichiga oladi, bu o‘zgarmaslarni kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilish shartidan topish mumkin. Ammo topilgan statsionar nuqta (ular bir nechta bo‘lishi ham mumkin), ya’ni topilgan egri chiziq, ekstremum bo‘lishi aniq emas. Shuningdek, agar ekstremum bo‘lsa, uning minimum yoki maksimum ekanligi aniq emas.
Funksional analiz universitet kurslarida [1, 2] bu masalani yechish uchun analitik munosabatlar keltiriladi.
Ekstremum bo‘ladigan egri chiziqlar ekstremal deb ham yuritiladi.
Yuqoridagi muammo amalda masalaning mazmunidan va ekstremalga yaqin bo‘lgan egri chiziq xossalaridan kelib chiqib hal qilinishi mumkin. Buni kelgusi paragraflarda ko‘ramiz.
4-§. Braxistoxron haqidagi masalaning yechimi
Braxistoxon haqidagi masala kirish qismida aytilgan edi. Shu masalaning yechimini qaraymiz. Koordinatalar boshini A nuqtaga ko‘chiramiz (5-rasm). Fizika kursidan ma’lumki moddiy nuqta A nuqtadan boshlang‘ich tezliksiz harakatlanganda
v = 2^gyy (1)
tezlikka ega bo‘ladi, bu yerda g erkin tushish tezlanishi. Aytaylik y=y(x) moddiy nuqta harakatlanayotgan egri chiziq bo‘lsin.










U holda v=

ds 1+ + У %
= ddx, dt dt

Bu yerda ds egri chiziq yoyining differensialli.

Bundan