Funksional analiz

£ 1 algebra. Bu algebraning elementlari absolyut jamlanuvchi ikki tomonga cheksiz davom etgan

x= (. . . , x-n, . . . , x_-1,x₀,x₁, . . . , x_n, . . .)
+x
ko’rinishdagi ketma-ketliklar bo’lib, element normasi ||x|| = E |x_k| (*) kabi k=-x
olinadi.
Elementlarning yig‘indisi va songa ko‘paytirish amallari har bir koordinata bo’yicha aniqlanadi. Ixtiyoriy x va y elementlarning z=xy ko’paytmasining koordinatalari quyidagicha aniqlanadi:
+x
zn=(^x • y) n = E xn - кУк •
к=-x
x
Agar £1 algebraning har bir elementiga ushbu x(t) = E x_ke^lkk, 0 < t < 2n
к=-x
trigonometrik qatorni mos qo‘ysak, u holda yuqoridagi tenglik bilan aniqlangan zn ketma - ketlik x(t) va y(t) funksiyalarning ko‘paytmasiga mos keladi.
Absolyut yaqinlashuvchi va Furye qatoriga yoyiluvchi funksiyalar algebrasini W bilan belgilab, bu algebrada normani (*) formula yordamida kiritamiz.
Hosil qilingan £1 va W fazolarning Banax algebralari bo’lishi osonlikcha tekshiriladi.
Masalan, 4 aksiomani tekshiramiz:





+Х +х
ь * я=1 kl=1

n=—х n=—х

+х
X ^xn - кУк
к=-х

+х +х
- X XIxn41у^
n=-х к=-<»


+х +х
X (X x- kl )-|^ykl=1 |x||-||y|| .
n=-х к=-х
Kiritilgan W va £1 Banax algebralari o‘zaro izometrik izomorf algebralardir.
W algebrada birlik element sifatida e(t) = 1 funksiya olinadi.
Shuningdek, £1 algebrada e={е_к} +°—_^ element birlik element vazifasini



bajaradi, bu yerda е_к =

'0, к ф 0,
1, к = 0


Keltirilgan 1-4 misollardagi algebralar kommutativ algebralarga misollardir.
2-§. Involyutiv algebralar
Aytaylik X biror kompleks algebra bo‘lsin.
1-ta’rif. Xning har bir x elementiga biror x*gXelementni mos qo’yuvchi aks ettirish quyidagi

1. 
   ( x + y )* = x* + y*,
   
2. 
   (X x)* = X x*,
   
3. 
   (xy)* = y*x*
   
4. 
   x** = x to’rt shartni qanoatlantirsa, u involyutsiya deyiladi. Bu yerda x,y eX, Xg C.
   

Involyutsiya bilan ta’minlangan algebra involyutiv algebra deyiladi.
Masalan, C(K) algebrada f^f* aks ettirish involyutsiyadir (f* funksiya f ga kompleks qo‘shma funksiya).
Involyutsiyaga eng muhim misollardan biri bu Gilbert fazosidagi chiziqli chegaralangan operatordan unga qo‘shma operatorga o‘tish amalidir.
Agar x element uchun x*=x tenglik o‘rinli bo‘lsa, x o‘z-o‘ziga qo‘shma element deyiladi.
1-teorema. Aytaylik X Banax algebrasi bo‘lsin.U holda ixtiyoriy x element uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinli:

1. 
   x + x*, i(x - x*) , xx* elementlar o‘z - o‘ziga qo‘shma elementlardir;
   
2. 
   har bir x element yagona ravishda x=u+iv ko‘rinishda tasvirlanadi, bu yerda u,v - o‘z-o‘ziga qo‘shma elementlar;
   
3. 
   e - o‘z -o‘ziga qo‘shma element;
   
4. 
   x ga teskari element mavjud bo‘lishi uchun x* ga teskari element mavjud bo‘lishi zarur va yetarli. Bu holda (х*)^-1 = (х^-1) * munosabat o‘rinli.
   

Isboti. a) (x + x*)* = x* + x** = x* + x = x + x*.
Xuddi shuningdek, [i(x-x*)]*=i(x-x*) va (xx*)*=xx* bo‘lishi ko‘rsatiladi.
b) ravshanki, u va v elementlar sifatida mos ravishda (x + x*)/2 va (x - x*)/2i elementlarni olish mumkin.
Endi, bunday yoyilmaning yagonaligini ko‘rsatamiz: aytaylik x yana bir, boshqa usul bilan yuqoridagidek yoyilgan bo’lsin, ya’ni x = u ‘+iv ‘
Agar h=v‘-v elementni olsak, ravshanki, h*=h bo'ladi. Shuningdek, ih=(x - u‘)-(x - u)=u - u‘ bo'lgani uchun (ih)*=(u - u)*=u - u‘=ih ga ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan (ih)* = -ih* = -ih. Demak, ih=-ih . Bu tenglikdan h = 0, ya’ni v = v‘,u = u‘ kelib chiqadi.
v) e* = ee* bo‘lgani uchun a) ga asosan (ee*)*=(e*)*=e, ya’ni e=e*. Demak, e o'z -o'ziga qo'shma element
g) agar x ga teskari element mavjud bo‘lsa, u holda x*(x ^-1)*=(x ^-1 x)*=e*=e, ya’ni (x ^-1)*=(x*) ^-1 bo‘ladi. Aksincha, (x*) ^-1 mavjud bo‘lsa, u holda x[(x*) ^-1 ]*=[(x*) ^-1 x*]*=e*=e,ya’ni x ga teskari element mavjud;
2-teorema. Agar X yarim sodda Banax algebrasi bo‘lsa, u holda X dagi har qanday involyutsiya uzluksizdir.
Endi involyutiv va Banax algebralari ichida eng muhimlaridan biri S* - algebralarga to‘htalamiz.
2-ta’rif. Agar X involyutiv Banax algebrasida ixtiyoriy x element uchun ||xx*||=||x||² tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda X algebra C* - algebra deyiladi.
C* - algebrada ||x*||=||x|| bo‘ladi.
Haqiqatan, ||x||²=||xx*||<||x||-||x*|| tengsizlikdan ravshanki, ||x||<||x*|| kelib chiqadi. Shu bilan birga ||x*||<||x**||=||x|| bo'ladi. Demak, ||x*||=||x||.
3-ta’rif. Agar haqiqiy X Banax algebrasida

1. 
   ab = ba;
   
2. 
   a²(ba) = (a²b)a;
   
3. 
   ||a²|| = ||a||²;
   
4. 
   ||a2 ||<-||a² +b²1|
   

shartlar bajarilsa, u holda X Yordan banax algebrasi yoki qisqacha JB - algebra deyiladi.
3-§. Spektr va rezolventa
Aytaylik X Banax algebrasi bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar biror х e Х uchun хх^-1 = х^-1 х = е tenglikni
qanoatlantiruvchi х^-1 element mavjud bo‘lsa, х^-1 element x ga teskari element, x esa teskarilanuvchi element deyiladi.
Agar X kompleks son uchun Ле - х element teskari elementga ega bo’lsa, X son x element uchun regulyar nuqta deyiladi.
Regulyar bo‘lmagan nuqtalar to‘plami x elementning spektri deyiladi va бт(х) bilan belgilanadi. Demak, бт(х) shunday X sonlar to’plamiki, Ле - х element teskari elementga ega emas.
Regulyar nuqtalarda R_xx = x(Л) = (Ле - x)-1 tenglik bilan aniqlangan R_x : C \ <r(x) ^ X akslantirish x elementning rezolventasi deyiladi.
Biror x elementning spektral radiusi deb r(x) = sup |Л| songa aytiladi.
Леа(x)
Misollar. 1) X= C - kompleks sonlar Banax algebrasida noldan farqli har bir element teskarisiga ega. Demak, har bir a kompleks son uchun <r(a) = {a} bo‘ladi.

2. 
   X=C(K) Banax algebrasida (1-§ dagi 3-misol ) х e Х element teskari elementga ega bo‘lishi uchun x(t) funksiya hamma yerda noldan farqli bo‘lishi zarur va yetarlidir.
   

Bu esa, а(х) to‘plam x(t) funksiyaning qiymatlari to‘plami bilan ustma-ust

Rx=
Л
tushishini bildiradi. Demak, x(t) funksiya uchun rezolventa va spektral radius quyidagicha bo‘ladi.
r(x) = llxll = max | x(t) | . teK

2. 
   X=L(E) operatorlar Banax algebrasida spektr, rezolventa va boshqa
   

tushunchalar operatorlar uchun kiritilgan mos tushunchalar bilan ustma-ust tushadi.
Aniqroq aytadigan bo‘lsak, Banax algebralari uchun kiritilgan tushunchalar operatorlar algebralaridagi mos tushunchalarini abstrakt holda umumlashtirilishidir.
Bu izoh quyida keltiriladigan teoremalarga ham taaluqli.
1-teorema. Banax algebrasidagi x elementning normasi birdan kichik, ya’ni, ||x||< 1 bo‘lsa, u holda e-x element teskari elementga ega va u
(e-x)^-1 = e + x + . . . + xⁿ + . . .
formula bilan topiladi.
Isboti. Ushbu s_n=e + x + . . . + x_n + . . . ko‘rinishdagi elementlarni olamiz. Ravshanki,

sn^-sn+k⁼

xn+1 + xn+2 + ••• + xn^+k
k
xlln⁺¹
i=1



НГ -IИГ+^k+1
1 -I H

<^x
<1-H

Demak, {sn} ketma-ketlik X fazoda fundamental. Banax algebrasi X to‘la bo’lganligi sababli bu ketma-ketlik biror seX elementga yaqinlashadi, va s(e-H) = lim sn(e-H) =lim(e-Hⁿ⁺¹) =e. n ^w n ^w
Xuddi shuningdek, (e-H)s= e.
Natija. Agar x ^ 0 bo‘lsa, u holda (e - x) ¹ ^ e bo‘ladi.
Haqiqatan,
||( e — x )^-1 — e|| = | s — e|| = |g xk|<±| |xf /^|X_|x + 0
munosabatlardan kerakli natija kelib chiqadi.