Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar

Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar

Reja:

1. 
   Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida.
   
2. 
   Uzluksiz funkstionalning xossalari.
   
3. 
   Kantor teoremasi.
   

Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida.
1-teorema. Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompakt to’plam bo’ladi.
Isboti. Aytaylik M kompakt to’plam va T:MY uzluksiz akslantirish bo’lsin. M*=T(M) to’plamning kompakt ekanligini isbotlash kerak.
M* to’plamdan ixtiyoriy {x_n’} ketma-ketlikni olib, x_n orqali x_n’ nuqtaning T akslantirishdagi obrazini belgilaymiz. U holda M to’plamdagi {x_n} ketma-ketlikka ega bo’lamiz. M kompakt to’plam bo’lganligi sababli bu ketma-ketlikdan M to’plamning biror s nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. T akslantirishda bu qism ketma-ketlik {x_n’} ning qism ketma-ketligiga o’tadi. T akslantirishning s
nuqtada uzluksizligidan  M*. Shunday qilib, M* to’plamdan olingan har bir ketma-ketlik M* da yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega. Bu esa M* to’plamning kompakt ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.


Uzluksiz funkstionalning xossalari.
Aytaylik (X,) metrik fazoda f uzluksiz funkstional berilgan bo’lsin.
2-teorema. f funkstional M kompakt to’plamda chegaralangan hamda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
Isboti. Yuqoridagi 20-teoremaga asosan f funkstionalning qiymatlar to’plami f(M)=E, kompakt to’plam bo’ladi. Demak, E chegaralangan, ya’ni shunday a va b sonlar topilib, af(x)b bo’ladi. Bundan f funkstionalning M da chegaralanganligi kelib chiqadi.
E to’plamning chegaralanganligidan, uning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari mavjud. Endi =supE belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi { } ketma-ketlikni olamiz. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko’ra, { } ketma-ketlikning har bir hadi uchun, M to’plamga tegishli shunday x nuqtalar topilib, - <f(x)< tengsizliklar o’rinli bo’ladi. So’nggi tengsizlikni qanoatlantiruvchi x nuqtalardan birini x_n bilan belgilaymiz. U holda bu nuqtalar uchun
 - < f(x_n) < , (n=1,2,) (1)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. O’osil bo’lgan {x_n} ketma-ketlikdan M to’plamning x₀ nuqtasiga yaqinlashuvchi { } qism ketma-ketlik ajratamiz. Bu nuqtada f funkstional uzluksiz, shu sababli f(x₀)= bo’ladi. Demak, f funkstional o’zining eng katta qiymatini qabul qiladi.
Shunga o’xshash, f funkstionalning eng kichik qiymatiga erishishi isbotlanadi. Teorema isbot bo’ldi.